ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2014, том 115, № 3, с. 242-247
ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
УДК 539.216.2:537.624.21.001
ЛОКАЛЬНАЯ АНИЗОТРОПИЯ В МАГНИТНОМ ПЛЕНКЕ, ВЫЗВАННАЯ ВНЕШНИМ ИНДЕНТОРОМ
© 2014 г. А. Б. Борисов, Е. С. Демина
Институт физики металлов УрО РАН, 620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18
e-mail: bor1947@gmail.com Поступила в редакцию 21.05.2013 г.; в окончательном варианте — 28.07.2013 г.
Исследовались магнитные характеристики пленки под действием внешнего индентора. Показано, что магнитоупругое взаимодействие приводит к дополнительной магнитной анизотропии, которая в зависимости от значений магнитоупругих постоянных может быть любого знака. Исследованы влияния геометрических параметров задачи на магнитоупругую энергию.
Ключевые слова: задача Герца, метод Терадзавы, магнитоупругое взаимодействие.
DOI: 10.7868/S0015323014030024
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия вызывают повышенный интерес солитоны, вихри и другие нелинейные возбуждения в низкоразмерных магнетиках [1—8]. Экспериментально установлено, что в тонких ферромагнитных пленках с сильной перпендикулярной анизотропией типа "легкая ось" под действием гармонического или монополярного импульсного магнитного поля при определенных условиях происходит самоорганизация распределений намагниченности. Из лабиринтной доменной структуры формируются новые структуры — ведущие центры типа мишеней — концентрические магнитные домены, спиральные домены и доменные структуры с высокой степенью трасля-ционной и ориентационной упорядоченности [9—13], наблюдаемые с помощью магнитооптического эффекта Керра. Отличительными особенностями таких структур являются статическая устойчивость и существенная нелинейность. Магнитные структуры не исчезают, как в активных средах, после выключения поля накачки — времена жизни мишеней и спиральных доменов на несколько порядков превышают период магнитного поля. Поэтому сложные стационарные структуры в магнетиках одновременно можно считать дефектами основного состояния среды. Теоретическое описание простейшего типа магнитных дефектов — магнитных мишеней в ферромагнетике затруднено выбором подходящей модели. С помощью теоремы Деррика нетрудно показать,что в двумерном одноосном ферромагнетике с плотностью энергии
E = [
((
d V
I
w 2 м
да _ K dr¡' dr¡ J 2
2
а 3
_ M0H3a 3
(1)
не существует локализованных магнитных структур. Здесь A — константа обменного взаимодействия; K — константа магнитной анизотропии; H3 — внешнее постоянное магнитное поле вдоль оси анизотропии; M0 — спонтанная намагниченность, а компоненты единичного вектора намагниченности параметризуются в виде:
а,! = sin0(x,^)ео8ф(х,y); а2 = sin0(x,у^тф(х,y); а3 = cos0(x, y).
Известно [14], что в модели Гейзенберга существует решение типа вихревой мишени
а3 = sn
Q ln Г, k
k Го _
; Ф = 0(ф-фо),
(2)
где (г, ф) — полярные координаты; Q — топологический заряд вихря; 8п[х, к] — эллиптическая функция Якоби с модулем к. Видно, что поле а3 нелокализовано при г ^ да и имеет сингулярный характер при г ^ 0. Отметим также, что учет магнитной анизотропии (как следует из численных вычислений в работе [15]) приводит к локализации мишени при г ^ да, но оставляет сингулярности в начале координат, что противоречит экспериментальным данным.
Таким образом, для корректного описания структуры мишеней необходим учет дополнительных взаимодействий. Наиболее подходящим для этой цели является магнитоупругое взаимодействие, поскольку в эксперименте структура типа мишени образовывалась вокруг дефекта в пленке, созданного действием индентора. Поэтому необходимо учитывать влияние упругих напряжений,
создаваемых индентором, на магнитные характеристики пленок.
Цель настоящей работы — исследовать магнитные характеристики пленок под действием внешнего индентора. Статья спланирована следующим образом. В первом параграфе мы находим распределение упругих полей смещений при вдавливании сферического индентора в пленку из феррит-граната определенной толщины. Показано, что решение этой задачи сводится к решению задачи контактной теории упругости с определенными граничными условиями. Для нахождения напряженного состояния мы применяем метод Терадза-вы. Полученные выражения для осесимметричных полей смещений зависят от упругих постоянных пленки, ее толщины и характеристик индентора. Во втором параграфе проведен анализ магнито-упругой энергии, зависящей от полей намагниченности, и полученных нами упругих деформаций. Это позволяет найти эффективную энергию магнитной пленки. Показано, что магнитоупру-гое взаимодействие приводит к дополнительной одноосной магнитной анизотропии С(г), которая в зависимости от значений магнитоупругих постоянных может быть любого знака. Численные расчеты показывают, что функция С(г) доминирует над постоянной одноосной анизотропией на расстояниях порядка сотен магнитных длин и ее учет необходим при определении структуры магнитных мишеней.
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ В МАГНИТНОЙ ПЛЕНКЕ, СОЗДАВАЕМЫХ ВНЕШНИМ ИНДЕНТОРОМ
Полная плотность энергии пленки под действием упругих напряжений индентора имеет вид
ж = + ж + ж + ж + ж + ж =
' ' ' ' ППЛ/1 1 ' ' ЯН 1 ' ' \Л \Г 1 ' ' \7ТТГ1 1 ' ' МРТ 1 ' ' Т*НРТТТ
( А ^ (да да 2 , \дг,' дг
I=1 у ' ' 1
К 2 ,
--а * +
2 *
(3)
+ жм.у + жуПр - 2 яаи0
- М0Н3а3,
где жм у и ^щр — магнитоупругая и упругая энергии пленки соответственно, -1 Ла М0 — магнито-
2 0
статическая энергия, обусловленная диполь-ди-польным взаимодействием элементарных атомных магнитных моментов.
Рассмотрим отдельно каждое из этих слагаемых. Отметим вначале, что в экспериментах наблюдают усредненное по толщине пленки распределение намагниченности. Поэтому при малой толщине пленки без потери общности можно рассматривать только двумерное распределение,
однородное по толщине пленки. Кроме того, в первом приближении наблюдаемые магнитные мише-
7 2 2 X + у ),
и далее мы рассмотрим только этот случай.
Как показано в работе [14], для вихревых конфигураций типа
0 = 0(г), ф = Ф + Фо, (4)
где г и ф — полярные координаты, при выборе постоянной ф0, равной я/2, магнитостатическое поле Я равно нулю и не будет учитываться далее.
В кубических кристаллах в первом приближении (достаточном для решения нашей задачи) магнитоупругая энергия у
у, *)а а к
к=1 г=1 3
(5)
(В1 - В2)^иц(х, У, *)а ¡а I
1=1
зависит от компонент тензора упругих деформаций иав
и -1
и ав = 2
ди а +д_и1
дхв дх„
Магнитоупругие постоянные В1 и В2 изменяются в широких пределах [16] от —9 х 106 до 3 х 107 Дж/м3. Наконец, упругая энергия № определяется полиномом второго порядка
жупр = ^ити к + и
(6)
с коэффициентами Ляме ц и X.
Найдем далее распределение полей смещений при вдавливании сферического индентора радиуса р в пленку из феррит-граната толщиной й. Геометрия задачи приведена на рис. 1, где ¥ — сила нагружения; а — радиус контактной площадки. Такие задачи являются типичными в контактной теории упругости. К настоящему времени известно [17, 18] решение задачи об упругом контакте недеформированного индентора с полупространством, на которое нанесено покрытие, когерентно связанное с подложкой. При вдавливании сферического индентора в магнитную пленку можно пренебречь деформацией подложки и решение задачи определяется граничными условиями, которые имеют вид:
на границе г = 0: ст^ = 0 для всех значений г и ст^ = 0 при г > а;
2
** = - 3 л/1 - (г~) пРи г < а
(7)
- ¥
где р = —- — среднее контактное давление. па
Рис. 1. Геометрия задачи.
