КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2004, том 49, № 4, с. 599-609
УДК 548.1
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
КВАЗИРЕШЕТКА НА ОСНОВЕ КУБООКТАЭДРА. 1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
© 2004 г. Я. Ватанабе, Т. Сома*, М. Ито**
Университет Тейкио Хейсей, Ичихара, Чиба, Япония E-mail: watanabe@thu.ac.jp *Рикен, Вако-ши, Сайтама, Япония **Университет Гунма, Арамаки, Гунма, Япония Поступила в редакцию 01.09.2003 г.
Трехмерная квазирешетка (КР) на основе кубооктаэдра получена проекцией из семимерного пространства гиперкубической базовой решетки на трехмерное физическое пространство. Проекция определяется решеточной матрицей, состоящей из двух проекционных матриц, связывающих пространство базовой решетки с физическим и перпендикулярным пространствами. При выборе точек в контрольном окне использован метод бесконечно малого сдвига контрольного окна и исследованы граничные условия. Показано, что полученная КР состоит из базовых фигур четырех типов, которые определяются выбором трех из семи базисных векторов в физическом пространстве; КР содержит три вида двенадцатигранных кластеров, которые играют важную роль упаковочных единиц структуры. Рассмотрена также модификация решеточной матрицы, которая приводит к периодичности КР в направлении оси г.
ВВЕДЕНИЕ
Открытие икосаэдрического квазикристалла в 1984 г. [1] стимулировало как экспериментальные, так и теоретические исследования в этой области [2, 3]. Теоретическое исследование квазипериодического порядка, проведенное до открытия квазикристаллов для мозаики Пенроуза, основывалось на методе проекций [4]. Известны также другие методы получения квазипериодических мозаик: метод сечений и метод самоподобия. Первый из вышеуказанных методов является более общим, чем метод проекций, и может описывать более широкий класс квазипериодических мозаик [5]. В данной работе представлена разработанная авторами трехмерная квазипериодическая мозаика или квазирешетка (КР), описаны ее особенности и способ получения. Метод основан на решеточной матрице 7 х 7, полученной из кубооктаэдра, который обладает квазисимметрией 8-го порядка в одной из своих двумерных проекций [6, 7, 8].
БАЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ, БАЗОВЫЕ ФИГУРЫ И ДВЕНАДЦАТИГРАННЫЕ КЛАСТЕРЫ
Предложена трехмерная КР, основанная на проекции из семимерной гиперкубической решетки (пространство базисной решетки) в трехмерное физическое пространство. Семь базисных векторов в физическом пространстве берутся из кубооктаэдра. Они сгруппированы в два набора
векторов различной длины: три вектора вдоль осей симметрии 4-го порядка с относительной
длиной 1/л/3 и четыре вектора вдоль осей симметрии 3-го порядка с относительной длиной 1/V2 . Они выбраны таким образом, что проекция векторов на плоскость, перпендикулярную оси симметрии 4-го порядка, образует звезду 8-го порядка из векторов с относительной длиной 1/V3 , которая совпадает с конфигурацией базисных векторов в двумерной октагональной дифракционной картине или в мозаике Бинкера [9]. Геометрия семи базисных векторов показана на рис. 1.
Базовые фигуры, образующие КР, определяются выбором трех из семи базисных векторов. Существует четыре комбинации из трех базисных векторов, которые дают независимые базовые фигуры. Это куб (С), параллелепипед с гранью в виде квадрата (S), параллелепипед с гранью в виде ромба (P) и ромбоэдр (R) (рис. 2). Постоянные ячейки для этих базовых фигур приведены в табл. 1.
В качестве кластеров, формирующих КР, можно идентифицировать три типа додекаэдров, состоящих из различных базовых фигур: ромбический додекаэдр (RD), додекаэдр с гранями в виде параллелограммов, среди которых есть ромбы, (RPD) и додекаэдр с гранями в виде параллелограммов, среди которых есть квадраты, (SPD). Эти додекаэдры формируются из базовых фигур следующим образом: RD = 4R, RPD = 2P + 2S и SPD = С + 3S. Геометрия упаковки этих додекаэд-
Рис. 1. Семь базисных векторов как нормали граней кубооктаэдра. Они сгруппированы в два набора: три для квадратных граней и четыре для треугольных с
отношением длин 72/л/Э .
ров показана на рис. 3. Грани базовых фигур обозначены строчными буквами: г (ромб), р (параллелограмм) и я (квадрат); в скобках указана форма грани, видимой изнутри. Число, следующее за буквой, указывает тип формы. Соединение допустимо только для граней идентичной формы. Формы контактирующих граней играют важную роль в определении инфляционных правил в методе самоподобия при конструировании КР. Эта проблема обсуждается более детально в других публикациях [10, 11].
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ И ГРАНИЦА КОНТРОЛЬНОГО ОКНА
Известно, что в методе проекций, используемом для построения квазипериодических мозаик, перекрытие или отсутствие изразцов мозаики возникает в том случае, когда проецируемая точка в перпендикулярном пространстве попадает на границу контрольного окна, а граничное условие (открытое или закрытое) не задано должным образом.
Поскольку эту проблему можно решить с помощью выбора подходящего вектора переноса
С
-
5 я
Рис. 2. Базовые фигуры КР (темные шарики). Каждый рисунок включает кубооктаэдрическую звезду.
