КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 1, с. 79-88
УДК 629.7.05
МАГНИТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА И ЭФФЕКТ КОМПЕНСАЦИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ОШИБОК
© 2012 г. А. И. Ткаченко
Международный научно-учебный центр информационных технологий и систем НАН и Министерства образования и науки Украины, Киев Поступила в редакцию 02.11.2009 г.
Рассматривается система угловой стабилизации космического аппарата среднего класса точности с магнитными исполнительными органами и трехосным магнитометром в качестве единственного чувствительного элемента подсистемы определения ориентации. Сочетание особенностей закона управления и алгоритма определения ориентации позволяет реализовать конструктивно простую, экономичную по вычислительным затратам и достаточно надежную систему стабилизации.
ВВЕДЕНИЕ
Предмет настоящего исследования — алгоритмическое обеспечение системы определения ориентации космического аппарата, простой в конструктивном отношении и экономичной в вычислительном аспекте. Единственным чувствительным элементом системы определения ориентации является трехосный магнитометр (далее — магнитометр). Эта система предназначена для использования в качестве информационного устройства системы управления ориентацией и угловой стабилизации КА с магнитными исполнительными органами. Разработка охарактеризованного выше алгоритмического обеспечения упрощается относительно невысокими требованиями к точности угловой стабилизации КА.
Известные решения задачи определения ориентации КА по показаниям единственного прибора — трехосного магнитометра — основаны по большей части на алгоритмах рекуррентного оценивания и фильтрации, предусматривающих интегрирование динамических уравнений углового движения и небезупречных по вычислительным затратам и надежности [1—3]. Представленное ниже весьма простое решение названной задачи учитывает эффект подавления специфической ошибки определения ориентации при формировании управляющих воздействий.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
С космическим аппаратом, движущимся по слабоэллиптической околоземной орбите высотой порядка 700 км, свяжем правый ортогональный трехгранник 0123 с вершиной в центре масс объекта О. Введем правый ортогональный орбитальный сопровождающий трехгранник ОХУХ с осью Х, направленной в плоскости орбиты в сто-
рону движения, и осью Z, ориентированной по геоцентрической вертикали в зенит, и правый ортогональный инерциальный координатный трехгранник O1xyz с вершиной в центре Земли O1, осью у, проходящей по оси мира через северный полюс, и осью z, направленной в точку весеннего равноденствия. Далее представления физических векторов в системах координат xyz, XYZ и 123 отмечаются соответственно нижними индексами I, J и E.
Угловая стабилизация КА — устойчивое совмещение трехгранника 123 с трехгранником XYZ — производится с помощью магнитных исполнительных органов. Для допустимых угловых отклонений трехгранника 123 от XYZ и компонент относительной угловой скорости в режиме устойчивой стабилизации установлены предельные значения соответственно ±5 и ±0.01 град/с. Для улучшения стабилизационных возможностей на объекте установлен двигатель-маховик с осью вращения, параллельной оси 2.
Закон управления магнитными исполнительными органами заимствован из [4]. Структура управляющего момента MH схематически определяется формулами
Ми = Le х BE, Le = P(z)F, F = k(Be x z), z = wrE - 2aXsign X0/(1 + |X0|),
где LE = [L1L2L3]t — регулируемый собственный магнитный момент исполнительных органов системы угловой стабилизации; B — вектор геомагнитной индукции; ^о, к — соответственно скалярная и векторная части нормированного кватерниона Л = X0 + к, характеризующего ориентацию трехгранника 123 относительно XYZ; югЕ = = [ю^ю,.2юг3]т — вектор угловой скорости трехгранника 123 относительно XYZ; F = F(X0,к, wrE) и
z — трехмерные векторы, вычисляемые в процессе стабилизации; к = const, а = const — заранее заданные коэффициенты; в — скалярный коэффициент, сложным образом зависящий от z (в частности, в = 0, если угол между векторами B и z меньше некоторого априори заданного значения).
Магнитометр охарактеризованной выше системы определения ориентации установлен и градуирован для измерения вектора BE. Бортовой компьютер, обслуживающий систему угловой стабилизации и систему определения ориентации, решает также задачу навигации, оценивая
т
радиус-вектор RI = O1O = [xyz] и вектор \j — абсолютную скорость точки O. Модельные аппроксимации этих векторов R*, V* находятся как решение уравнений кеплерова движения, корректируемое по данным глобальной спутниковой системы позиционирования типа GPS. По известной зависимости B J = BJ (RI, VI) находится
модельная оценка B* =BJ(R*, V*) вектора By.
Необходимо сформулировать достаточно надежный алгоритм преобразования значений BE,
B* в оценки Л*, w*E соответственно кватерниона Л и вектора фгЕ для стабилизации объекта управляющим моментом (1.1) с оговоренной точностью ценой возможно меньших вычислительных затрат.
2. АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ И КОМПЕНСАЦИЯ ЕГО ОШИБКИ
Счисление параметров ориентации выполняется с шагом h, достаточно малым, чтобы при обосновании алгоритма определения ориентации считать правомерной формулу первого приближения
Лв+1 = (1 + v „+и) ° л„. (2.1)
Индексами n и n + 1 отмечаются операнды выкладок, относящиеся соответственно к моментам времени tn и tn + 1 = tn + h — началу и концу очередного шага; о — знак умножения кватернионов; vn+1« 1/2уn+1,J, где уn+1 — вектор малого поворота трехгранника 123 относительно XYZ на шаге [tn, tn+1]. Из (2.1) следует в том же приближении
Л n = (1 - v n+1, J) ° Л n+1.