гласно которому поля Ur и Uz выражаются через функцию Лява Ф(г, z),
Ur = -
д 2Ф(г, z) дг dz
; uz = (1 - 2v)
d 2Ф(г, z)
dz2
+
(д2Ф(г, z) , 1 дФ(г, z)
v = -
(10)
+ 2(1 -V) 2 г
V дг г дг у 2(к + ц)
При этом функция Лява является решением би-гармонического уравнения
ААФ(г, г) = 0. (11)
В нашей задаче смещения и напряжения при г ^ да будут стремиться к нулю, и к бигармониче-скому уравнению можно применить прямое преобразование Ханкеля
на границе z = — d:
Uz = 0; arz = 0.
^¡к,к = 0, где aik = U + XUikU,
H —^ + I+ (^ + M) x
Ф (a, z) = | Ф(г, z)rJ0(a г )dr.
(12)
(8)
Здесь aaß — компоненты тензора напряжения; Uz — компонента смещения вдоль оси z. Решение подобной задачи, но с граничными условиями для смещения Uz при z = 0, приведено в монографии [18]. В нашем случае задана внешняя нагрузка и граничные условия (7) при z = 0 мы задаем как в задаче Герца [19].
Как неоднократно отмечалось (см. [20] и цитированную там литературу) в статических уравнениях равновесия для полей смещений Ц (i = 1, 2, 3), следующих из (3), можно пренебречь влиянием полей намагниченности. В случае осесимметричного нагружения, которое нас интересует в дальнейшем, поля Ц не зависят от угла ф в цилиндрической системе координат (r, z, ф) и U = (U, 0, Uz). Тогда уравнения для полей смещений
Тогда (11) сводится к обыкновенному уравнению для Ф (а, г)
^ -а21 Ф (а, г) = 0, 4г )
решением которого будет функция
Ф(а, г) = (А + а гВ)е ~аг + (С + а гБ)е аг. (13)
Постоянные А, В, С, Б определяются граничными условиями (7), (8). Их удобно записать с помощью функции
¥(а) = -
3p(aacos(aa) - sin(aa)) 4aa3(-1 + e4da + 4e 2dada)|i
в следующем виде
a =2(v- e2da(da+v)) в = ^(a);
3
a
a
ii
принимают стандартный вид линейной теории упругости:
д % х ,д %г
Ц-2- + (X + Ц)-1 +
дг дгдг
х О чГ и г 1 диг д %) „
V г г дг дг
1 диг д2и,
--г +-; '
г дг дг
Г1 диг д%) л _ .ди;
х I -—г- +-г- I + (X + 2ц)—г = 0.
Vг дг дгдг) дг
Для определения полей смещений Лг и иг мы используем, как и в [17], метод Терадзавы [22], со-
r\ 2da / 1 / 1 2da\ \
C = 2e (da + (-1 + e )v) ^a).
(14)
a
2da
(9)
Б = Ве2
После обратного преобразования Ханкеля
ад
Ф(г, г) = |Ф (а, г)а/0(а г)^ а (15)
0
выражения для смещений (10) примут следующий вид:
Ur = je —ax¥(a)Vr (a, zj^a^a;
0
ад
Uz = je -ax¥(a)Vz (a, z)/0(ra)da.
(16)
z
0
ад
0
Здесь величины Уг(а, г), У.(а, г) зависят от параметров задачи:
Vг(а, г) = (-2 - га + е2Са(2 + 2Са + га - 2v) + + 2v + е2(2сС+г)а(-2 + га + 2у) -
- е2{Л+г)а(-2 + 2Са + га + 2у),
V,.(а,г) = 1 - га + е2Са(-1 + 2dа + га + 2v) -
- 2v + е2(2d+г)а(1 + га-2у) + +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.