OEOHfiPfl 3MflEP M COBPEMEHHblE nPEflCTflBHEHM^ O MOnEKVH^PHOM CTPVKTVPE ^VnOEPEHOB
I
n
Ф
Ф
Кандидат физико-математических наук Е. А. КАЦ
Ф
Ф
Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера.
Лагранж
редлагаемая на суд читателей статья продолжает разговор об истории и предыстории открытия фуллере-нов - углеродных молекул в форме многогранников нанометровых размеров ("Энергия" № 3, 5, 10-12, 2002; № 9-11, 2003). Под предысторией в данном контексте мы понимаем многовековую историю математического изучения многогранников, представленную именами Платона и Архимеда, Луки Пачоли и Пьеро делла Франческа, Альбрехта Дюрера и Иоганна Кеплера. Очередная страница этой истории была перевернута в середине XVIII в. после доказательства Леонардом Эйлером теоремы о соотношении между числом вершин, ребер и граней многогранников. С этого момента историки науки отсчитывают рождение математической топологии. Удивительно, но именно знакомство с теоремой Эйлера в конце века двадцатого помогло первооткрывателям молекулы бакминстерфуллерена (С60), будущим нобелевским лауреатам Гарольду Кро-то, Ричарду Смолли и Роберту Кёрлу, глубже понять результаты своих экспериментов и сформулировать гипотезу о фуллеренах. Вкратце мы уже упоминали об этом ("Энергия" № 3, 2002), а теперь остановимся на этом вопросе более подробно. В первой части данной статьи попробуем, вооружившись теоре-
© Е.А. Кац
мой Эйлера, разобраться во всем многообразии молекул фуллеренов и углеродных нанокластеров, открытых учеными на рубеже тысячелетий.
Дж.К. Максвелл писал: "Наука захватывает нас только тогда, когда, заинтересовавшись жизнью великих исследователей, мы начинаем следить за историей их открытий". Приняв это высказывание как руководство к действию, постараемся прикоснуться к истории открытий, прямо или косвенно связанных с обсуждаемым научным направлением. Вторая и третья части настоящей статьи будут целиком и полностью посвящены "жизни великого исследователя" Леонарда Эйлера, жизни, которая без малейшего преувеличения является ярчайшим примером страстного, подвижнического служения науке.
Часть 1.
Как теорема Эйлера помогла понять структуру молекул фуллеренов и углеродных нанокластеров
Бог всегда поступает по правилам геометрии.
Платон.
Итак, в 1752 г. Леонард Эйлер доказал теорему, утверждающую, что для любого выпуклого многогранника число его граней (Г), ребер (Р) и вершин (В) связано соотношением В - Р + Г = 2. Это
Ф
Ф
соотношение часто называют формулой Эйлера1. Не приводя здесь доказательство теоремы, мы отсылаем любознательного читателя к замечательной книге И. Лакатоса "Доказательства и опровержения" (М.: Наука, 1967) и Web-странице www.ics.edu/~eppstein/junkyard/euler/, целиком посвященным различным доказательствам теоремы Эйлера. Мы же обсудим только следствия из знаменитой теоремы, имеющие прямое отношение к строению молекул фуллеренов.
Одно из этих следствий указывает, что не существует выпуклого многогранника, у которого все грани были бы шестиугольниками2, другими словами, никакую молекулу невозможно сконструировать только из шестиугольников. Поэтому и в молекуле C60, и в любой другой фулле-реновой молекуле кроме шестиугольных граней, представляемых графитом в качестве строительного материала, присутствуют и пятиугольные грани. Последние необходимы для искривления плоской гексагональной графитовой структуры и превращения ее в замкнутую оболочку. Напомним, что именно замкнутые многогранные молекулы чистого углерода, име-
1 Формула Эйлера выполняется не только для выпуклых многогранников и даже не только для многогранников. Например, нарисуем на сфере любой связный граф, то есть возьмем несколько точек (вершин) и соединим часть их линиями (ребрами) так, чтобы из каждой вершины можно было бы по ребрам перейти в любую другую. Подсчитаем число образовавшихся 'граней" - фрагментов, на которые линии разрезают сферу: число граней будет связано с числом вершин и ребер тем же соотношением. Величина B - P + Г, называемая эйлеровой характеристикой, окажется равной 2 для всех многогранников, 'устроенных как сфера", - они, образно говоря, превратятся в шарики, если их сделать из резины и надуть. А вот для тора эйлерова характеристика равна 0; для многогранников, имеющих g сквозных дыр, она равна 2 - 2g; для любого семейства пересекающихся прямых на плоскости - 1 (в последнем случае под вершинами понимаются точки пересечения прямых; под гранями - части, на которые прямые разбивают плоскость; под ребрами - части, на которые прямые делятся вершинами).
2 Действительно, для шестиугольной сетки 2P = 6Г (каждое ребро принадлежит двум соседним шестиугольным граням), то есть P = 3Г. В то же время 3В = 6Г (каждая вершина принадлежит трем сходящимся в ней граням), то есть В = 2Г, или Г - Р + + В = Г - 3Г + 2Г = 0, что противоречит формуле
Эйлера.
52
ющие только пяти- и шестиугольные грани, и называют фуллеренами.
Для любой такой молекулы Г = р + И. Через р и И мы обозначили здесь, соответственно, число пятиугольных и шестиугольных граней. В то же время, поскольку каждое ребро принадлежит двум, а каждая вершина - трем соседним граням, мы имеем полное право утверждать, что 2Р = 5р + 6И, а 3В = 5р + 6И.
Сложив три приведенные выше уравнения, предварительно помножив левую и правую части первого из них на 6, а второго на -3, мы с легкостью получаем, что 6(Г - Р + В) = р. Но в соответствии с формулой Эйлера Г - Р + В = 2, то есть р = 12. Это в свою очередь означает, что в любой фуллереновой молекуле число пятиугольных граней обязано равняться 12! А вот число шестиугольных граней может варьировать, при этом количество вершин многогранника (атомов углерода) всегда остается четным: 3В = 60 + + 6И или В = 20 + 2И = 2(10 + И).
Последняя формула утверждает, в частности, что наименьшим из всех возможных фуллеренов (И = 0) является С20, молекула которого состоит только из 12 пятиугольников и имеет форму правильного додекаэдра. Далее, увеличивая число И от 0 до бесконечности, мы можем гипотетически сконструировать все семейство фуллеренов: С20, С243, С26,
C28, C60, C70, С2(10+И)■ ■ ■
В одной из предыдущих статей о фул-леренах ("Энергия" № 3, 2002) мы объяснили, почему именно число 60 является магическим, а молекула С60 самой стабильной из фуллеренов, с помощью правила изолированных пятиугольников:
3Топологический анализ показывает, что невозможно сформировать фуллереноподобную структуру из 22 атомов углерода (р = 12, Ь = 1). Впервые вопрос о возможном количестве шестиугольных граней в выпуклом многограннике, имеющем только шестиугольные и пятиугольные грани, был сформулирован в конце 50-х гг. XXв. выдающимся канадским математиком Дональдом Коксете-ром, которого Бакминстер Фуллер назвал "геометром XXстолетия". Ответ на этот вопрос был найден в 1963 г. математиками Бранко Грюнбаумом и Теодором Моцкиным: любые значения Ь > 1 имеют право на существование.
Ф
Ф
Рис. 1.
Примеры
гигантских
фуллеренов
с икосаэдральной
симметрией:
С140, С260, С960.
Ф
Ф
С60 - это наименьший фуллерен, в котором пятиугольные грани изолированы друг от друга шестиугольными соседями. Следующей молекулой, удовлетворяющей этому правилу и, следовательно, обладающей повышенной стабильностью, является С70. В той же статье мы описали один из возможных способов конструирования гигантских фуллеренов путем повторяемого присоединения к молекуле С60 экваториального кольца из десяти атомов углерода. Первое такое присоединение образует молекулу С70, второе - С80 и т.д. до получения углеродной нанотрубки4.
Другой способ конструирования гигантских фуллеренов предполагает увеличение диаметра "геодезических куполов" с икосаэдральной симметрией. Некоторые из таких молекул показаны на рис. 1. Результаты моделирования различных фуллеренов с икосаэдральной симметрией (группы симметрии !л и I) приведены в таблице (отметим, кстати, что многие из этих молекул уже синтезированы экспериментально). Напомним, что группы симметрии I и !h содержат максимальное количество элементов симметрии. До открытия С60 не было известно ни одной столь симметричной молекулы. Например, в классической монографии Л. Ландау и Е. Лившица "Теоретическая физика", изданной не так уж
4 Подробней об углеродных нанотрубках Е.А. Кац, 'Энергия"< 9, 2003.
и давно (том 3, с. 407, изд. 2-е, переработанное и дополненное. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1963) и постоянно переиздающейся на множестве языков,
Таблица 1
Возможные (с топологической
точки зрения) молекулы икосаэдральных фуллеренов: их группы симметрии и диаметры Ь
Молекула Св Группа ё, А
симметрии
С20 3.97
С60 6.88
С80 7.94
С140 I 10.50
С180 11.91
С240 13.75
С260 I 14.31
С320 15.88
С380 I 17.30
С420 I 18.19
С500 19.85
С540 20.63
С560 I 21.00
С620 I 22.10
С720 ^ 23.82
С740 I 24.15
С780 I 24.79
С860 I 26.03
С960 27.50
С980 27.79
С980 I 27.79
Ф
Ф
Ф
Ф
Ф
Ф
можно прочитать: "Эти группы (I и !л) не имеют физического интереса, так как не осуществляются в природе в качестве групп симметрии молекул". Сегодня ошибочность этого утверждения классиков очевидна.
На рис. 1 отчетливо видно, что с увеличением числа атомов углерода форма молекул фуллеренов все более отклоняется от сферической и приближается к многогранной. По-другому и не может быть! Ведь несмотря на огромное число шестиугольных ячеек в молекулах гигантских фуллеренов, число пятиугольников остается по-прежнему равным 12. Эти двенадцать "дефектных" пятиугольных ячеек (дисклинаций, как называют их "структур-щики") располагаются в "вершинах" многогранника с широкими плоскими гранями, представляющими собой обычную графитовую гексагональную сетку. Первым объяснил эту особенность структуры гигантских фуллеренов Гарольд Крото в 1986 г. Вот как он вспоминает об этом в своей Нобелевской лекции:
"В один из дней я решил, что нам надо построить свои собственные купола а ля Бакминстер Фуллер или, точнее, молекулярные модели гигантских фуллеренов... Кен Мак Кей... принялся строить молекулы С240, С540, а позднее С960 и С1500 с икоса-эдральной симметрией. Когда
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.