КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 2, с. 144-149
УДК 52-60
КВАЗИСИНХРОННЫЕ ОРБИТЫ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ СБЛИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ФОБОСОМ
© 2007 г. А. Г. Тучин
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 02.06.2005 г.
Рассмотрена задача построения квазисинхронных орбит, проходящих через заданную точку над поверхностью Фобоса в заданный момент времени и обладающих свойством минимального удаления от поверхности Фобоса при каждом прохождении над районом предполагаемой посадки.
PACS: 95.10.Ce
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью проекта Федеральной космической программы "Фобос-Грунт" является доставка на Землю образцов грунта Фобоса - естественного спутника Марса. Вопросы баллистики, навигации и управления полетом космическим аппаратом (КА) в этом проекте рассмотрены в [1-4]. Данная статья посвящена вопросам выбора множества квазисинхронных орбит (КСО), с которых обеспечивается посадка на Фобос.
Моделирование показало, что требуются четыре дня полета КА на КСО для определения параметров движения с необходимой точностью [1]. Поэтому интервал пребывания на КСО оценивается пятью сутками. К номинальной КСО предъявляется ряд требований. За время пребывания на КСО с борта КА должно быть получено телевизионное изображение предполагаемого района посадки и проверена работоспособность лазерного высотомера автономной системы посадки. В момент начала сеанса посадки, при получении изображения района посадки и проверки работоспособности лазерного высотомера, удаление КА от поверхности Фобоса не должно превосходить 60 км и должны выполняться условия по освещенности и радиосвязи со станциями слежения в Евпатории и Уссурийске. Если в штатном сеансе работы автономной системы посадка не будет осуществлена и КА останется на прежней орбите, должна быть обеспечена возможность повторения попытки посадки на Фобос.
Выбор КСО предполагается проводить по следующей схеме. Из условий освещенности, обеспечения радиосвязи со станциями слежения, возможно, других условий выбирается точка над поверхностью Фобоса и время, в которое КСО должна пройти через эту точку. Из семейства квазисинхронных орбит, проходящих через заданную точку в заданное время, выбирается такая КСО, которая при других прохождениях дол-
готы выбранной точки удаляется от нее на минимальное расстояние. Это требование должно обеспечить выполнение условия по максимальному удалению КА от поверхности Фобоса при каждом прохождении над районом посадки. Тем самым возможность телевизионной съемки предполагаемого участка посадки и условия проверки работоспособности лазерного высотомера будут обусловлены только условиями освещенности и радиосвязи со станциями слежения.
Специалисты в области геологии указали несколько интересных для исследования точек поверхности Фобоса. Координаты точек посадки задаются в системе координат, центр которой находится в центре фигуры Фобоса. Положение точек местности определяется сферическими координатами. Широты считаются положительными к северу от экватора. Долгота измеряется в экваториальной плоскости к западу от нулевого меридиана. Для многих выбранных точек поверхности Фобоса сеанс посадки целесообразно начинать при прохождении долготы 270° над его поверхностью. Рассмотрим задачу построения такой КСО, которая проходит в заданное время над точкой с долготой 270° и удалена от поверхности на расстояние в диапазоне от 50 до 60 км. Потребуем от этой КСО, чтобы при других прохождениях КА долготы 270° его удаление от начальной точки было минимальным. Рассмотрим три варианта удаления начальной точки от поверхности: на 50, 55 и 60 км.
1. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
Требуется предложить такой метод выбора начальных условий, который позволил бы для любого заданного момента времени получать КСО, проходящую в этот момент времени на высоте й(50-60 км) над точкой поверхности Фобоса с широтой 0° и долготой 270° и обладающую
свойством минимального разброса высот относительно И при предыдущих и последующих прохождениях над этой точкой. Задача в такой постановке требует учета движения Фобоса вокруг своей оси.
Постановку задачи можно упростить, воспользовавшись тем, что нулевой меридиан Фобоса постоянно обращен к Марсу. Рассмотрим движение КА относительно Фобоса в его орбитальной системе координат. Центр этой системы координат совпадает с центром масс Фобоса. Ось X направлена по линии визирования Марс - Фобос. Ось У ортогональна оси X, лежит в плоскости орбиты Фобоса и направлена в сторону его орбитального движения. Так как нулевой меридиан Фобоса постоянно обращен в сторону Марса, точкам, расположенным на отрицательной части оси У, в этой системе координат соответствуют подспутниковые точки с долготой, близкой к 270°. Поэтому будем рассматривать задачу в следующей постановке. Задано положение КА в орбитальной системе координат Фобоса: А: X = 0, У = -(р270 + И), 2 = 0, где р270 - расстояние от центра масс Фобоса до точки экватора Фобоса с долготой 270°. Задавая различные значения вектора скорости, будем получать различные орбиты. При этом только в части случаев КА будет оставаться на КСО [3].
Рассмотрим семейство КСО, проходящих через заданную точку А. Для каждой КСО определим множество точек пересечения с отрицательной частью оси у и максимальное удаление точек этого множества от точки А. Будем искать такую КСО, для которой максимальное удаление минимально.
2. УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ КА ОТНОСИТЕЛЬНО ФОБОСА
Если бы эксцентриситетом орбиты Фобоса (0.015) можно было бы пренебречь, то движение КА относительно Фобоса описывалось задачей Хилла [5, 6]. Однако вычислительные эксперименты показали, что в этом случае модельные и реальные орбиты сильно различаются [3]. Поэтому в качестве упрощенной модели движения используется модель движения, аналогичная задаче Хилла, но с учетом эксцентриситета орбиты Фобоса. В безразмерных переменных уравнения движения имеют вид:
х = 2У + р[ 3х - - ,
у = - 2х - рр = 1
у
1 + е со8 и'
г = л/Х2 + у2,
(2.1)
где е - эксцентриситет орбиты Фобоса, и - истинная аномалия Фобоса, точка означает производную по и.
Безразмерные переменные х и у связаны с положением КА относительно Фобоса X, У, 2 следующими соотношениями:
X = хр рз
Мф
м-ф + мм
У = ур р 3
Мф
мф + мм
2 = 0,
где р - параметр орбиты Фобоса, (9376.482 км), ЦФ - гравитационная постоянная Фобоса, (0.84 • • 10-3 км3/с2), ЦМ - гравитационная постоянная Марса, (42828.287 км3/с2).
Уравнения движения (2.1) могут быть получены из уравнений движения ограниченной задачи трех тел в форме Нехвила [7].
Рассмотрим решения системы дифференциальных уравнений (2.1), проходящие через точку: х0 = 0, у0 = -а0 при заданном и0. В качестве а0 будем рассматривать три значения: 2.456423, 2.654142 и 2.851861, соответствующие удалениям на 50, 55 и 60 км при и0 = п/2. Эти решения будем рассматривать на интервале изменения истинной аномалии от и0 до и0 + 2п • 104.
Из всего множества решений, проходящих через заданную точку, оставим только такие, для которых на рассматриваемом интервале справедливо неравенство: 0.5 < г < 10.
Обозначим как х(и, а0, х0, у0, и0) и у (и, а0, х0, у0, и0) - решение системы (2.1), проходящее через точку: х0 = 0, у0 = -а0 при некоторых значениях производных: х0 и у0 в момент, соответствующий значению истинной аномалии и0. Рассмотрим точки пересечения траектории на плоскости ху с отрицательной частью оси у. Среди этих точек найдем точку с максимальным удалением от точки х0, у0. Таким образом определена функция:
Д(и0, а0, х:0, у>0) = = тах{ |у(и) -у<,|: х(и) = 0, у(и)< 0,
и0<и<2п • 104}.
Задача состоит в том, чтобы найти х0 и у0, при которых значение Д(и0, а0, х0, у0) достигает минимума.
3. ОБЛАСТЬ ПЕРЕБОРА
Для ограничения области перебора используем аналог интеграла Якоби для системы (2.1) и относительную разность угловых скоростей обращения КА вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса.
Используя стандартный прием, получим аналог интеграла Якоби для системы (2.1). Перейдем к каноническим переменным, а затем введем две
вспомогательные сопряженные переменные, обеспечивающие переход к автономной системе.
Уравнения движения (2.1) преобразуются к каноническому виду заменой переменных: = х, q2 =
= У, Р1 = X - у, р2 = у + х, в результате которой получим:
д О д О
* = дО' Р = 10 (' =1' 2
О(р,и) = 1 (Р2+ Р2) + Р1 *2- Р2*1 +
, К 2 , ^ 3 . \ 2 Р(и) + 2(42) -22P(U)qi-^r',
(3.1)
г =
Jqi
2
■?2-
вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса, следует перейти к переменным, которые бы содержали этот параметр. Это достигается переходом к полярным координатам Q1 и Q2, где Q1 - радиус, а Q2 - угол. Координаты и связаны с Q1 и Q2 соотношениями
4i = QicosQ2, 42 = Qi sinQ2.
(4.1)
Для нахождения обобщенных импульсов Р1 и Р2, соответствующих Q1 и Q2, используем производящую функцию S(Р1, Р2, Ql, Q2) = Q2 + + Р2QlSin Q2.
По теореме Якоби [5] каноническая форма уравнений сохранится, если справедливо
Введем вспомогательные переменные: q3 = и и p3. Положим G*(q, p, q3) = G(q, p, q3) + p3. Очевидно, что при этом первые две пары уравнений (3.1) не изменятся, а уравнения для переменных q3 и p3
dG * , . Э G * имеют вид: q3 = --— = 1, p3 = - — .
д p3 о43
Каноническая система с гамильтонианом G*(q, p, q3) является автономной системой и поэтому G(q, p, q3) + p3 = const. Не ограничивая общности, положим p3(u0) = 0. В этом случае G*(q, p, q3) = = G(q0, p0, u0). Область анализа можно ограничить, если оценить диапазон изменения G(q, p, и) на интересующем нас множестве траекторий. Это можно сделать, если получить оценку G*(q, p, и) и p3(u). В результате численного анализа класса КСО, рассмотренного в [3], было получено, что 0.8 < G* < 2.2, |p31 < 0.25.
Под средним значением относительной разности угловых скоростей обращения КА вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса понимается отношение разности числа оборотов КА вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса к числу оборотов Фобоса вокруг Марса.
Среднее значение относительной разности угловых скоростей обращения КА вокруг Фобоса и Фобоса вокруг Марса было получено в результате численного анализа, выполненного
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.