КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2004, том 49, № 4, с. 610-620
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
УДК 548.1
КВАЗИКРИСТАЛЛ КАК ЛОКАЛЬНО ДЕФОРМИРОВАННАЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА
© 2004 г. В. А. Чижиков
Институт кристаллографии РАН, Москва E-mail: chizhikov@ns.crys.ras.ru Поступила в редакцию 10.11.2003 г.
Введены решеточные модели для двумерного октагонального квазикристалла и трехмерного икосаэдрического квазикристалла с икосаэдрическим-додекаэдрическим локальным порядком. Показано, что октагональный квазикристалл может быть получен в результате локальной деформации идеальной квадратной решетки атомов. Найдены возможные пути структурных превращений между различными фазами кристалла AlPd. Показано, что икосаэдрические квазикристаллы в сплавах алюминия с переходными металлами можно рассматривать как результат локальных искажений идеальной ГЦК-решетки чистого алюминия, вызванных примесью переходных металлов.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, дифракционная картина икосаэдрического квазикристалла состоит из острых брэгговских пиков, положение каждого из которых полностью задается набором из шести целых чисел, а не трех, как у обычного трехмерного кристалла [1-3]. Это делает возможным описание структуры квазикристалла с помощью тех же методов многомерной кристаллографии, что были развиты ранее для других типов несоизмеримых фаз, таких, например, как модулированные кристаллы [4, 5]. Тем не менее существует ряд принципиальных различий между квазикристаллами и модулированными кристаллами, связанных как с симметрийными свойствами, так и со способами получения этих структур. Основная причина, по которой квазикристаллы выделяют в отдельный класс структур, - их необычная точечная симметрия, не допустимая в случае периодических кристаллов. В отличие от квазикристаллов модулированные кристаллы рассматривают как результат искажения кристаллической структуры при наложении на нее одной или нескольких периодических модуляций с периодами, не соразмерными периодам исходного кристалла. Такое искажение приводит к тому, что кристалл перестает быть периодическим, а в базис его обратной решетки вводятся новые векторы - по одному на каждую модуляцию. Подобные структуры, у которых размерность базиса обратной решетки превышает размерность пространства, называют несоизмеримыми или квазипериодическими. Возможность выделения исходной периодической, так называемой средней, решетки накладывает отпечаток на физические свойства модулированных кристаллов. Например, очевидно, что точечная груп-
па симметрии модулированного кристалла должна быть подгруппой точечной группы симметрии исходного кристалла, т.е. она заведомо не может содержать свойственные квазикристаллам необычные элементы симметрии, такие как оси 5-го, 8-го, 10-го или 12-го порядков. Другой пример - наличие в дифракционной картине модулированных кристаллов системы главных пиков, соответствующих средней решетке, тогда как в квазикристаллах все несоразмерные базисные векторы обратной решетки равноправны.
С учетом сказанного выше декларируемая в названии статьи цель, а именно описание квазикристалла как результата локального искажения периодической структуры, кажется недостижимой. Однако есть факты свидетельствующие об обратном. К таким фактам относится, например, экспериментальное обнаружение фазовых переходов кристалл-квазикристалл. Другим примером, чисто теоретическим, может служить решеточная модель для додекагональной плоской мозаики, составленной из квадратов и равносторонних треугольников [6-8]. Причина данного парадокса заключается в том, что лишь модуляции очень специального типа могут приводить к повышению точечной симметрии кристалла. Проще всего найти ограничения, накладываемые на основные периоды обратной решетки несоразмерных модуляций: вместе с основными периодами обратной решетки исходного кристалла они должны составлять базис обратной решетки квазикристалла. Например, базис обратной решетки квадратной сетки -{(1, 0), (0, 1)} - должен быть дополнен векторами
(1/-У2 , 1/72) и (1/72 , -1/72), чтобы получить структуру с октагональной симметрией. Однако
Рис. 1. Примеры плоских периодических мозаик, составленных из квадратов, правильных восьмиугольников и равносторонних шестиугольников с углами 90° и 135°. Контрастом светлых и темных полей показана возможность перехода от мозаик данного класса к решеткам четырехугольников, топологически эквивалентным квадратной сетке.
для описания структуры недостаточно знания базиса ее обратной решетки, необходимо знать положения отдельных атомов. Ранее уже делались попытки описания атомной структуры квазикристалла при помощи периодических структур той же размерности, что и сам квазикристалл [9, 10]. Например, в [9] атомные позиции октагонального квазикристалла рассматриваются как средние между положениями узлов двух квадратных решеток, повернутых друг относительно друга на угол 45°. В [10] показана возможность выделения средней ГЦК-решетки в трехмерной икосаэдрической мозаике Пенро-уза.