(2.2)
Точность аппроксимации кватерниона Л модельным (вычисленным) кватернионом
Л* = X* + охарактеризуем неизвестным нормированным кватернионом ошибки М = ц 0 + ц = = Л* о Л (надчеркиванием отмечается сопряжен-
ный кватернион; ц7 = [цхц2] ). В условиях хорошо сходящейся оценки оказывается «1,
| = (цгц)^2 <§ 1. В частности,
Л* « (1 + Ц nJ) ° Лn. Сформируем единичные векторы b
(2.3)
■ *
и bn+1,J -
орты направлений измеренного вектора Bn+1E и
n+1,E
вычисленного вектора Bn+1, J
b n+1, E
— B„+iB
n+1" n+1,E> "n+1,J
Bn+1 — B
b* _ B-1B* u„+i j — j3 „+10 n
}n+1" n+1, J'
(2.4)
*n+1,E
'n+1,E в оРт b«+1 = Л*Е ° bn+1,E ° Л*Е.
Преобразуем Ь п Учитывая (2.2), (2.3) и используя правила операций с кватернионами [5], находим в первом приближении
b n+1 b n+1, J - 2b n+1, J X (v n+1, J И nJ),
(2.5)
где Ьв+1_J = Лв+1_Е °Ьв+1,Е о Лв+1_е. Равенство (2.5) рассматриваем как уравнение измерения относительно ошибки ц ^. Составим вектор V
12b°+1 х b
«+1, J
, найдем скаляр v*n+1 из условия
*2 *Т * ,
нормировки V 0,п+1 + V в+1, Jv в+1, = 1 и выполним шаг счисления модельного кватерниона по формуле
Л*+1 = N*+1 ° л*
N*+1 = v*
0,n+1
+ v
n+1,J'
(2.6)
Из (2.3), (2.5), (2.6) следует с той же точностью
лп+1 = (1 + Цn+1,J) ° Лn+1,
(2.7)
Ц «+1, J = Ь «+1, J Ь«+1, J (Ц ^ v и+1, J).
Первое выражение (2.7) имеет форму (2.3) и приводится к эквивалентному представлению
лп+1 =Лn+1 ° (1 + Цn+1,E),
(2.8)
Ци+1,Е = Ьп+1,ЕЬп+1,Е(ЦпЕ - Vп+1,Е).
Оценка вектора относительной угловой скорости шп+1,гЕ с точностью, достаточной для дальнейшего, получается в виде
* - и,-1
Wn+1, rE — 2h Ч n+1,
(2.9)
где qп+1 — векторная часть кватерниона Лп о Лп+1.
Вопросы наблюдаемости применительно к задаче определения взаимной ориентации двух координатных трехгранников по измерениям проекций одного вектора на оси обоих трехгранников при известной угловой скорости подвижного трехгранника подробно исследованы в теории инерциальной навигации [6, 7]. В данном случае роль информации об угловой скорости подвижного трехгранника (123) относительно "непо-
движного" (XYZ) играет вектор vn+1,J, фигурирующий в (2.5). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что упомянутая угловая скорость, как видно из (2.4), (2.8), учитывается с точностью до своей составляющей в направлении BE. Недоступность этой составляющей можно трактовать как неизвестное возмущение, не имеющее отношения к собственно наблюдаемости. Тогда вектор цJ с точностью, достаточной для анализа наблюдаемости, удовлетворяет уравнению первого приближения
ц J =-Ú J x ц J, (2.10)
где ú J = [0 й 0]T; й — доступная вычислению угловая скорость орбитального движения; u — аргумент широты. Положим в (2.5) vn+1J = 0. Тогда вектор состояния системы (2.10) в области его малых значений вполне наблюдаем по показаниям магнитометра в том и только в том случае, если уравнение (2.10) не имеет решения ц J Ф 0, такого, что bJ х цJ = 0.
Исследуем наблюдаемость малой ошибки ц J в упрощающих предположениях, близких к реальной ситуации: объект совершает кеплерово движение по круговой орбите, а геомагнитное поле определяется моделью "прямой диполь" [9]. Если при этих упрощениях вектор ц J окажется ненаблюдаемым, то фактически он слабо наблюдаем.
Тождество bJ х цJ = 0 выполняется тогда и только тогда, когда BJ х цJ = 0. При сделанных предположениях оказывается й = const и в соответствии с [9] и (2.10)
B J = [Ba sin i cos й, Ba cos i, -2Ba sin i sin u],
T (2.11)
цJ = [mcos(u + x), M-r,msin(u + x)] ; i = const — наклонение орбиты, Ba, m, x, — постоянные. Значение и размерность Ba несущественны для анализа наблюдаемости. Векторы (2.11) не удовлетворяют тождеству BJ х цJ = 0 ни при каких значениях своих параметров, так что вектор ошибки ц J вполне наблюдаем по измерениям (2.5).
На практике неполный учет вектора v n+1 препятствует совершенному исключению ошибки ц n+1 в (2.7) или (2.8). Вместе с тем в установившемся режиме стабилизации вектор vn+1 весьма мал. Поэтому, если каким-либо образом обеспечивается стабилизация трехгранника 123 в положении XYZ, то алгоритм (2.6) проявляет хорошие свойства сходимости в оценивании Л.
Обращаясь к формированию управляющего момента Mun+1, учтем, что в установившемся режиме стабилизации и оценивания справедливы
соотношения ~ 1 и X* « 1. Тогда из (2.8) следует
в первом приближении Х*+1 = кп+1 + цп+1Е и, по (2.4), (2.8), Бв+1>е х X
п+1 _ Бп+1,Е Х ^ п+1 п+1 )• ^
той же точностью из (2.3), (2.8), (2.9) выво
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.