Лавинный фронт как уединенная волна — солитон
Н.А. Казаков
Сахалинский филиал Дальневосточного геологического института ДВО РАН
Статья поступила в редакцию 27 октября 2005 г. Представлена членом редколлегии А.Н. Божинским
Снежную лавину предлагается описывать как волновой пакет, на фронте которого формируется уединенная волна — солитон.
Введение
При описании лавинных процессов приходится сталкиваться с рядом феноменов, которые не получили достаточно убедительного объяснения в рамках классических представлений, сложившихся в гляциологии. Формирование волн при движении лавин — один из таких феноменов.
На сегодняшний день имеются все основания представлять геодинамические экзогенные процессы не как гидрологические или гравитационные явления, а как процессы более сложного характера. Мы полагаем, что достаточно хорошо они могут быть описаны в рамках синергетических представлений, суть которых сводится к следующему: в данной системе ни один отдельно взятый фактор не может привести к ожидаемому эффекту без воздействия других факторов, в результате чего возникает феномен самоорганизации упорядоченных структур в открытых диссипативных системах. Подавляющее большинство геологических систем соответствуют определению синергетической системы [8].
Постановка задачи
Снежную лавину можно описать как нисходящую волну, движущуюся по лавиносбору в виде турбулентного потока и приводящую в движение снежную толщу в лавиносборе. Такая система удовлетворяет условиям возникновения диссипативных структур [2, 7, 13]: это открытая неравновесная система; протекающие в ней процессы нелинейны.
Представим первоначальный сдвиг снежного блока как импульс, который дает начало продольной волне сжатия, распространяющейся в снежной толще как перераспределение его плотности. Подобные явления наблюдаются в горных ледниках и на начальных стадиях движения оползней некоторых типов и грязе-каменных селей и могут быть описаны как кинематическая волна. В этом отношении снежная толща в ла-виносборе — не исключение из общих закономерностей для процессов в неустойчивых массивах рыхлооб-ломочных пород, залегающих при уклонах более 15°.
Одновременно с первоначальным сдвигом снежного блока повышается давление на него со стороны залегающего выше по склону элемента объема 8У снежной толщи, начинающей двигаться вниз по лавиносбору. Давление на снежный блок со стороны
этого элемента приводит к возникновению волны сжатия, распространяющейся в снежной толще как избыток массы. Образовавшаяся продольная волна (волна сжатия) способствует разрушению структурной связности снежной толщи, тем самым, упрощая возможность ее вовлечения в лавинный процесс.
Движущийся элемент объема снежного пласта 8У начинает формировать фронт лавины, который может быть описан как поперечная волна. Скорость роста, размеры и форма такой волны определяются диссипативными процессами в ее подошве. Форма и время существования волны зависят от реологических свойств снежной толщи, обусловливающих изменение баланса скоростей в подошве и на гребне волны. Волна начинает разрушаться либо вследствие расплы-вания при ^>02, либо вследствие обрушения гребня Ц2, где Ц — скорость подошвы волны, — скорость ее гребня.
Саму волну можно рассматривать как фронт возбуждения активной среды — снежной толщи — и представить как пространственно-временную периодическую структуру. Математически такая волна может быть описана как уединенная волна — солитон.
При движении лавины первая волна вследствие диссипативных процессов как избыток массы должна распадаться на серию волн — волновой пакет. Дисперсия волнового пакета в нелинейной среде — снежной лавине — должна приводить к возникновению нелинейных волн и их самоорганизации в периодические пространственно-временные структуры, визуально наблюдаемые как волновой цуг. В этом случае периодическую структуру лавины можно описать как цуг периодических волн, на фронте которого формируется уединенная волна — кинк.
Такое утверждение позволяет сделать анализ лавин сухого снега. Формы пиков на графиках распределения толщины лавинного тела, форма и характер движения фронта лавины соответствуют описаниям солитонов. В пользу приведенной точки зрения свидетельствуют кратковременность движения лавин, сохранение его высокой скорости при малых уклонах зоны их транзита и волнообразный (пульсирующий) характер движения лавины.
В целом лавина может быть описана в рамках солитонной модели движения лавины и селевого потока [4, 5, 15, 16].
Решение
Определим условия, необходимые для описания движения лавинной волны в рамках предлагаемой модели. Среда, в которой формируется и движется лавина, — снежная толща с разрушенной структурной связностью. Для описания движения уединенной волны в рамках классической теории солитонов представим снежную толщу в лавиносбо-ре как квазижидкую сжимаемую среду, в которой образуется уединенная волна.
Дальнейшее развитие лавинного процесса можно представить в следующем виде. Вслед за продольной волной, движущейся в снежной толще, в лавино-сборе формируется собственно лавина — поперечная волна, движущаяся вдоль лавиносбора и распадающаяся на последовательность солитонов в соответствии с эволюцией решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в нелинейной среде [4, 5, 7, 11, 12, 15, 17]:
П(х,г) = Пт М2[^/£(¿ + ^¡7г]} ,
где к — толщина снежного пласта, п — высота фронта лавины (амплитуда солитона) в момент времени г, Пт — максимальная высота фронта лавины (амплитуда солитона), г — время от начала движения лавины, х — длина пути лавины на момент времени г, £ — ускорение свободного падения, Л — гиперболический косинус.
Можно предположить, что в системе «снежная толща в лавиносборе» возникают два цуга периодических волн: продольный и поперечный. Первый движется в снежной толще и визуально не наблюдается. Отмечаются только его побочные эффекты: разрушение строений, перемещение крупных глыб горной породы и т.д. до подхода фронта лавины. Такие эффекты описаны в и литературе [14]. Второй волновой цуг — поперечная волна — представляет собой собственно лавину. Временной интервал между двумя цугами волн, вероятно, не превышает нескольких десятков секунд.
При сужении лавинного русла возможна трансформация лавины в ударную волну типа бора. При этом высота фронта лавины и ее скорость должны резко возрастать в соответствии с выражением [2, 4, 5, 15]:
и2 = V£П1(П1 +П2)/2к , и1 > и2 = ,[к ,
где — скорость фронта лавины, Щ — скорость бора, щ — высота фронта лавины, П2 — высота бора.
Вследствие резкого увеличения коррадирующей способности лавины должна резко возрастать ее насыщенность твердой составляющей (ледяные кристаллы) за счет вовлечения в лавинный поток снега с бортов и днища лавиносбора, что в свою очередь должно приводить к увеличению плотности лавинного тела. Сформировавшаяся структура может сохраняться в течение всего времени существования лавины. Образование подобных структур возможно при достаточно высоких скоростях лавинного потока.
Рис. 1. Пространственно-временная периодическая структура движущейся лавины: кинк (1), солитон (2) и волновой пакет в хвостовой части лавины Fig. 1. Spatial and temporal structure of avalanche: kink (1), solitary wave (2) and wave packet in the avalanche
На развитой стадии процесса лавину можно представить состоящей из двух частей: головная часть (фронт) — солитон (кинк), хвостовая — периодическая волна (рис. 1). Найдем дополнительное условие, определяющее периодическое решение для хвостовой части лавины [2, 4, 5]:
D = U + ,
где D — групповая скорость волнового пакета.
Фронт лавины любого типа, движущейся по лавинному лотку, представляет собой все тот же бор (кинк) и может быть описан однокинковым решением уравнения синус-Гордона [13]:
U = 4arctg exp(2^x + — t + x0).
2n
Причиной возникновения как периодической, так и уединенной волны служит развитие случайных возмущений в пространственно-однородном потоке — снежной лавине. При определенных условиях возможно формирование уединенной электромагнитной волны — солитона, распространяющейся в активной среде — однородном снежном слое (диэлектрическом волноводе [3]) и приводящем к разрушению его пространственно-неоднородной структуры. Процесс должен сопровождаться высвобождением энергии связи между кристаллами, которая будет вносить существенный вклад в энергию лавины. Условия, необходимые для формирования такой волны, — наличие в снежной толще гомогенного слоя, выполненного ледяными кристаллами полускелетного или скелетного класса форм.
Результаты
Сформировавшийся солитон движется, практически не испытывая сопротивления среды. Дальность пробега такой лавины может ограничиваться лишь протяженностью гомогенной снежной толщи или участками лавиносбора, на которых лавинный лоток резко расширяется. На этих участках фронт лавины начинает расплываться вследствие увеличения его ширины. Подобный характер движения лавин автор наблюдал в троговых долинах Хибин.
Данные по лавинам позволяют рассматривать волновой характер их движения как имманентную
характеристику. Такое утверждение представляется справедливым по крайней мере для лавин сухого снега. Характеристики волн обусловлены морфомет-рическими параметрами зоны транзита лавиносбора (уклонами днища) и стадией метаморфизма снежной толщи, залегающей в лавиносборе.
Наблюдения за лавинами, проведенные нами в 1979—2005 гг. в Хибинах, на Сахалине и Курильских островах, дают основание сделать вывод, что дальность выброса и скорость лавины не допустимо рассчитывать только по морфометрическим характеристикам лавиносбора и объемам лавин, поскольку параметры существенно зависят от степени перекристаллизации снежной толщи, т.е. степени ее упорядоченности.
Во все применяемые в изыскательской практике расчетные модели энергии, скорости и дальности выброса лавины входят только морфометрические параметры лавиносборов и масса снежного пласта в нем. Сама лавина рассматривается либо как материальная точка, либо как гидравлический поток. При этом в существующих методиках расчета дальности выброса и скорости лавин не учитывается степень метаморфизма
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.