Цель данной работы - показать возможность описания атомной структуры некоторых квазикристаллов как результата локального искажения простых периодических решеток. В качестве примеров будут рассмотрены плоские октагональные мозаики, а также класс структур с так называемым икосаэдрическим-додекаэдрическим локальным порядком (ИДЛП).
ОКТАГОНАЛЬНАЯ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ МОЗАИКА КАК ДЕФОРМИРОВАННАЯ КВАДРАТНАЯ РЕШЕТКА
Рассмотрим в качестве примера один класс мозаик на плоскости, составленных из изразцов трех типов: квадратов, правильных восьмиугольников и равносторонних шестиугольников с углами 90° и 135°. На рис. 1 показано несколько простейших узоров такого рода. Любая мозаика из данного класса обладает одним очень любопытным свойством: если к уже имеющимся вершинам добавить по одному узлу в центр каждого восьмиугольника, то на полученной системе узлов можно построить сетку, топологически эквивалентную квадратной решетке. Действительно, как это видно из рис. 1, каждая из мозаик может быть разбита на четырехугольники таким образом, что каждый узел структуры, включая узлы в центрах восьмиугольников, будет являться вершиной ровно четырех четырехугольников. Это означает, что все структуры данного класса, в которых атомы расставлены в вершинах квадратов, шестиугольников, а также в вершинах и центрах восьмиугольников, могут быть представлены как ре-
Рис. 2. Правила раздувания для октагональной мозаики, состоящей из квадратов, правильных восьмиугольников и равносторонних шестиугольников с углами 90° и 135°. Изразцы исходной мозаики (тонкие линии) разбиваются на подобные им фигуры новой мозаики (толстые линии) в соответствии с их ориен-тациями на плоскости, обозначаемыми с помощью вспомогательных стрелок на сторонах.
зультат локальной деформации идеальной, без дырок и внедренных атомов, квадратной решетки.
Подобное свойство было известно ранее для другого класса плоских структур, а именно для мозаик, составленных из квадратов и правильных треугольников. Было показано, что такие мозаики связаны аналогичным образом с треугольной решеткой [6].
Мозаики на рис. 1 представляют собой примеры периодических структур, однако с помощью данных изразцов можно также строить и непериодические, в том числе квазипериодические окта-гональные мозаики. Для того чтобы определить структуру с макроскопически октагональной симметрией, можно, например, воспользоваться правилами раздувания узора из рис. 2.
Здесь стоит пояснить, что означает термин "раздувание". С ним связано свойство самоподобия некоторых мозаик, которое заключается в следующем. Все изразцы некой мозаики можно разбить на подобные им фигуры меньшего размера. Далее, если затем однородно растянуть (раздуть) узор так, чтобы составляющие его фигуры
вновь приняли свои первоначальные размеры, то полученная таким образом структура будет локально изоморфна исходной, т.е. старая и новая мозаики будут перекрываться в сколь угодно больших областях. Правила раздувания однозначно определяют класс локально изоморфных структур и могут быть использованы для описания квазипериодических мозаик. Многократное раздувание узора позволяет получить сколь угодно большие участки мозаик, стартуя с одного или нескольких изразцов.
На рис. 2 изразцы разбиваются на подобные им фигуры в соответствии с их ориентациями на плоскости. Ориентации обозначены вспомогательными треугольниками на сторонах фигур. Коэффициент подобия изразцов старой и новой
мозаик а = (1 + 72). Число квадратов равно числу восьмиугольников. Отношение числа шестиугольников к числу восьмиугольников равно (л/2 - 1). Участок структуры, соответствующей данным правилам раздувания, изображен на рис. 3. Полученная мозаика не является единственно возможной октагональной структурой, построенной из квадратов, правильных восьмиугольников и равносторонних шестиугольников с углами 90° и 135°, хотя она обладает некоторыми интересными особенностями [11]. Во-первых, все узлы данной структуры - 3-связанные. Более того, все они обладают одинаковым ближним окружением. Во-вторых, данная мозаика может быть также получена из известной октагональной мозаики Амманна-Бинкера [12, 13], составленной из квадратов и ромбов с острым углом 45°, если из последней убрать часть узлов.
Построенная октагональная мозаика также может быть разбита на четырехугольники указанным выше способом (рис. 3). Таким образом, данная структура с добавленными в центры восьмиугольников узлами будет топологически эквивалентна квадратной решетке. Если затем декорировать эту структуру атомами, то получится плоский квазикристалл с октагональной симметрией (рис. 4). Как видно из рис. 4, данный квазикристалл может рассматриваться как результат локальной деформации плоского кристалла с квадратной решеткой вследствие замещения части атомов (3 - 272 ~ 17%) примесью с большим атомным радиусом.
Сам факт повышения точечной симметрии кристалла при его деформации представляется весьма удивительным. Здесь, однако, стоит сказать несколько слов об обратном процессе - понижении симметрии при переходе от квазикристалла к кристаллу. Как при любом фазовом превращении, пони
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.