ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 4, с. 435-442
УДК 551.511.001:551.515.11:532.527.013.3
ЛАБОРАТОРНАЯ МОДЕЛЬ ГЕОСТРОФИЧЕСКОГО ВИХРЯ ОБУХОВА
© 2009 г. В. О. Кахиани*, К. И. Патарашвили**, С. Д. Цакадзе* **, М. В. Калашник***, Л. X. Ингель****
*Абастуманская астрофизическая обсерватория 0160 Тбилиси, пр. А. Казбеги, 2а E-mail: kvo_mail@yahoo.com **Институт физики АН Грузии им. Э. Андроникашвили 0177 Тбилиси, ул. Тамарашвили, 6 E-mail: zurabts@gmail.com ***Обнинский Государственный технический университет атомной энергетики 249040 Обнинск, Калужская обл., Студгородок, 1 E-mail: ingeli@obninsk.ru ****Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 Обнинск, Калужская обл., ул. Победы, 4 E-mail: ingeli@obninsk.ru Поступила в редакцию 14.05.2008 г., после доработки 10.11.2008 г.
Представлены результаты лабораторного моделирования процесса геострофического приспособления в слое мелкой воды во вращающемся параболоиде. В соответствии с теорией Россби-Обухова, во вращающейся жидкости этот процесс приводит к возбуждению нестационарного волнового и стационарного вихревого (геострофического) компонентов движения. В выполненных экспериментах волновой и вихревой компоненты возбуждались путем извлечения их центральной части параболоида предварительно погруженной полусферы (создавалась неоднородность начального распределения глубины жидкости). При таком способе возбуждения в центральной части формируется ярко выраженный циклонический вихрь, структура которого удовлетворительно описывается линейной теорией адаптации. Наряду с экспериментами на мелкой воде, проанализированы описанные в литературе эксперименты по моделированию процесса геострофического приспособления в двухслойной системе. Построено простое аналитическое решение соответствующей задачи теории приспособления, которое хорошо согласуется с экспериментом.
1. ВВЕДЕНИЕ
В классической работе A.M. Обухова [1] (см. также [2] и библиографию в [3]) развита линейная теория геострофической адаптации (приспособления) полей скорости и давления во вращающемся слое мелкой воды. Из теории, основанной на законе сохранения потенциальной завихренности, вытекает в частности, что локализованное несбалансированное отклонение давления (уровня жидкости) в процессе адаптации должно приводить к возникновению геострофического вихря. Лабораторное моделирование указанного процесса сопряжено с определенными трудностями. Свободная поверхность при вращении жидкости деформируется, так что теоретическая модель "/-плоскости" плохо соответствует возможностям реальных экспериментальных установок. Кроме того, инерционно-гравитационные волны, генерируемые в процессе геострофического приспособления, в экспериментальной установке ограниченных размеров отражаются от стенок сосуда и "маскируют" возникающий вихрь. Наконец, в мелком слое жидкости быстро становят-
ся существенными эффекты вязкости, не учитываемые классической теорией адаптации.
Некоторые важные особенности динамики вращающихся геофизических сред эффективно моделируются в установках в форме параболоида вращения (см., например, [4-8] и библиографию к этим работам). При достаточно быстром вращении параболоида жидкость распределяется по его поверхности слоем мелкой воды практически постоянной толщины. Движения в этом тонком слое имеют важные общие черты с атмосферными и океаническими течениями. Сосуды с параболическим дном широко использовались в лабораторном моделировании вихревых солитонов Россби и спиральных галактик, сдвиговой неустойчивости вихревых течений [4-6, 9]. В настоящей работе такая установка использована для моделирования процесса геострофического приспособления.
Отметим, что в последние годы значительно усилился интерес к нелинейной теории геострофической адаптации, под которой нередко понимают общую теорию вихревых и волновых возмущений во вращающейся жидкости. В серии работ [10 - 12] на
0
L r
du v ,,„ dh ,„2 „2,
----2 Q v = - я Г (Q*-Q),
ddZ + UUZ + 2Qu = 0, ¿М-Т (ruh) = 0,
dt r дt rдг
(2)
в отсутствие относительных движений (и = V = 0) распределение полной глубины удовлетворяет
уравнению gдh/дr = -г (О* - О). Отсюда
h = hs(г) = Я - [ 1- (Q/Q*)2]кг2/2,
(3)
Рис. 1. Схема экспериментальной установки; 1 - полусфера, частично погруженная в жидкость.
основе метода многих временных масштабов развита нелинейная теория геострофического приспособления при малых числах Россби. Лабораторное моделирование процесса нелинейного геострофического приспособления в двухслойной жидкости выполнено в недавней работе [13].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассматривается параболоид с жидкостью радиуса Ь (параболический сегмент), вращающийся с угловой скоростью О вокруг вертикальной оси г, с формой дна г = ^(г) = кг2/2, где к = 1/Я, Я - радиус кривизны параболоида в полюсе (рис. 1). Для описания движений жидкости в параболоиде используем модель мелкой воды (длинноволновое приближение). Во вращающейся вместе с параболоидом цилиндрической системе координат осесимметрич-ные движения описываются системой уравнений
йи V2 „„ дО „2
—----2 О v = - я -=-—+ О г,
йг г д г
^ + ^ + 2 Ои = 0, (1)
йг г
д(О - Нв) + 1дг.(ги(о - Нв)) = 0,
где и, v - радиальная и азимутальная компоненты скорости, я - ускорение свободного падения, О - высота уровня жидкости, С/С = д^ + и(д/дг). В системе (1) учтены центробежная и кориолисова силы.
Вводя полную глубину жидкости Н = О - Нв(г), отсчитываемую от дна по вертикали, систему (1) можно записать в виде
где О* = л/Як - "стандартная" угловая скорость вращения (ее смысл пояснен ниже). Из (2) следует, что
где Я = hs(0). Согласно (3), при вращении параболоида с угловой скоростью Q = Q* равновесная глубина hs(r) = Я = const. Система (2) при этом совпадает с системой, описывающей осесимметричные движения тонкого слоя жидкости на "/-плоскости"1. Этот принципиальный факт позволяет моделировать процесс геострофического приспособления на /-плоскости в лабораторных условиях.
Рассмотрим, следуя [1], движения малой амплитуды. Представляя h = Я + п, линеаризованную систему уравнений динамики (2) запишем в виде
дu дп дv , п
-—2 Q v = -g =-Л ---- + 2 Q u = 0, д t д г д t
дп 1 д
-г-1 + Я ----- (ru) = 0.
д t г д г
(4)
Рассматриваем (4) в области 0 < г < Ь с условием непротекания и = 0 при г = Ь. В качестве начальных условий полагаем и = V = 0, п = По(г) при г = 0, т.е. рассматриваем ситуацию, когда в твердотельно вращающейся жидкости в начальный момент создано отклонение полной глубины п0(г) (эта ситуация отвечает условиям лабораторных экспериментов).
3. РЕШЕНИЕ
Для решения начальной задачи используем вытекающий из системы (4) локальный закон сохранения потенциальной завихренности
д q п 11 д , , п
-=-7 = 0, q = ^-т- (^v)
дt 2Qгдг Я
(5)
С учетом (5) и начальных условий система (4) сводится к одному уравнению
2
5-3- с2Дп + 4 Q2n = 4 Q2 Пс( г), д^
с = Tg#, Д = ^ г
гдг дг
(6)
впервые сформулированному Обуховым [1] для общего случая двумерных движений. Согласно [1], общее решение (6) представляется в виде суммы стационарного (геострофического) и нестационарного
1 Напомним, что в приближении /-плоскости принебрегают "фоновой" деформацией свободной поверхности и влиянием центробежной силы (последняя включается в потенциал массовых сил). В условиях лабораторных экспериментов центробежная сила играет важную роль.
(волнового) компонентов: п = п/г) + ПмХг, 0. Здесь стационарный компонент удовлетворяет уравнению
л 1 1 ✓ ч
Ап. -— п. = ~2 По (г),
Ьк Ьк
ьк =
2 О
(7)
где функция Грина
П. = р|О(Р> г)По(Р)РАр,
(8)
О(р,г) =
ф1 ( Г )ф 2 (Р ), 0 < Г <р ,
,Ф1 (Р)ф2(Г), Р< Г < Ь,
г) = 'о ,
Ф2(Г' = '■ (ВКо(+ К 1($'о(ЬГК I•
Решение для волнового компонента записывается в виде ряда
П^(г, г) = ^ ап008(ю„?) Jо(|!„ь I,
п = 1
и описывает сформировавшийся в процессе приспособления геострофический вихрь с азимутальной скоростью ^ = (2О)-1#ЭпУЭг. Входящий в (7) горизонтальный масштаб Ьк - радиус деформации Россби-Обухова. Нестационарный волновой компонент удовлетворяет однородному уравнению (6) с начальными условиями дцд = 0, п = П (г) = п0(г) - п/г) при г=0.
Решение для волнового и вихревого компонентов в неограниченной области построено в [1]. Приведем соответствующее решение для задачи в ограниченной области 0 < г < Ь. Основное качественное различие упомянутых задач заключается в поведении волнового компонента. В ограниченной области последний с течением времени не затухает - это связано с отражением волн от твердой стенки.
Для построения решения (7) присоединим к нему краевое условие Эп/Эг = 0 при г = Ь, вытекающее из второго уравнения (4) и условия непротекания. С учетом этого условия, решение записывается в виде:
®п = I4 °2 +
(9)
ап ,2,2
ь
1-|п ( г ) j о (|пь ) гйг,
Ь Jо (|п ) о
где |„ - нули функции J1(x). Это решение представляет собой суперпозицию стоячих цилиндрических волн Пуанкаре.
4. ЭКСПЕРИМЕНТ
В описанных ниже экспериментах основное внимание уделялось структуре вихревого компонента и сопоставлению ее с решением (8), полученным в рамках линейной теории. Экспериментальные исследования проводились на специальной установке Абастуманской астрофизической обсерватории -параболоиде вращения с максимальным диаметром А = 2Ь = 120 см и радиусом кривизны в полюсе Я = 1/к = 69.699 см (рис. 1). Стандартная угловая скорость вращения параболоида составляет О* = Т^к = = 3.751 с-1, соответственно период вращения Т* = = 2п/О* = 1.675 с. В качестве рабочей жидкости в параболоиде использовалась вода. Возмущения генерировались путем быстрого (практически мгновенного) подъема сферы (точнее, полусферы), которая первоначально была частично погружена в слой вращающейся жидкости у полюса параболоида. Радиус сферы Я = 6 см, глубина ее погружения Нр составляла 2 и 4 см (меньше глубины слоя жидкости, которая варьировалась). Таким образом, в твердо-тельно вращающейся жидкости в начальный момент создавалась "лунка" - отрицательное отклонение полной глубины п0(г) в форме сегмента сферы:
по( г) = -
Я
-о,
- Нв -л/я2- г2,
о < г < а,
г > а,
'о, 1Ъ К0, К1 - модифицированные фун
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.