ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2011, № 2, с. 27-34
УДК 550.837.3
КВАЗИСТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
© 2011 г. С. Д. Каринский
Центр геоэлектромагнитных исследований ИФЗ РАН, г. Троицк, Моск. обл.
Поступила в редакцию 12.01.2010 г.
Рассмотрены электродинамические следствия феноменологического описания вызванной поляризации с помощью введения дисперсии электрической проводимости. Поле вызванной поляризации является квазистатическим, то есть, в первом приближении, может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от пространственных аргументов, а вторая — только от времени. С учетом этого допущения предложен приближенный метод решения прямой задачи ВП; получено выражение для зависимости функций, описывающих спад поля ВП во времени, от дисперсии электропроводности. Сформулировано ограничение для решения обратной задачи ВП.
Ключевые слова: вызванная поляризация, дисперсия электропроводности, квазистатическое поле, прямая задача.
ВВЕДЕНИЕ
При изучении поляризующейся геологической среды желательно иметь возможность использовать информацию не только о величине поляризуемости П тех или иных геологических объектов, но и процессах спада переходных процессов ВП во времени. Для описания этих процессов обычно принимают, что при гармоническом возбуждении проводимость поляризующейся среды является комплекснознач-ной функцией частоты: а = а(ю). Попытки получить подобную зависимость из электрохимических и электрокинетических моделей поляризующейся среды приводила к результатам, неудобным с точки зрения практического использования, поэтому чаще всего для описания дисперсии проводимости используют ту или иную имеющую физический смысл функцию частоты, зависящую от некоторых формальных параметров (феноменологический подход). В общем случае такую модель проводимости можно описать с помощью формулы:
а = стш(1 - па(ю)).
Здесь аш — проводимость на достаточно высоких частотах, а а(ю) — комплекснозначная функция частоты, зависящая от тех или иных параметров, характеризующих поляризационные свойства среды; в дальнейшем примем условие: а(0) = 1, а(да) = 0. Целью исследования при этом подходе является построение на основе полевых данных модели среды, описываемой в терминах параметров ВП, и даль-
нейшая попытка перехода от такой модели к геологической.
Пока исследователи использовали для описания поляризационных свойств горных пород только один параметр п, эффективным способом решения прямых задач для поляризующихся сред был алгоритм Сигеля-Комарова [8е^е1, 1959; Комаров, 1960; 1980]. Так, если в среде с проводимостью а0 помещено поляризующееся тело с проводимостью а и поляризуемостью п, то поле ВП можно вычислить как разность двух решений уравнения Пуассона с одинаковой правой частью (источниками), отличающихся значением проводимости аномального тела, равного, соответственно, а(1 — п) и а.
Если мы хотим изучать процесс спада эффектов ВП во времени, нам необходимо уметь рассчитывать поле ВП во временной области для моделей с заданным законом зависимости проводимости от частоты. Обычно для этого необходимо решить несколько десятков или даже сотен уравнений Гельм-гольца для определенного набора частот и затем, с помощью численного преобразования Фурье, пересчитать эти данные во временную область; по сравнению с алгоритмом Сигеля-Комарова объем вычислений увеличивается в десятки и сотни раз.
Надо обратить внимание на то, что хотя индукционные процессы в среде связаны с пространственным перестраиванием структуры электромагнитного поля (что и открывает возможность частотных и временных индукционных зондирований),
процессы ВП сами по себе квазистатичны : во всех точках среды поле ВП изменяется во времени, в первом приближении, по одному и тому же закону, зависящему, главным образом, от частотной дисперсии проводимости поляризующихся объектов [Каринский, Светов, 2007]. Другими словами, поле ВП можно с определенной точностью представить как произведение двух функций, из которых одна зависит только от пространственных переменных, а другая — только от времени. Эта особенность полей ВП, проявляющаяся, прежде всего, в случае гальванического возбуждения и при постоянной времени ВП, заметно превышающей постоянную времени индукционных процессов, открывает возможность использовать для расчетов временных зависимостей приближенный квазистатический метод, соизмеримый по сложности вычислений с алгоритмом Сигеля-Комарова; подобное сокращение объема вычислений становится особенно важным при решении двух- и трехмерных прямых и, особенно, обратных задач ВП.
Данная работа посвящена обоснованию квазистатического метода расчета временных характеристик поля ВП; близкий способ расчета полей ВП был описан в работах [Моисеев и др., 1999; Моисеев, 2002], в которых, однако, даже не ставилась задача установления связи дисперсионной модели проводимости среды и частотных (временных) характеристик наблюдаемых полей ВП.
