научная статья по теме МАССОПЕРЕНОС ПРИ ПЛЕНОЧНОМ ТЕЧЕНИИ НА ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В МИКРОФИЛЬТРАЦИОННО-ДЕСОРБЦИОННЫХ АППАРАТАХ Химическая технология. Химическая промышленность

Текст научной статьи на тему «МАССОПЕРЕНОС ПРИ ПЛЕНОЧНОМ ТЕЧЕНИИ НА ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В МИКРОФИЛЬТРАЦИОННО-ДЕСОРБЦИОННЫХ АППАРАТАХ»

Решение уравнения (4) показывает распределение скорости по высоте внутреннего мембранного канала:

Ж = Ж0-Ьх + Ц-, (5)

4Ag , 4 А (Л- Р0) где а — —, Ь — ---.

¿г Р ¿г

В работах [3] и [4] получены выражения для продольной Ж2 и поперечной Жу скорости в ламинар-но стекающей пленке жидкости по внешней поверхности микрофильтрационной мембраны, а также определена толщина стекающей пленки 5.

= Щ (2 5у - у2),

Ж = Ж

Ж 2ц Эг'

5 =

3ц¿2 (Ж- Ж1 )>1/3 4deg р

(6)

(7)

(8)

2 — Хо — X.

Из уравнений (5) и (8) получим зависимость толщины стекающей пленки от г:

5 =

3 ц

1/3

4 рde

Ьг -2 (2ХоТ - т2)

(9)

+ = Ж дт Жу ду и --2'

д У

(10)

граничные условия:

с =1 при у = 0 (2 > 0) с = 0 при у = 5 (2 > 0)

Точное решение стационарного уравнения массопереноса второго порядка с двумя пространственными переменными вида (10) является сложной задачей. В связи с этим уравнение (10) решалось численно, методом конечных разностей.

Также были получены приближенные аналитические решения методом Галеркина, сводящиеся к простым зависимостям, более удобным для практического применения.

При численном решении определяли относительную концентрацию по толщине стекающей пленки жидкости с и среднюю концентрацию в потоке С, выходящем из мембранного модуля, рассчитываемую по уравнению (12):

| сЖ^у

С = 0-

(12)

В уравнениях (7), (8) расстояние г измеряется от верхнего конца мембраны:

| Ж^у

МАССОПЕРЕНОС В ПЛЕНКЕ СТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ

Как указано выше, задача массопереноса в пленке переменной толщины рассматривается для случая десорбции плохо растворимых компонентов (например, обезвоживание минеральных масел). В этом случае лимитирующая стадия массопереноса сосредоточена в жидкой фазе. При интенсивном вакуумировании или подаче потока осушенного воздуха концентрация удаляемого компонента на внешней поверхности стекающей пленки может быть принята равной нулю.

Таким образом, определение содержания де-сорбируемого компонента в ламинарно стекающей пленке сводится к решению уравнения конвективной диффузии при граничном условии первого рода на внешней поверхности жидкости.

Вычисления производили для мембраны высотой 1 м.

В расчетах принимали следующие величины плотности и вязкости минерального масла: р — — 850 кг/м3; ц — 0.01 Па с. Коэффициент диффузии воды в масле В — 6.3 х 10—10 м2/с.

При анализе полученных результатов использовали следующие критерии подобия:

,, Жу0 5т „

Реу — —в— - критерий Пекле, рассчитанный по максимальной поперечной составляющей скорости;

Рег —

рg5m

2 цВ

— критерий Пекле, рассчитанный по мак-

симальной продольной составляющей скорости;

, 2цПгт „ бо2 = -4--критерий Фурье, рассчитанный по

Р g5m

максимальной величине продольной составляющей скорости и максимальной высоте пленки гт.

Как видно из приведенных формул:

2

Бо' =

5т Ре/

Результаты численного решения для различных плотностей потоков через мембрану представлены на рис. 1 и в табл. 1.

Как видно из рис. 1 выпуклость концентрационных профилей возрастает при увеличении г и д. При небольших высотах профили концентрации

5

0

близки к линейным, причем при невысоких плотностях потока линейность сохраняется при величинах г порядка нескольких миллиметров. Увеличение z и д приводит к возрастанию толщины пленки и уменьшению времени пребывания частиц жидкости и, следовательно, возрастанию концентрации. Следует отметить, что уменьшение степени десорбции при росте г связано также с увеличением неравномерности времен пребывания частиц жидкости в аппарате. Эффективность десорбционной очистки от низкомолекулярных компонентов оценивается по их средней концентрации в потоке жидкости в нижней части пучка трубчатых мембран с.

Данные, приведенные в таблице 1, показывают быстрое увеличение выходной концентрации с возрастанием д, Реу и уменьшением Бо', что вызвано приведенными выше причинами.

Влияние обобщенных переменных на степень десорбции (1 - с) становится более ясным при расчете концентрации по приближенным аналитическим зависимостям, полученным по методу Галеркина. Кроме того, эти зависимости значительно упрощают вычисления и являются исходными данными для расчета стадии дополнительной очистки. Дополнительная очистка производится при движении пленки по поверхностям, образованным наружной стороной непроницаемых трубок, соединенных с керамическими мембранами.

При решении уравнения (10) по методу Галеркина были использованы два вида базовых функций. При невысоких и средних величинах трансмембранных плотностей потоков массы использовалась базовая функция вида:

с 1.0

с (у, г) = а! + а2| + аз К

(13)

с! (у, г) = 1-1у

(14)

Рис. 1. Зависимость концентрации воды в минеральном масле от относительной поперечной координаты при различной плотности трансмембранного пото-ка/д, кг/(м2 ч): д = 25: г = 0.001 (1); 0.4 (2); 1 (3); д = 125: г = 0.001 (4); 0.4 (5); 0.8 (6).

В соответствии с граничными условиями (11) уравнение (13) принимает вид:

С2, з (У, г) = 1-8- а

"у_ (У .8 18

(15)

где а = /г).

где ах, а2, а3 - коэффициенты, являющиеся функциями г. Показатель степени т принимался различным для низких и средних плотностей трансмембранных потоков.

При д < 40 кг/(м2 ч) т = 2, при граничных значениях критериев Пекле и Фурье Реу < 2.2; Бо' >

> 0.4.

При 40 < д < 150 т = 4; (2.2 < Ре < 13, 0.055 < Бо' < < 0.4).

При больших значениях д > 150 кг/(м2 ч) (Реу >

> 13; Бо' < 0.055), базовой функцией являлась:

Определение величины а требует граничного условия при г —► 0. В области малых величин г некоторое влияние оказывает продольная диффузия. Однако это влияние проявляется при очень малых величинах г, так как при низких значениях д, где влияние продольной диффузии наиболее заметно, соотношение вертикальной и горизонтальной координат (г/8) при высотах в интервале г = 1-3 мм, составляет 50-100. При таких величинах г/8 в начале пленки влиянием продольной диффузии можно пренебречь. Как показыва-

Таблица 1. Средняя концентрация в потоке, выходящем из мембранного модуля, при различных показателях (г = 1 м)

где п - величина, являющаяся функцией г.

с Ч Реу Бо'

0.437 25 1.16 0.60

0.513 50 2.93 0.24

0.682 125 9.94 0.07

0.717 150 12.67 0.055

0.792 250 25.35 0.026

ют численные расчеты, в этой области значений г/8 концентрация является линейной функцией г:

с = 1 -

у 8.

Поскольку уравнения (14), (15) в конечном счете, предназначены для определения с на нижнем срезе мембран (г = гт = 1 м), величинами порядка 10-3 м можно пренебречь. В соответствии с этим, получим граничное условие: а = 0 при г —► 0.

При подстановке базовой функции (15) с2(у, г) (т = 2), с3(у, г) (т = 4) в уравнение (10) получим выражения для невязок Я2 (т = 2) и Л3 (т = 4).

Коэффициенты а находили из условия минимума невязок:

11

|д2с2(у, г)йу = 0; |Дзсз(у, г)йу = 0. (16)

О 0

В результате получали нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка для определения а. Поскольку операции (16) стандартны, приводим лишь одно уравнение для с3(у, г):

- Ж

у0.

0.1 В 82д-д г

0.0589В82д8а -д г

- 0.02 В 82д8 а2 + 0.0438 В83 а ^ -дг дг

(17)

-0.0435 В 8^-Ы а

где В = №.

а2

1.286а I = 0,

Разложив а = /(г) в ряд Тейлора, и взяв два первых члена разложения, а также введя в уравнение (17) обобщенные переменные (при г = 1 м), получим выражение для а в условиях выхода из аппарата в границах Реу и Бо' для т = 4:

а=-

г

.2у

4у2

1/2—,

(18)

П11ав д8 0.087 .

где г = 0.118Рег 3---—-- 1,

дг Бо'

1 , 0.0876 п П/1Т1 д8

ш = 1.286 + —-:-----0.04Рег -г-,

Бо' д г

по и д8 Реу

7 = 0.2Рег.

Аналогичные операции, проведенные для с2(уг), приводят также к квадратному уравнению (18) в границах Реу и Бо' для т = 2:

пюпп д8 0.05 л где г = 0.189Рег^ - ю" - 1'

¥ = 0.333 + ^-0.0833Рег д8, Бо' д г

п д8 Реу

у = 02Ре^Тг--г .

Условие минимума невязки для сх(у, г)

|Л1с1(у, г) ёу = 0

(19)

также приводит к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка для определения показателя степени п, причем член уравнения, содержащий ^ при больших п (что соответствует дг

большим значениям Реу и г = 1 м), составляет незначительную величину. При этом условии п определяется из следующего уравнения:

0.5

1.5

0.5

Ре- + 2Ре д-п(Л^_____

2 г дг I п + 2 2п + 3 2п + 2 п + 3

п(п - 1) 2 п - 1

(20)

- п = 0.

Границей применения этого уравнения являются Реу > 13 и Бо' < 0.055.

Подстановка выражений с12,3(у, г) в уравнение (12) приводит к величинам средних концентраций с.

Сравнение величин с, полученных аналитически и численно, приведено ниже: при базовой функции с1(у, г) расхождение составляет 2-3, с2(у, г) - 2.5-5, с3(у, г) - 3.5-4.9%.

Поскольку отличия, полученные при сравнении численных и аналитических величин, не превышают 5%, то приближения сделанные при решении уравнений (16), (19) оправданы.

Как показывают аналитические решения для невысоких и средних плотностей потоков массы, определяющими величинами для расчета с являются значения Реу и Бо'. Для больших величин плотностей потоков с определяется значением Реу.

При микрофильтрационной очистке водно-органических смесей от эмульсионной влаги содержание воды резко снижается [5]; удаляется практически вся диспергированная вода. Однако удаление растворенной воды, как показали данные численного и аналитического расчета при десорбции влаги из стекающей пленки, достаточно эффективно лишь при низких значениях трансмембранных потоков. Следует отметить, что в ряде случаев, требование к содержанию воды и газов в органических жидкостях очень жесткие, например, в трансформаторных маслах содержание воды не должно превышать 10-3 % масс.

0

Для достижения высокой степени десорбции низкомолекулярных компонентов схема очистки модернизируется. Пористые керамические трубчатые мембраны соединяются с непористыми трубками равного диаметра. При этом пленка жидкости стекает на непроницаемую поверхность доочистки, где десорбция проходит при течении пленки постоянной толщины, что приводит к резкому снижению неравномерности времен пребывания жидкости в зоне десорбции.

Определение поля концентраций низкомолекулярных компонентов в пленке жидкости в этом случае сводится к решению уравнения конвекти

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком