ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2014, том 33, № 6, с. 42-46
ГОРЕНИЕ, ВЗРЫВ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
УДК 536.46
КВАЗИИЗОБАРИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ТЕОРИИ ГОРЕНИЯ
© 2014 г. К. Г. Шкадинский
Институт проблем химической физики Российской академии наук, Черноголовка
E-mail: shkad @ficp.ac.ru Поступила в редакцию 02.04.2013
На примерах ламинарного горения газов и процессов фильтрационного горения пористых конденсированных составов продемонстрированы некоторые общие подходы исследования их математических моделей, упрощающие их количественный анализ. Для широкого круга явлений процессы протекают в условиях слабо возмущенного поля давления, тем не менее обеспечивающего макроскопический конвективный перенос. Газовые среды в условиях существенно меняющегося температурного поля в отличие от конденсированных сред изменяют свой удельный объем и увеличивают подвижность, которую необходимо учитывать в процессах горения. Предлагаемый квазистационарный учет потоков реагирующей среды упрощает их расчет и анализ.
Ключевые слова: ламинарное горение, фильтрационное горение, математическое моделирование.
DOI: 10.7868/S0207401X14060107
ВВЕДЕНИЕ
Процессы индукционного периода теплового взрыва, зажигания, ламинарного горения в подвижных химически активных средах сопровождаются конвективным массопереносом, который влияет на макрокинетику экзотермического химического взаимодействия, тепловыделения, т.е. на характеристики всего процесса. Формирование градиентов температуры, концентраций реагентов согласно уравнению состояния вызывает появление градиентов давления, которые представляют силу, приводящую в движение реагирующую газовую среду. Описание всей совокупности взаимодействующих процессов является предметом теории горения.
Ниже на примерах математических моделей горения газов и процессов фильтрационного горения пористых конденсированных составов будут продемонстрированы некоторые общие подходы к их исследованию, упрощающие количественный анализ процессов горения. Возникающие конвективные потоки реагирующей среды стремятся уменьшить возникающие флуктуации давления. Эти релаксационные процессы регулируются высокоскоростными волнами звуковых возмущений и реализуются за характерные времена, существенно меньшие времен горения (времени индукции теплового самовоспламенения, зажигания, горения и т.п.). Для широкого круга явлений процесс протекает в условиях слабо возмущенного поля давления, однако тем не менее обеспечивающего макроскопический конвективный массоперенос. От-
метим еще одну особенность рассматриваемых процессов. Если мы изучаем жидкие подвижные среды, то их нагрев сопровождается (в отличие от газов) слабым изменением удельного объема. Это упрощает их исследование в рамках моделей "несжимаемых сред". Газовые среды при изменении температуры и концентрации в условиях горения существенно изменяют свою плотность и, следовательно, удельный объем. Это значительно увеличивает подвижность газовых сред и вызывает необходимость ее учета.
Теперь рассмотрим вопросы приближенного количественного анализа процессов горения. Традиционно математические модели строят на основе законов сохранения массы, импульса и энергии. Для расчетов используют широко распространенные численные методы, которые содержат особенности, обусловленные спецификой исследуемых процессов. Задачи газодинамики сводятся к решению краевых задач для гиперболических систем уравнений. При численном решении, из соображений устойчивости разностных схем, возникают ограничения на выбор разностной сетки (условия Куранта). В силу того, что мы рассматриваем низкоскоростные процессы, в безразмерном описании появляются малые параметры. Таким параметром является квадрат числа Маха (квадрат отношения скорости фронта горения к скорости звука). Нам приходится выбирать малый шаг по времени и "детально отслеживать" распространение малых звуковых возмущений в течение относительно больших периодов време-
ни (например, индукционного периода теплового взрыва). Применение таких методов существенно усложняет учет конвективного переноса в задачах теории горения. Здесь целесообразно использовать специальные методы анализа, которые будут изложены ниже.
ЗАЖИГАНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАМИНАРНОГО ФРОНТА ГОРЕНИЯ ГАЗА В ЗАМКНУТОМ СОСУДЕ
На примере данного процесса изложим особенности математической модели и удобные методы ее количественного анализа. Рассмотрим простейшую одномерную математическую модель на основе законов сохранения.
Закон сохранения массы газовой среды:
+ = 0.
(1)
д1 дх
Закон сохранения массы химически активной газовой компоненты:
Р (I+ VI) =5 ( *£) ехр (- £). ®
Закон сохранения импульса:
Р (дг + V дХ) + дЕ = 0. \дt дх! дх Закон сохранения энергии:
^р (дТ + V дТ) + р = \дt дх) дх
= I ( §) + ехР (-Е
(3)
(4)
Характерный пространственный размер определяется как характерный размер зоны прогрева за характерное время химического процесса:
х* = ^ cvp.
Тогда для масштаба скорости получим V* = х*/t*.
Обычно исследователь имеет априорную информацию о характерной температуре и, следовательно, ему удобно согласно описанной процедуре определить остальные характерные размеры, которые значительно изменяются в зависимости от температурных условий.
Для краткости рассмотрим в безразмерной форме только уравнение (3) (х = х/х*, t = t|t*, V = *, р = р/р*, р = р/р*):
^ (дт + V ^) + С* др = о,
Мр(^Т + Х^ч + _
\дt дх/ ср дх
(3')
Уравнение состояния смеси идеальных газов: р = Яр Т(а/|о + (1 - а)/. (5)
Процессы зажигания и горения удобно исследовать в безразмерных переменных, предложенных Франк-Каменецким [1]. Ввиду сильной зависимости динамики процесса от температуры Франк-Каменецким была предложена удобная конструкция выбора эталонов обезразмерива-ния как функций характерной температуры процесса Тк. Масштаб температуры соответствует изменению зависящей от температуры "скорости ведущего химического процесса" в "е раз" относительно его скорости при Т^. То есть безразмерная температура задается следующим условием:
е = (т - т* ) е/ЯТ*2.
Эталон времени определяется по характерному времени химического процесса при характерной температуре Т^:
* = к ехр(-Е/ЯТ*).
где М2 — отношение характерной скорости горения к скорости звука. Учитывая, что характерные скорости горения порядка см/с, а скорости звука порядка 104 см/с, мы видим существование в уравнении (3) малого параметра при субстанциональной производной для скорости по времени. Возникает сингулярная особенность в модели. В предположении конечности ускорения из уравнения (3') приближенно следует вывод:
др = 0, т.е. р = ро (Г).
дх
Движение реализуется в квазиизобарическом безынерционном режиме. Оно "забывает" предыдущее поле скоростей, и, в отличие от исходного описания модели, здесь уже не надо задавать начальное поле скоростей. При одномерном описании поле скоростей определяется из уравнения (1), а производная плотности по времени — из уравнения состояния:
дР = Но дt Я
+ ро
1
дро
_Т(а + (1 - а) но/Н1)у дt
+
д
1
' дt[Т(а + (1 - а)но/Н1))_
Температура находится из уравнения теплопроводности, концентрация — из уравнения диффузии. Уравнение (1) в одномерном случае для каждого момента времени представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение для определения скорости движения газа. Краевые условия для скорости формируют классическую задачу Коши. Особенность задачи заключается в ее переопределенности (два краевых условия на концах области для уравнения первого порядка), но именно эта переопределенность является необходимым условием для нахождения зависимости давления от времени.
Действительно, пусть процесс протекает в слое с поперечной координатой х, имеющей значения от 0 до Ь. Пусть слой газа ограничен непроницаемыми стенками и, следовательно, нулевыми краевыми условиями. Тогда из (1) имеем
— = -др, р^х) = --д йх 5? 5?
Возьмем интеграл по слою:
г ь
| рйх.
РVь =0 = -—
мо я [
йх
Я ?Т [а + (1 - а) ц0/
Это позволяет определить р0(!) из уравнения
Ро(?) Ро(0)
_ Сйх
_ ' То
йх
Т(х,?)(а + (1 - а) цо/И)
(6)
Шу (ру) = -
др
(7)
а выражение для вихря находится из закона сохранения импульса (уравнения Эйлера) —
р (д?+(¥У)¥)+Ур=о.
(8)
В гидродинамике широко используется приближение несжимаемой жидкости, которое, к сожалению, имеет ограниченную применимость при анализе процессов горения газов. Мы воспользуемся изобарическим приближением. Так как
р = р(0 = ЯрТ(а/^о + (1 - а)М),
то справедливо соотношение
= -Ро(?)^|^11 + Я V (Т [а + (1 - а) цо/Ы). Р ФУ Ио
Воспользовавшись известной формулой векторного анализа:
V v2 /2 = [уго!у] + (у V) у,
мы перепишем уравнение Эйлера (8) в форме, где содержится только скорость:
Если тепловое и концентрационное возмущение (Т(х, 0[а + (1 - а) цо/— Т0) осуществляется в относительно малой зоне слоя и отношение интегралов близко к единице, то р0(1) ~ р0(0), т.е. процесс протекает при практически постоянном давлении. Например, при зажигании высокотемпературной поверхностью большого газового объема как раз реализуется подобная ситуация. Если между слоем газовой среды и внешним газом существует массо-обмен (краевые условия по скорости не нулевые), то вместо простого выражения (6) для определения р0(0 необходимо решать обыкновенное дифференциальное уравнение, учитывающее существующий массообмен, и нужно быть осторожнее при выборе одномерного описания процесса. Внешне одномерная задача из-за неустойчивости процесса и возникновения вихрей для корректного физического описания требует проведения анализа в многомерной постановке.
В многомерной постановке также сохраняется главная идея безынерционного приближения, заключающаяся в безградиентности давления по пространству: р(х, у, z, 0 = р0(0. Векторное поле скорости перемещения газа определяется из обратной задачи векторного анализа, которая состоит в отыскании векторного поля A по заданной расходимости (ШуЛ ) и вихрю (го!А ). Расходимость определяется из уравнения неразрывности (1) в многомерном случае:
д
— го!у = го! [уго!у].
д?
(9)
К уравнению движения надо добавить начальные и краевые условия, которые должны выполняться на стенках сосуда (напр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.