КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2011, том 49, № 2, с. 128-137
УДК 629.78:517.977
КВАЗИОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ДЛЯ МНОГОВИТКОВОГО ПЕРЕЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ И КРУГОВОЙ ОРБИТАМИ
© 2011 г. В. Г. Петухов
Научно-исследовательский институт прикладной механики и электродинамики, г. Москва
vgpetukhov@mail.ru Поступила в редакцию 16.12.2009 г.
Рассмотрена задача синтеза устойчивого управления с обратной связью на основе решения задачи минимизации времени многовиткового перелета между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами в ньютоновском гравитационном поле. Задача решена с использованием асимптотических свойств и симметрий оптимального управления в невозмущенной задаче. Показана устойчивость полученного управления по отношению к внешним возмущениям, отклонениям начальных условий и ошибкам реализации вектора тяги. Полученное квазиоптимальное управление с обратной связью может использоваться в качестве бортового алгоритма управления КА и при проведении проектно-баллистического анализа.
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается задача многовиткового перелета космического аппарата с двигательной установкой (ДУ) малой тяги за минимальное время. Используется подход, основанный на использовании равноденственных орбитальных элементов, принципа максимума и численного осреднения уравнений оптимального движения [1]. В отличие от [1], для решения краевой задачи принципа максимума используется метод продолжения по параметру [2, 3], позволяющий существенно расширить область сходимости задачи и устойчиво получать оптимальные решения для различных краевых условий и параметров КА.
В работе [3] был рассмотрен общий случай оптимального многовиткового перелета космического аппарата с малой тягой между некомпланарными эллиптическими орбитами. В настоящей статье, с использованием представленных в [2, 3] численных методов, подробно анализируется частная, но практически важная задача выведения КА с некоторой начальной эллиптической орбиты на конечную круговую орбиту. Точнее, рассматривается оптимальный по быстродействию многовитковый перелет с малой тягой между некомпланарными эллиптической и круговой орбитами в центральном ньютоновском гравитационном поле. Рассматривается случай нерегулируемой двигательной установки малой тяги, то есть тяга и удельный импульс предполагаются постоянными при включенной двигательной установке. Направление вектора тяги неограниченно и выбирается из условий оптимальности. Считается, что линия апсид начальной эллиптической орбиты лежит в плоскости конечной круговой орбиты. Задача перелета между такими орбитами типична при выведении КА на высокие круговые орбиты, в частности на геостационарную орбиту. Разумеется, рассматриваемая задача
обратима, поэтому полученные здесь результаты применимы и для перелета с начальной круговой орбиты на конечную эллиптическую орбиту.
Для рассматриваемых задач характерна большая длительность перелета и высокая чувствительность к ошибкам в определении начального фазового вектора, реализации программы управления и внешним возмущениям. Поэтому, для реализации перелета требуется периодическая коррекция программы управления вектором тяги для компенсации ухода траектории под влиянием различных возмущений. Разумеется, такая коррекция может производиться с помощью периодически повторяемого решения задачи оптимизации траектории перелета с текущей оценкой фазового вектора КА, тяги и удельного импульса его двигательной установки. Однако такой подход требует больших вычислительных затрат, и поэтому труднореализуем в составе бортового программного обеспечения КА. Проведение же таких расчетов наземными средствами с последующей передачей результатов на борт КА в виде обновленного полетного задания приводит к снижению автономности КА и дополнительной нагрузке наземных служб управления полетом. Поэтому, достаточно актуальной является разработка алгоритма управления вектором тяги с обратной связью, обеспечивающего близкую к оптимальной траекторию выведения, устойчивость к ошибкам определения фазового вектора КА, к ошибкам исполнения программы управления и к внешним возмущениям траектории.
Основной целью настоящего исследования является синтез закона управления движением КА с обратной связью, близкого к оптимальному быстродействию и обеспечивающего выведение КА на заданную конечную круговую орбиту не только в центральном ньютоновском гравитационном поле, но и при наличии возмущений.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
за минимальное время Т, то есть рассматривается задача минимизации функционала
Следуя [1, 3], запишем уравнения управляемого движения КА в ньютоновском гравитационном поле в равноденственных элементах в виде:
dh яРН, п — = 5—h cos & cos у, dt m %
dde-x = 0 - h {% sin Fsin & cos у + dt m %
+ [(% + 1) cos F + ex ] cos & cos у - eyn sin у },
= 0—h {-% cos Fsin & cos у + dt m %
+ [(% + 1) sin F + ey ] cos & cos у + ex n sin у },
= 5Ph 1 (pcos Fsin у, dt m % 2
diy sPh 1~ • J-, •
—- = 5---(psin F sin у,
dt m % 2
dF %\ c-Ph — = + 5 — w n sin у, dt h m %
dm = о P dt w
(1)
T
J = ^dt-
0
- min.
(4)
Равенство нулю конечного значения наклонения в (3) достигается разворотом основной плоскости системы координат для обеспечения ее совпадения с плоскостью конечной орбиты.
Следуя [3], запишем гамильтониан задачи оптимального управления в виде
H = - 1 + Pf + 5 P h х h m %
х (AT cos & cos у + Ar sin & cos у + An sin у),
(5)
где At = hp,, + [(% + 1)cosF + ex]pex + L(% + 1)sinF + ejfty, Ar = %(sinFpex — cosFpey), A„ = n(—eye + exPey) +
(p (cosFpx + sinFpiy) + nPF, Ph , pex, pey, pix, piy, pF — пе-
1
ременные, сопряженные к фазовым координатам h,
ex, ey, ix, iy и Fсоответственно.