Таблица 1. Параметры базовых параллелепипедов трехмерной квазирешетки
а Ь с ео8 а, (а°) соэ р, (р°) соэ у, (у°) V
С 1 1 1 0, (90°) 0, (90°) 0, (90°) 1
Б 1 1 л 2 0, (90°) /3 у, (54.7°) /3 у, (54.7°) Л 2
Р л 2 Л 2 1 1, (70.5°) /3 у, (54.7°) /3 у, (54.7°) 1
Я л 2 Л 2 л 2 -3, (109.5°) 31 , (70.5°) 1, (70.5°) 72
окна, обычно обсуждается только способ выбора ся на бесконечно малые расстояния в направле-
подходящего вектора переноса. Чтобы избежать нии, которое не параллельно ни одной из граней
перекрытия или отсутствия фигур, Плезантс [12] окна, и производится отбор проецируемых точек,
предложил метод бесконечно малого переноса которые находятся внутри как исходного, так и
контрольного окна, в котором окно перемещает- перемещенного окон.
Я
0"2)Л (г1)
ЯРО = 2Р + 2Б
Рис. 3. Три вида додекаэдрических кластеров (в правом столбце) и их разбиения на базовые фигуры (в левом).
х'\
X
Рис. 4. Контрольное окно в перпендикулярном пространстве X для одномерной мозаики.
На рис. 4 показан случай, когда одномерная мозаика получается проекцией из пространства двумерной решетки. Оси х и X образуют физическое и перпендикулярное пространства соответственно. Если контрольное окно, полученное проекцией элементарного квадрата на перпендикуляре пространство, представляет собой исходное окно (нулевая трансляция) и оба конца (верхний левый и нижний правый углы квадрата) находятся внутри, в мозаике происходит перекрытие фигур. Бесконечно малый перенос контрольного окна вдоль оси перпендикулярного пространства, показанный стрелкой (в данном случае нет разницы между обычным и бесконечно малым переносом), приводит к тому, что окно становится отрезком линии, замкнутым на верхнем конце (черный кружок) и открытым на нижнем конце (светлый кружок), и перекрытия фигур удается избежать.
На рис. 5 показан элементарный многоугольник (а) или проекция четырехмерного элементар-
ного куба на физическое пространство и контрольное окно (б) для мозаики Бинкера с нулевым переносом. Если выбрать бесконечно малый вектор переноса (показан стрелкой снаружи) таким образом, чтобы все базисные векторы в перпендикулярном пространстве попали в контрольное окно, то граничное условие можно графически изобразить толстыми (внутри) и тонкими (снаружи) линейными отрезками и кружками. Светлые и черные кружки обозначают точки снаружи и внутри соответственно. Обнаружено, что контрольное окно в перпендикулярном пространстве обладает зеркальной симметрией относительно биссектрисы угла между векторами 1' и 4'. Мозаика в физическом пространстве, изображенная на рис. 5в, также зеркально-симметрична относительно биссектрисы угла между векторами 1 и 4, но не обладает симметрией 8-го порядка относительно начала координат, хотя форма контрольного окна имеет симметрию 8-го порядка.
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА НА ОСНОВЕ КУБООКТАЭДРА
Матрица А(7 х 7) в семимерном пространстве дается следующим выражением:
1/72 1/72 -1/72 1/72 1 о о 1/72 1/72 1/72 -1/72 о 1 о 1/72 -1/72 1/72 1/72 о о 1 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 72 о о '(1) -1/2 -1/2 -1/2 1/2 о 72 о -1/2 1/2 -1/2 -1/2 о о 72
А 7з
73/2 -73/2 -73/2 -73/2 о о о
где три верхние строки соответствуют матрице проекции в трехмерное физическое пространство (х, у, г), а четыре нижние - матрице проекции в четырехмерное перпендикулярное пространство (х', у', г', м>').
Семь векторов-столбцов, образующих три верхние строки матрицы А, представляют собой базисные векторы в физическом пространстве, показанные на рис. 1, а векторы-столбцы из четырех нижних строк являются базисными векторами в перпендикулярном пространстве. Известно, что расположение базисных векторов, показанное на рис. 1, можно рассматривать как смешение октаэдрической и гексаэдрической звезд [13], а проекционную матрицу для физического пространства можно поднять в ортогональную решетку семимерного пространства, что даст матрицу А [14]. Октаэдрическая и гексаэдричес-
кая звезды смешаны в отношении 1/72 , и точки, спроецированные в перпендикулярное пространство, однородно заполняют контрольное окно, за
и
где Рц и Р1 имеют следующие свойства:
Р|| = Р||, Р± = Р±, (6)
Р|| + Р± = I, (7)
исключением оси м>' (см. объяснение ниже), и мозаика становится квазипериодической.
Проекционные матрицы Рц и Р±, определенные в [15] для трехмерной мозаики Пенроуза, связаны в общем виде с матрицей А следующим образом:
Рц = А"1 Ац, Р± = А"1 А± (2)
или
Ац = РцА = РНА, А1 = Р±А = р±а. (3)
Здесь Ац и А1 являются матрицами с ненулевыми строками, которые представляют собой части матрицы А, относящиеся соответственно к физическому и перпендикулярному пространствам [7].
А ||, А1, Р|| и Р1 являются транспонированными матрицами Ац, А1, р и Р1 соответственно. р и Р1 являются симметричными матрицами; следовательно, Р || = Рц и Р1 = Р1. Легко показать, что
(4)
(5)
Р||Р1 = О, (8)
где I - единичная матрица, а О представляет собой нулевую матрицу 7-го порядка.
Значения углов между базисными векторами, приведенные в табл. 1 (109.5°, 70.5° и 54.7°), явля-
р|| = 3
р1 = 3
3/2 1/2 1/2 1/2 1/ 2 1/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.