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛЯ ВП
Процессы ВП связаны с особенностями структуры горных пород, их неоднородностью и много-компонентностью, микротрещинами, порами и т.д. Пусть для описания влияния ВП мы приняли ту или иную модель дисперсии удельной проводимости поляризующейся среды; это означает, что мы произвели осреднение свойств среды в некотором масштабе ("на мезоуровне") и заменили реальную среду на модель, в которой электрическая проводимость описывается комплекснозначной кусочно-непрерывно зависящей от пространственных координат функцией. Именно для этой модели требуется рассчитать поле ВП в предположении, что возбуждение поля — гальваническое, а постоянная вре-
1 В физике электромагнитное поле, приближенно удовлетворяющее соотношению Е(г, ?) = Е(г)ДГ), иногда называют квазистационарным [Никольский, Никольская, 1989]. Другими авторами, например, в работе [Марков, Чаплин, 1983], а также в геофизике термин "квазистационарный" используется в ином смысле, поэтому мы для обозначения подобных полей используем термин "квазистатический". В.В. Кормильцев и А.И. Человечков для полей, медленно изменяющихся "вслед за сторонними силами... со скоростью, не приводящей к индукции в масштабе изучаемого объекта" предложили термин "псевдостационарное поле" [Кормильцев, Человечков, 1979].
мени ВП много больше постоянной времени индукционных процессов. Наша задача состоит в том, чтобы проанализировать, какими свойствами обладает такая модель среды с точки зрения электродинамики, что собой представляют источники электрического поля, и какой временной зависимостью должна описываться их диссипация.
В дисперсионной модели влияние поляризуемости среды может быть описано двумя способами. Во-первых, мы можем считать, что проводимость среды есть функция частоты, и закон Ома на данной частоте ю записать в виде ] = стш(1 — па(ю))Е. Во-вторых, ту же самую модель можно описать следующим образом: проводимость среды от частоты не зависит, но в среде появляется зависящая от частоты сторонняя ЭДС Ест и соответствующий ей сторонний ток ]ст; введенная сторонняя ЭДС описывает осредненные силы неэлектрического происхождения, действующие на электрически заряженные частицы и жидкости. Закон Ома при этом будет записан так: ] = стш(Е + Ест) = ]ПР + ]ст, где ]ПР — ток проводимости, ]ст = —па(ю).рР, а Ест = —па(ю)Е. Эти два способа описания поляризующейся среды эквивалентны, однако, второй способ точнее отражает физический смысл процессов в среде и, что важно, открывает более прямой путь решения интересующих нас задач [Каринский, 2009].
Рассмотрим простейший случай. Пусть в непо-ляризующейся среде с проводимостью ст0 расположено поляризующееся тело с комплекснозначной проводимостью ст(ю) = стш(1 — па(ю)). Через электроды, расположенные в точках А и В, в течение некоторого достаточно длительного времени пропускается ток "зарядки", который затем, при ? = 0, выключается.
Рассмотрим последовательно ряд связанных между собой задач (рис. 1).
1. Пусть сначала аномальное тело не обладает поляризацией, его проводимость равна стш (рис. 1а). Для режима установившихся в среде токов при пропускании тока зарядки задача сводится к решению уравнения Пуассона с соответствующей правой частью. Решение (электрический потенциал) обозначим и0(г), соответствующий ток проводимости — ^(г). Источники поля Е(г) расположены на питающих электродах и на поверхности S, ограничивающей аномальное тело.
2. Пусть теперь аномальное тело заменено на такое же, но поляризующееся; тогда на постоянном токе его проводимость равна стш(1 — п). Решение соответствующего уравнения Пуассона (электрический потенциал) на постоянном токе обозначим
и1(г). Разность 5Ц(г) = (г) = и1(г) — и0(г) есть решение метода Сигеля-Комарова, позволяющее по-
лучить потенциал поля ВП в установившемся режиме пропускания тока и сразу после его выключения.
Если мы опишем ту же задачу в терминах стороннего тока (рис. 1б), то наличие поляризации не изменяет проводимости аномального тела (а значит, ток ^(г) не изменится по сравнению с задачей 1), но
внутри этого тела появится сторонний ток ]СТ. Этот ток не может выйти за пределы поляризующегося тела, и поэтому вызовет появление на границе ^ поверхностного заряда 5™ (£), электрическое поле которого, в свою очередь, вызовет ток ВП (являющийся током проводимости), который мы обозна-•вп тт
чим ] 0 . Через некоторое время после включения тока все процессы установятся и токи станут постоянными.
3. Наконец, после выключения тока зарядки, принимая, что вихревыми токами можно пренебречь, получим, что в среде в первый момент продолжают течь токи ]СТ и ]ВП, но не ^ (рис. 1в). Затем, по некоторому временному закону, определяемому параметрами ВП и геометрией среды, сторонний ток в поляризующемся теле начинает спадать, что приводит к уменьшению поверхностного заряда на границе поляризующегося тела и, соответственно, ток ВП тоже начинает уменьшаться, стремясь к нулю.
Отметим, что в дисперсионной модели поверхностный заряд на границе поляризующегося тела не связан с какими-либо особыми электрохимическими процессами на этой границе: он всецело опр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.