ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 11, с. 1007-1015
УДК 533.951
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
МАГНИТОЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ ПЛАЗМЕННЫХ ШНУРОВ © 2014 г. А. В. Тимофеев
Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
e-mail: timofeev_av@nrcki.ru Поступила в редакцию 05.05.2014 г.
Рассмотрены колебания плазменного шнура в продольном магнитном поле. Найдено, что в шнуре, радиус которого мал по сравнению с характерной длиной волны магнитозвуковых колебаний, рассчитанной по теории однородной плазмы, могут возбуждаться собственные моды с частотой порядка ионной циклотронной. Они имеют вид волн, бегущих вокруг оси шнура в сторону вращения электронов в магнитном поле. Магнитозвуковые колебания могут возбуждаться в качестве побочного эффекта винтовыми токовыми антеннами, часто используемыми для ИЦР-нагрева. Это будет усиливать нагрев электронов, а на периферии плазменного шнура и ионов. В спектре собственных мод неоднородных плазменных шнуров присутствуют колебания различной природы. Сопоставление их свойств, производимое в статье, полезно для получения полной картины физических процессов, происходящих при ИЦР-нагреве, а также для выявления характерных особенностей исследуемых магнитозвуковых колебаний.
Б01: 10.7868/80367292114110067
1. ВВЕДЕНИЕ
Магнитозвуковые колебания (МЗК), называемые также быстрыми магнитозвуковыми, являются фундаментальным явлением, характерным для замагниченной плазмы. Они используются, в частности, для ее нагрева по "методу малой добавки" в системах термоядерного синтеза, см., например, [1]. В качестве побочного эффекта эти колебания могут возбуждаться и при других схемах ИЦР-нагрева, например, в системах ИЦР-разделения изотопов [2] и в плазменном двигателе УЛ81МЯ [3]. Частота МЗК меняется в широких пределах (0 < ю < ю,). В области высоких частот (ю > ю,) МЗК переходят в геликоны. Последние оказались чрезвычайно эффективными при генерации плазмы. По этой причине они получили широкое распространение в технических приложениях, и им посвящены обширные теоретические исследования. В частности, установлено, что в плазменном шнуре, вытянутом вдоль магнитного поля, должны преобладать колебания, бегущие вокруг оси шнура (по азимуту) в сторону вращения электронов в магнитном поле [4, 5]. Данный результат коррелирует с характерным свойством геликонов — в их электрическом поле преобладает циркулярная составляющая, вращающаяся в "электронную сторону". Поскольку, как отмечалось выше, геликоны и МЗК принадлежат одной ветви колебаний, можно ожидать, что и в области низких частот в плазменном шнуре будут преимущественно возбуждаться МЗК, бегущие в электронную сторону. Это предположение нашло
подтверждение в настоящей работе. Как и в случае геликонов, асимметрия по отношению к направлению азимутального вращения связана с радиальной неоднородностью плазменного шнура. Действие данного фактора приводит к существенному сокращению характерной длины волны МЗК в направлении поперек магнитного поля. В результате становится возможным возбуждение МЗК в сравнительно тонких плазменных шнурах. Одна из таких мод была обнаружена в численных расчетах [6].
Даже для простейшей монотонной зависимости плотности плазмы по радиусу волновое уравнение, описывающее МЗК, оказывается слишком сложным для аналитического решения. По этой причине в настоящей работе оно решалось численно. Основные параметры расчета выбирались соответствующими условиям экспериментов [3].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дисперсионное уравнение МЗК однородной плазмы, справедливое при выполнении условий
> ю,, (ю, |ю-ю,|)1/2 N имеет вид (см., напри-
ю
pi
мер, [7])
N| + =
Ю;
Ю
\2
Ю;
(1)
Здесь N — показатель преломления, значки параллельно" и "перпендикулярно" отмечают
направление относительно основного магнитного поля, ю — частота рассматриваемых колебаний, ю,- — ионная циклотронная частота, ю р, — плазменная ионная частота.
Как уже сказано, при ю > ю, МЗК переходят в геликоны, для которых справедливо приближенное дисперсионное соотношение, см., например, [8],
(2)
V ■ = с
г Г, у ^
2
Ю :
п 2 2'
В0 Ю у - Ю
£,к =
£ 1 0
Щ
£ 1 0
0 0
£| |
(3)
±
где б ± = 1 (б + +6 _), g = 1 (б + -6 _), величины б
характеризуют отклик плазмы на циркулярно поляризованные электрические поля, 6+ =
= 1 + ■
ю
р,
(^) -
ю
рр
8 _ = 1 + ■
Ю
Р'
NN ||=^.
1 1 Ю;Ю
Согласно (1), (2) длина волны обсуждаемых колебаний, а следовательно, и размер устройств, в которых они могут наблюдаться, зависит от плотности плазмы, возрастая при уменьшении
последней. Так, при плотности п0 = 1012 см-3 дей-териевой плазмы, помещенной в магнитное поле В0 = 5 кГс, характерные размеры устройства, в котором в соответствии с (1) можно было бы наблюдать МЗК с ю « ю,, должны быть не меньше 102 см.
Однако приведенные выше дисперсионные соотношения справедливы лишь для однородной плазмы. Между тем в системах с магнитной изоляцией плазмы она обычно имеет вид шнура, вытянутого вдоль магнитного поля, причем длина шнура значительно превышает его радиус. Ниже мы увидим, что из-за радиальной неоднородности плазмы требования на поперечный размер системы могут быть значительно снижены.
В МЗК переменное электрическое поле направлено почти поперек стационарного магнитного. Азимутальная компонента переменного электрического поля Е0 вызывает дрейф заряженных частиц по радиусу со скоростью
юк| ч'"/ юю/ ю, (Ю + Ю,- )
= ехр(2(к| | ) + ^ ехр(2)) (см.,
ю - ю,
например, [7]), ^ =
X (1 + ^е)) , ^ =
8, I = 1 + 2
\2
ш
ре
V ^е )
Ю
к\УТе
v-
у
Ш:
В силу симметрии рассматриваемой системы пространственная зависимость ВЧ-полей взята в виде ехр (шб + ¡И^) / (г). При этом г-компоненты электрического и магнитного полей выражаются алгебраически через 0, г-ком-
( ш йЕн
поненты: Ег = I -igEв--В« + iNII
¿г
1)(в. - и2)-1,
Бг = -ИЕп + ШЕм.
где у = е,,.
В неоднородной плазме различие в скоростях дрейфа электронов и ионов в скрещенных полях могло бы привести к нарушению квазинейтральности плазмы. Этого не происходит в результате появления токов, отсутствующих в однородной плазме. Одним из следствий перестройки системы токов и электромагнитных полей является сокращение поперечной длины волны. В настоящей работе это явление рассматривается на примере аксиально-симметричного плазменного шнура, однородного в продольном направлении.
Диэлектрический отклик плазмы будем характеризовать тензором
Для таких возмущений система шести уравнений Максвелла сводится к четырем дифференциальным уравнениям первого порядка, определяющим радиальную структуру колебаний. Данная система уравнений решалась в настоящей работе. В ряде случаев решение полной системы уравнений Максвелла сравнивалось с решением, полученным в приближении Ец = 0.
Если 8-компоненты ВЧ-полей выразить через Ец, Вц, йЕц/йг, йВц/йг, то получим систему двух уравнений второго порядка для Ец, Вц, см. [9, 10], которая удобна для качественного анализа колебаний плазменного шнура. В [11, 12] эти переменные использовались при рассмотрении геликонов.
Разумеется, оба похода к анализу колебаний плазменного шнура (анализ четырех дифференциальных уравнений первого порядка или двух — второго) приводят к идентичным результатам [10].
Как известно, в МГД-колебаниях, к которым относятся и МЗК, мала продольная составляющая переменного электрического поля. Такие колебания можно приближенно описать с помощью уравнения второго порядка для Вц, положив в нем
Е\\ = 0,
V± (ЕУ 1В||) ■■ 'ш й
Здесь Е =
е, - N2
г йг
о = £-,
О + 1 Вп = 0.
(4)
Б =
(в. - N2)
Б Б
х (б_ - N2) = (е± - N2) - g2. В настоящей работе
х
используются безразмерные координаты г ^ гю/с. К виду (4) приводится волновое уравнение, рассматриваемое в [13], при радиусе кривизны плазменного шнура, стремящемся к бесконечности.
В случае однородной плазмы с помощью (4) получаем дисперсионное соотношение, часто используемое при анализе колебаний плазменного шнура в продольном магнитном поле (см., например, [1]),
N1 = (
е + - N
- ^)
е, - N 2
Данное дисперсионное соотношение при выполнении соответствующих условий переходит в (1) или (2).
Чтобы выявить эффекты, обусловленные радиальной неоднородностью плазмы, полезно рассмотреть плазму большой плотности, для которой выполняются неравенства |б±| > 1, N2; > 1. В этом случае уравнение (4) принимает вид
1 -г/^Б^ | гйг -г
Ч^2 ^
ю,
/ + т <ю +
г ю, -г
Б I = 0,
(5)
где / = л0(0)/ль(г).
Для того чтобы в ограниченном плазменном шнуре были возможны собственные колебания, должна существовать эффективная потенциальная яма — коэффициент при свободном члене уравнения (5) в некотором интервале изменения радиуса должен быть положительным. Поскольку плотность плазмы спадает по радиусу, существование ямы облегчается для колебаний, бегущих по азимуту в "электронную сторону" (т > 0), см. второе слагаемое в скобках в левой части (5). В то же время существование собственных колебаний, бегущих в "ионную сторону" (т < 0), затруднено. Азимутальная асимметрия колебательных свойств плазменного шнура отмечалась в [4, 5] для геликонов, в настоящей работе рассмотрено влияние этого эффекта на более низкочастотные МЗК.
Отметим, что значение частоты ю = ю, не является особым для уравнений (5). В этом проявляется фундаментальное свойство МЗК — нечувствительность к ионному циклотронному резонансу.
Влияние неоднородности плазмы на ее волновые свойства проявляется наиболее ярко при ступенчатом профиле плотности, когда колебания принимают вид поверхностных волн. Дисперсионное уравнение таких колебаний часто получают, интегрируя волновое уравнение по области резкого изменения — скачка плотности плазмы. В рассматриваемом случае такой подход справедлив для довольно искусственных распределений
плотности, при которых в области скачка не обращаются в нуль ни числитель, ни знаменатель функций И и О в уравнении (4), см. [14].
Распределения плотности плазмы с резкой границей характерны для плазменных потоков, движущихся вдоль магнитного поля, см., например, системы ИЦР-разделения изотопов [2] или плазменный двигатель УЛ81МЯ [3]. В эт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.