Оптимальное управление 5(0, &(0, у(0 определяется из условия максимума гамильтониана (5):
где 5 — функция включения двигателя (5 = 1 при включенной ДУ и 5 = 0 при неработающей ДУ), P — величина реактивной тяги, m — масса КА, & — угол тангажа (угол между проекцией вектора тяги на плоскость оскулирующей орбиты КА и трансвер-сальным направлением), у — угол рысканья (угол между вектором тяги и плоскостью оскулирующей
орбиты КА), h = \p, ex = ecos(Q + ю), ey=esin(Q + ю),
y
ix = tg ■ cos Q, iy = tg■ sin Q и F = v + ю + Q — равноденственные элементы, p — фокальный параметр, e — эксцентриситет, ю — аргумент перицентра, i — наклонение, Q — долгота восходящего узла, v — истинная аномалия, % = 1 + excosF + e^inF, n = ¿xsinF — iycosF, ~ 2 2
pp = 1 + ix + iy, w — скорость истечения ДУ КА, ц — гравитационный параметр центрального тела. Величины реактивной тяги P и скорости истечения w в рассматриваемой постановке принимаются постоянными.
Требуется перевести КА начальной массы m0 с начальной орбиты
h = ho, ex = e
x0í
ey = ey0,
К = l-
x0
ly = ly0
(2)
cos & =
sin & =
л/А2 + A2
VA2 + A2
cos у
= -] A2 + A2 /jA2 + A2 + A„
sin у
VA2 + A2 + An
5 = 1.
(6)
(7)
(8)
Из условия (8) следует, что двигательная установка на оптимальной траектории постоянно включена, поэтому массу КА рассматривать как функцию времени:
m = m0 - (P/w)t.
(9)
Подстановка выражений для оптимального управления (6—8) в (5) приводит к выражению для оптимального гамильтониана:
тт i Ph, .2 .2 ,2ч 1/2
H =- 1 + --(A + A, + An) +
m %
+ ±pF = - 1 + kPA + HF
F>
на конечную h = hk,
ex = ey = 0,
= i y = 0
(3)
7 1 h . , .2 .2 ,2ч1/2 тт %
где к = --, A = (AT + Ar + An) , H = ^-p, m % h
2
2
h
Уравнения оптимального движения при этом примут вид:
ПЕТУХОВ
1 Ы
йх _ дН _ р
йг дp
_ Р
дp
й- _ дН йг дрР
к\Лт, дА + А, дА + А,
др- др-
ЛтдЛ + Л,дЛ + Л, ^ Л
дp дp )
р
+
д II г
др-
_ - Р
'дк
дх
Л + к IЛ
_ - Р
дкЛ 1_д -
йp _ дН _
йг дх
дЛт дЛг —1 + Лг — + Лп дх дх дЛ дх) К
йрР _ дН _
(г д-
дЛт дЛг —т + Лг — + Л, д- гд- дЛП д¥' и
(11)
дНР дх
дНр
' д-
где х = (к, ех
ву, 1х, 1уУ, P = (Рк, Ре,
у)Т
Н _ - 1 + кРЛ,
(12)
а уравнения движения (11) при этом можно переписать в виде
йх
йг
_ дЕ _ 8р дp
к\ Лт —I + Л^ + Л„дЛ-
1 Л /-Ч Г П /-Ч
дp дp дp
йp _
йг ~
дн
дx
(13)
_ - дР
дккЛ + к \ЛтдЛ + АгдЛ + ЛпдЛ .дx \ дx дx дx
+ г
(у
йг
2п
_ 1 I
fe(у, г)йг _
л
2я
^ г
]Х(у, г)^-й-, (14)
где у = (хТ, pT)T, Ге(у, Ш, 1) — правые части неосред-ненных дифференциальных уравнений (13), п =
_ .1 - ех - еу/к ] — среднее движение, =
И
= к3Д2.
В результате интегрирования уравнений (13) с применением схемы осреднения (14) определяются значения фазового вектора x и вектора сопряженных переменных p в конечный момент времени Т и значения невязок решения краевой задачи:
I к ( Т) - кк ^
( Т) - ехк
'ук
f _
еу( Т) - еу
( Т) - X
1у ( Т) - Iук
Н( Т)
(15)
Уравнение Г = 0 необходимо решить относительно вектора неизвестных параметров краевой задачи, который имеет вид
'уех, реу, рХ, ргу>
Так как рассматривается межорбитальный перелет, значение истинной долготы Ш на конечной орбите не фиксировано, поэтому рШ(Т) = 0. Оптимальный гамильтониан после осреднения по истинной
р йр- дН п долготе не зависит от г, поэтому —£ _--= 0.
йг д-
Следовательно, на осредненном решении рр = 0. Оптимальный гамильтониан (10), учитывая предполагаемое осреднение принимает вид
_ (p Т.
(16)
Как и в [1], уравнения оптимального движения (13) численно осредняются в процессе интегрирования по следующей схеме:
Таким образом, рассматриваемая задача оптимального управления сводится к краевой задаче (13—16), которая решается численным методом продолжения по параметру, подробно описанным в [2-4].
3. ОСОБЕННОСТИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ И КРУГОВОЙ
ОРБИТАМИ СО СВОБОДНОЙ ЛИНИЕЙ АПСИД НАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ
В случае, если линия апсид начальной эллиптической орбиты свободна, из условий трансверсальности следует, что она должна совпадать с линией пересечения плоскостей начальной и конечной орбит [3].
Перейдем к безразмерным переменным, выбрав за единицу длины и времени радиус гк конечной орбиты и величину, обратную среднему движению по
конечной орбите, (гк /и)1/2, соответственно. Как следует из постановки задачи, име
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.