научная статья по теме ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ОЧАГОВО-ПУЛЬСИРУЮЩЕГО РЕЖИМА ГОРЕНИЯ ПОРОХА Химия

Текст научной статьи на тему «ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ОЧАГОВО-ПУЛЬСИРУЮЩЕГО РЕЖИМА ГОРЕНИЯ ПОРОХА»

ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2015, том 34, № 1, с. 32-39

ГОРЕНИЕ, ВЗРЫВ ^^^^^^^^^^^^ И УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

УДК 536.46

ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ОЧАГОВО-ПУЛЬСИРУЮЩЕГО РЕЖИМА

ГОРЕНИЯ ПОРОХА © 2015 г. Б. В. Новожилов

Институт химической физики им. Н.Н. Семенова Российской академии наук, Москва

E-mail: novozhilov@starnet.ru Поступила в редакцию 09.09.2013

Предложена модель газифицирующегося при горении конденсированного вещества, позволяющая исследовать неодномерные нестационарные режимы горения. Для теплоизолированного цилиндрического образца в линейном приближении найдено условие устойчивости стационарного режима горения по отношению к плоским и неодномерным возмущениям. Получен спектр возможных элементарных возмущений, каждое из которых представляет собой набор осциллирующих очагов. В отличие от устойчивых мод, которые затухают со временем, история развития систем неустойчивых очагов требует учета нелинейных эффектов. Однако даже линейный анализ приводит к ряду результатов, которые могут быть качественно сопоставлены с экспериментальными данными.

Ключевые слова: порох, устойчивость горения, неодномерные возмущения, очаги горения, очагово-пульсирующий режим горения.

DOI: 10.7868/S0207401X14110077

1. ВВЕДЕНИЕ

При исследовании горения энергетических конденсированных систем в последние 50 лет периодически возникал интерес к так называемому очагово-пульсирующему режиму горения. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что простейшее представление о границе раздела фаз как о некой гладкой плоской или искривленной поверхности не верно. Во многих случаях процесс горения сопровождается образованием на этой поверхности множества отдельных очагов (иногда их называют кратерами), которые рождаются и гибнут с некоторой периодичностью, осциллируют и движутся. Анализ литературных данных первых двадцати лет изучения этого явления представлен в обзоре [1], где рассмотрены применяемые экспериментальные методы и результаты, касающиеся пространственного масштаба очагов, скорости горения в очаге, вариаций температуры в нем и частоты пульсирующего режима горения. Как в упомянутом обзоре, так и в более поздних работах [2—5] подчеркивается большая сложность проблемы, связанная с огромными трудностями экспериментального и теоретического ее исследования.

Как правило, изучение сложных нелинейных явлений начинается с линейного приближения [6]. Этот первый и необходимый этап исследования, касающийся очагово-пульсирующего горения, и представлен в настоящей работе.

В разд. 2 формулируется модель горения, в которой из рассмотрения исключена газовая фаза, что позволяет ограничиться уравнением теплопроводности только в конденсированной среде. Предполагается, что химическое превращение в газовой фазе протекает в индукционном режиме. Модель содержит довольно простые стационарные законы горения, из которых найдены линейные коэффициенты чувствительности скорости горения и температуры границы раздела фаз по отношению к изменению начальной температуры. Их значения играют решающую роль при изучении условий устойчивости стационарного режима горения.

В разд. 3 в линейном приближении для цилиндрического образца с теплоизолированной боковой поверхностью решено уравнение теплопроводности при наличии возмущения стационарного режима горения. Получен дискретный спектр возможных мод, характеризующийся двумя числами — индексом функции Бесселя первого рода и номером корня ее производной. Каждое элементарное возмущение представляет собой набор очень большого числа осциллирующих очагов.

Далее, в разд. 4 в предположении, что реакция разложения сосредоточена в бесконечно тонком слое на границе раздела фаз, исследован вопрос об устойчивости найденных элементарных возмущений. Оказалось, что неодномерные возмущения при некоторых условиях могут оказаться

менее устойчивыми, чем плоские. Это основная причина возникновения очагово-пульсирующего режима горения.

В разд. 5 дана оценка линейного размера очага горения. Он в несколько раз превышает михель-соновскую ширину зоны подогрева конденсированной фазы. В Заключении кратко сформулированы полученные результаты.

2. МОДЕЛЬ ГОРЕНИЯ

Большинство результатов теории нестационарного горения пороха [7—9] получено для одномерных задач. Последовательное рассмотрение двух- и трехмерных проблем требует достаточно подробного описания газовой фазы, что для реальных систем сделать практически невозможно из-за отсутствия детальных экспериментальных данных о кинетике химических превращений и процессах переноса в газе. С другой стороны, нестационарные эффекты определяются главным образом поведением температурного распределения в конденсированной фазе. Поэтому для исследования многомерных задач представляется целесообразным построить модель, в которой бы отсутствовали трудности, связанные с исследованием нестационарных процессов в газовой фазе.

Такую модель построить довольно просто. Предположим, что горение протекает в двух средах — конденсированной и газовой. При этом будем считать, что химическое превращение в газовой фазе идет в индукционном режиме, т.е. при отсутствии теплового потока из газовой фазы в конденсированную. Влияние газовой фазы на скорость горения будем учитывать посредством зависимости скорости экзотермического превращения в конденсированной фазе от давления. Таким образом, для скорости горения в стационарном режиме (ему отвечает верхний нулевой индекс) имеем следующее соотношение:

и0 = и/р (р0) Ь (т0),

(1)

акции, Q (Т). Закон сохранения энергии в стационарном случае имеет простой вид:

Т = Т +

Q Т)/сс,

(2)

где Та — начальная температура, сс — теплоемкость конденсированной фазы. Естественно предположить, что степень разложения падает с ростом температуры. Поэтому, обозначив

д = -1 ОТ),

Сс ЛТВ '

имеем д > 0.

Найдем для рассмотренной модели линейные коэффициенты чувствительности скорости горения и температуры поверхности по отношению к изменению начальной температуры:

к = (0 - Та)

д 1п и

дТа

г =

дТ

\дТа У р

Из стационарных законов горения (1), (2) следует

к = Т - Та) РЛ г = (3)

v ' 1 + а

где

в, =

оЛ

д 1п и

V дт: ,р

Вариации параметров q и р., приводят к изменению линейных коэффициентов чувствительности (3), что позволяет рассматривать нестационарные процессы, которые в разной степени удалены от границы устойчивости стационарного режима горения. Отметим, что одномерный стационарный режим горения устойчив при условии [8]

г > к.,

_ к-1)) (к +1)

или

где и — константа, и — линейная скорость горения, ар и Т — давление и температура поверхности раздела фаз.

В дальнейшем предполагаем зону реакции в конденсированной фазе бесконечно-тонкой. В этом случае соотношение (1) связывает мгновенные значения скорости, температуры поверхности и давления. Поэтому оно справедливо и в нестационарном режиме, которому соответствует отсутствие верхнего индекса.

Тепловыделение в конденсированной фазе будем считать связанным с температурой зоны ре-

к < кс, кс = 1 + - + [ 2г + ^

(5)

о , „ . (4)

2 ^ 4

А частота на границе устойчивости юс = к12 /г.

Эта величина безразмерна. Поделив ее на характерное время перестройки конденсированной

фазы: (и0) , где ж — коэффициент температуропроводности твердой фазы, получим значение размерной круговой частоты.

3. СПЕКТР ВОЗМОЖНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Рассмотрим горение цилиндрического образца радиусом р0. При теплоизолированной боковой поверхности в стационарном случае уравнение теплопроводности имеет вид

l2rfт0 / /ттС

d T о dT n ж-т— u -= 0.

T0(x) = Ta + (Г,0 -Ta)exp[^ 1.

(8)

lc = ж/ u0

П = d_ ж Rp d p Положив

dR

. dp.

i а_ф+J_

Фр2 dф2 Ti

dT u0 dTi

dx

ж dx

i d2Ф 2

= -m ,

Ф dy

2

(11)

где m — константа, находим азимутальную зависимость линейных возмущений:

Ф (ф) = Фc cos тф + Ф, sin тф.

Поступая аналогично с зависимостью возмущений от продольной координаты, запишем

d T _ u° l _ h Гu°4

dx2 ж dx l ж

Ti = 0,

(12)

2 , (6) йх ах

В выбранной нами системе координат конденсированное вещество движется слева направо со скоростью, равной линейной скорости горения топлива и0. Интегрирование этого уравнения с учетом граничных условий

х ^-да, Т = Та; х = 0, Т = Т° (7)

дает следующее распределение температур:

где к — константа. Конечное при х ^ -да решение этого уравнения есть

T

1 (х) = А ехр , г =1 [1 + (1 + АН)1'2]. (13)

Имея в виду соотношения (11) и (12), находим уравнение для радиальной составляющей линейных возмущений:

л-m

2

Р J

R = 0, Л = hi —1 --. (14)

ж

ж

Заметное изменение температуры в конденсированной фазе происходит па расстоянии порядка так называемой толщины прогрева или толщины теплового слоя конденсированной фазы:

1 а(раЯ | +

рару ар

Его решение, которое конечно при р = 0, есть

Я (р) = 1т (л%).

Здесь ]т (л1/2р) — функция Бесселя первого рода.

Отсутствие потока тепла через боковую поверхность образца налагает на это решение условие

(9)

Найдем спектр возможных нестационарных возмущений на фоне стационарного режима горения пороха при постоянных внешних условиях (давлении и начальной температуры). В цилиндрической системе координат, т.е. при

-да < х < 0, 0 < р < р0, 0 < ф < 2я, уравнение теплопроводности

1 дт 1 д ( дт\ + 1 д2т + д2т и0дт пт

--=--|Р- | + _2-2 +-2---(10)

ж дг рдр^ др) р дф дх ж дх

допускает разделение переменных, поэтому решение ищем в виде

т = т0 (х) + ехр (Пг)т1 (х) Я (р)Ф(ф).

Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности (10), используя выражения (6)—(8) и разделяя переменные, получаем

djm (л1/2р)

dp

= 0.

Иными словами, аргумент Л^2р должен быть нулем функции Гт (Л ^2р 0).

В дальнейшем будем придерживаться обозначений, введенных в [10, 11]. Нули функции (г) обозначаются как ]тп, где п — номер нуля (в порядке их возрастания). Аналогично, }'т п — нули производной ]'т (г).

Таким образом,

Л/2Р 0 = Л

л =

(..

J m,n

VP0 ,

n = 1,2,3.

Из второго соотношения (14) находим

h =

С \2 ж

Jm

2

+ D.,

(15)

vu Р0 J

где fi — безразмерный аналог частоты:

П =

ж£1

(u0 )2'

Подставив (15) в (13), получим окончательный вид для продольной составляющей:

R

0.4 г

T (х) = A exp

*=2 í1+I1+4 (2

0 Л u х

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком