ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 6, с. 764-773
УДК 551.511.61:551.515
ЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ВОЛН ИДИ В ПРИСУТСТВИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СДВИГА
© 2009 г. М. В. Калашник
Научно-производственное объединение "Тайфун" 249038 Обнинск, Калужской обл., ул. Победы, 4 E-mail: ingeli@obninsk.ru Поступила в редакцию 25.07.2008 г., после доработки 03.02.2009 г.
В рамках квазигеострофического приближения исследована задача об устойчивости течения стратифицированной вращающейся жидкости с постоянными вертикальным и горизонтальным сдвигами. Показано, что учет горизонтального сдвига приводит к качественному изменению динамики волн Иди - волновых решений с нулевой потенциальной завихренностью. Основная особенность связана с эффектом временного экспоненциального роста неустойчивых волн, т.е. роста на конечном временном промежутке. Этот эффект проявляется в чередовании стадий гладкого осциллирующего проведения (во времени) со стадиями экспоненциального (взрывного) роста конечной продолжительности. Дана кинематическая интерпретация эффекта временного экспоненциального роста, связанная с прохождением зависящего от времени волнового вектора возмущения через область экспоненциальной неустойчивости, существующей в отсутствие горизонтального сдвига. Наряду с динамикой отдельных волн Иди, исследован также процесс генерации этих волн начальным возмущением, заданным одной пространственной фурье-гармоникой. Показано, что этот процесс сопровождается возбуждением немодальных волн с изменяющимися во времени горизонтальным и вертикальным волновыми числами и потенциальной завихренностью, отличной от нуля. Взаимодействие немодальной волны с фоновым потоком приводит к алгебраическому росту волны Иди на начальной стадии циклогенеза.
1. Задача о неустойчивости геострофического потока с постоянным вертикальным сдвигом скорости впервые была рассмотрена в работе Иди [1]. В рамках квазигеострофического приближения Иди определил параметры специального класса неустойчивых мод дискретного спектра с нулевой потенциальной завихренностью (волн Иди). Было показано, что они хорошо согласуются с параметрами атмосферных циклонических возмущений в средних широтах (длина наиболее неустойчивой волны порядка 4000 км, время удвоения амплитуды порядка 3-х суток). Впоследствии разными авторами рассматривались различные обобщенные постановки задачи Иди. В рассмотрение принимались бета-эффект, сжимаемость, горизонтальный сдвиг ветра, нелинейные эффекты. Далеко не полный список публикаций, посвященных этой классической задаче теории бароклинной неустойчивости, можно найти в известных монографиях и обзорах [2-7].
В настоящей работе рассмотрен один из вариантов задачи Иди - задача о неустойчивости геострофического течения с постоянными вертикальным и горизонтальным сдвигами. Для решения задачи использован немодальный подход, основанный на описании динамики возмущений в полулагранже-вой (движущейся вместе с потоком) системе координат [8, 9]. Показано, что учет горизонтального сдвига приводит к паявлению качественно новых
особенностей динамики. Основная особенность связана с эффектом временного экспоненциального роста неустойчивых волн Иди, т.е. роста на конечном временном промежутке. Данный эффект проявляется в смене динамического режима колебаний режимом экспоненциального (взрывного) роста конечной продолжительности. Подобное поведение представляет собой новый, ранее не изученный механизм реализации бароклинной неустойчивости, который остался совершенно незамеченным в недавних исследованиях [10, 11] аналогичной задачи.
С использованием немодального подхода в работе также изучен процесс генерации волн Иди начальным возмущением, заданным одной пространственной Фурье-гармоникой. Показано, что этот процесс сопровождается возбуждением так называемых немодальных волн (волн непрерывного спектра) с нулевой потенциальной завихренностью. Взаимодействие немодальных волн со средним потоком приводит к алгебраическому росту модальных волн Иди на начальной стадии циклогенеза, ранее изученному Фаррелом [12] в течении с вертикальным сдвигом.
2. Постановка задачи. Как и в работах [10, 11], рассмотрим вращающийся горизонтальный слой несжимаемой стратифицированной жидкости толщиной Н с постоянными частотой Брента N и инерционной частотой /. Поместим начало координат
посредине между твердыми границами слоя г = ±Я/2 и исследуем устойчивость направленного вдоль оси х зонального геострофического течения с постоянным вертикальным и горизонтальным сдвигами
"о(У, г) = и*(н + е
,у
(1)
где и*, Ь - соответственно амплитуда и горизонтальный масштаб скорости, е - параметр, характеризующий величину горизонтального сдвига. В ква-зигеострофическом приближении малые возмущения течения (1) описываются линеаризованной формой уравнения переноса потенциальной завихренности [3]
Э д г
^ + "о эх.
д = 0, д - Щ + ^ +4 ^,
Эх Эу N дг
(2)
с ограничными условиями
Э дг
+ Моэх.
г)1-!/ ^_эеэ.^-*^ = о
дг у дг Эх
г - ± Я/2, (3)
в области -гс < х, у < гс, -Я/2 < г < Я/2. Здесь д - возмущение потенциальной завихренности, р' - возмущение давления, 1=р'/р*/- геострофическая функция тока, р* - средняя плотность. Горизонтальные
компоненты скорости и, V и возмущение плотности р' связаны с функцией тока соотношениями [3]: и = -ду/ду, V = ду/дх, р' = ^-1р*/ду/дг, где g - ускорение свободного падения.
В анализе удобно использовать безразмерную форму (2), (3), принимая в качестве масштабов х, у, г, г соответственно Ьк, Ьк, Я, Ьк/и*, где Ьк = NЯ//- радиус деформации Россби. В силу линейности задачи масштаб для функции тока можно выбрать произвольно. Полагая в (1) дополнительно Ь = Ьк, приходим к безразмерной форме задачи об устойчивости потока и0 = г + еу:
д ( )д" д +(г + е у) Тх.
(Ду) = 0,
(4)
д д +
еу
±
11 -
2 удх_
д^ _ ду = 0,
дг у д х
г = ±1/2, (5)
где Д - оператор Лапласа, -гс < х, у < гс, -1/2 < г < 1/2.
Отметим, что квазигеострофическое приближение пригодно для исследования устойчивости течений синоптического масштаба Ь ~ Ьк с числами Россби Ио = и*//Ь < 1. При стандартных для атмосферы значениях и* = 10 м/с, Я = 10 км, Ьк = 1000 км
N = 10-2 с-1,/= 10-4 с-1) характерные значения сдвигов для этих течений составляют: ди0/дг ~ и*/Я =
= 10-3 с-1, ди0/ду ~ и*/Ьк = 105 с-11. Используя эти значения, из (1) можно получить оценку параметра е: е = (Ьк/И)(ди0/ду)/(ди0/дг) ~ 1. Данное значение следует рассматривать лишь как верхнюю границу диапазона изменения е; при слабых горизонтальных сдвигах е —► 0. Отметим также, что для синоптических течений адвективный временной масштаб Ьк/и* ~ 27.8 часа.
3. Система уравнений для амплитуд волн Иди.
Важный класс частных решений задачи (4), (5) образуют решения с нулевой потенциальной завихренностью д = 0. Будем называть эти решения волнами Иди, который впервые исследовал их отсутствие горизонтального сдвига.
Динамика волн Иди описывается уравнением Лапласа Ду = 0 с нестационарнымы граничными условиями (5). Для построения решений этой задачи перейдем в уравнении Лапласа и граничных условиях в полулагранжеву (движущуюся вместе с потоком) систему координат:
г1 = г, х1 = х - еуг, г1 = г, ух = у.
(6)
С учетом формул для преобразования производных в новых переменных получим задачу
Ду = 1 -г--ег
д у1 д х1
'■ д2у д2у п у + 2+2 = 0, дх1 дгх
(7)
дг®± ш;(Ю -Й;-»- г-±1/2. (8)
коэффициенты которой зависят только от времени (в этом и заключается смысл замены переменных).
Ищем гармонические по пространственным координатам решения (7), (8):
у = ф(гх, гх)ехр г'б, б = кх1 + 1у1. (9)
После подстановки для функции ф получим задачу
д2
д-фф - ц2(0ф = 0, Ц2(0 = к2 + (I - екг)2, (10) д г
э( )ф
дг (дг
+ 'к± ; I" ф
= 0, г = ±1/2, (11)
где далее для краткости нижние индексы у переменных г1, г1 опущены.
1 Приведенное в [10] значение вертикального сдвига ди0/дг =
= 5 х 10-3 с-1 формально отвечает нереально большому значению скорости и* = 50 м/с.
Поскольку в уравнении (10) зависимость от времени параметрическая, его общее решение можно представить в виде
= А( г) еИ (ц(г)1) + . В( г) ( г)z ) (12) ' ' г)(0.5г)) г)еИ(0.5г))' ^ ;
где А(г), В(г) - вещественные функции времени (амплитуды), играющие роль постоянных интегрирования. Подставляя (12) в граничные условия (11), после простых преобразований получим систему уравнений для амплитуд:
dA k |~l(t) -th (f-;
dt |( t L 2
dB — + k t) cth (|( t)
dt l( t) _ 2 ^ 2
B = 0,
А = 0.
В отсутствие горизонтального сдвига (е = 0) система (13) сводится к системе с постоянными коэффициентами, изученной Иди.
С учетом (12) действительную часть функции тока в физических переменных можно записать в виде
у = A1 (t) ch (|( t) z) cos 6 - B1 (t) sh (|( t) z) sin 6, 6 = kx + (l - ekt)y, A1 (t) = A (t)/1( t) sh (0.51( t)), B1 (t) = B (t)/1( t) ch (0.51( t)).
(14)
¥ = ¥ i+ ^ ¥i, 2
A (t) cos 6- B (t) sin 6
|( t) sh (|( t)) x ch(|(t)(z ± 0.5)).
x
(15)
При больших ц каждое из слагаемых в (15) локализовано вблизи соответствующей границы, т.е. волну Иди можно рассматривать как суперпозицию
двух пограничных волн. Из (15) виден принципиально важный сдвиг фаз между возмущениями на верхнем и нижнем уровнях.
Приведем необходимое для дальнейшего выражение для полной энергии (кинетической плюс потенциальной) волны Иди. В безразмерной форме эту энергию можно определить как [2, 3] E =
0.5
= 2 I ^^2 где черта означает горизонтальное
-0.5
LL
осреднение: у = lim —2 Цу dxdy. Используя (14),
0 0
(13) получим:
При фиксированном z выражение (14) описывает гармоническое возмущение с переменной амплиту-
2 2 2 2 _ дой F = л/А1еИ (ц(t)z) + B1sh (ц(t)z) и фазой б =
= 6 + а, где tg а = (B1/A1) th(^(t)z). Принципиально важная особенность, вносимая горизонтальным сдвигом, состоит в том, что волновое число в направлении, перпендикулярном потоку, зависит от времени: l(t) = l - Ekt. Входящая в (14) функция ц(0 при этом есть модуль горизонтального волнового вектора возмущения. В силу зависимости волнового вектора от времени, линии равной фазы б = const вращаются вокруг горизонтальной оси x, занимая при t —► «> направление, параллель
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.