ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2015, том 49, № 1, с. 74-78
УДК 66.021.3
МАССОПЕРЕНОС В СИСТЕМЕ С ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ © 2015 г. С. В. Натареев, Н. Р. Кокина, О. С. Натареев, Е. А. Дубкова
Ивановский государственный химико-технологический университет
natoret@mail.ru Поступила в редакцию 03.04.2012 г.
С помощью метода интегральных преобразований Лапласа найдено аналитическое решение задачи о диффузионном извлечении вещества из твердого тела пластинчатой формы в аппарате проточного типа. Разработанная математическая модель применена для исследования процесса выщелачивания хлористого цинка из фибры.
Ключевые слова: массоперенос, система твердое тело—жидкость, выщелачивание, раствор, пористое твердое тело, кинетика, аналитическое решение, математическая модель.
БО1: 10.7868/80040357115010091
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее простая постановка задачи о переносе вещества в системе твердое тело—жидкость состоит в изучении пространственно-временного изменения содержания вещества внутри твердого тела. Для упрощения решения вышеуказанной задачи обычно принимают коэффициент диффузии постоянной величиной по всему объему тела. Аналитическое решение задачи диффузии, лимитируемой внутренним и внешним сопротивлениями массопереносу, для тела канонической формы, помещенного в раствор с постоянной концентрацией, может быть получено по аналогии с известной задачей о поглощении теплоты телом при граничных условиях третьего рода [1, 2]. В реальных условиях в процессе массообмена между фазами наблюдается изменение концентрации вещества не только в твердом теле, но и в окружающем растворе. В этом случае для решения уравнения диффузии может быть использован математический аппарат задачи о поглощении вещества твердым телом из ограниченного объема окружающей среды [3, 4]. Целью данной работы является дальнейшее развитие аналитической теории диффузии в области решения краевых задач нестационарного переноса вещества в телах канонической формы с учетом изменения концентрации раствора и характера движения фаз в аппарате проточного типа.
точного типа. Примем, что в аппарат помещены неподвижная пластина с объемом поровой жидкости V с начальной концентрацией С0, и раствор объемом V с концентрацией вещества С0. Твердая фаза имеет пористость ем и не обладает сорбцион-ными свойствами. Структура потока жидкой фазы в аппарате описывается моделью идеального перемешивания. В аппарат поступает раствор с объемным расходом О и концентрацией вещества Свх. Одновременно из аппарата выводится равное количество раствора с концентрацией вещества С(т). Скорость процесса массообмена между твердой и жидкой фазами лимитируется как внешней, так и внутренней диффузией. С учетом принятых допущений математическое описание процесса включает следующие уравнения: уравнение материального баланса аппарата идеального смешения проточного типа:
VdC® + в= О [Свх - С(т)];
(1)
й Т й т
уравнение кинетики диффузии для тела пла стинчатой формы:
дС(х, т) ^ д С(х, т)
= иэф ^ 2 ;
(т > 0; 0 < х < Д); (2)
дт дх 2
уравнение для определения средней концентрации вещества в твердом теле:
ТЕОРЕТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
Рассмотрим процесс диффузионного извлечения вещества из пористого твердого тела пластинчатой формы в периодическом аппарате про-
Сср(т) = 1/Я ]С(х,т)йх;
начальные и граничные условия: С(х,0) = СсР(0) = С0; С(0) = С0;
(3)
0
= 0; C(0, т)
дх
Ф да;
n dC (R, т)
D.
эф
дх
ß [С(т) - C(R, т)].
(5)
(6)
Введем в рассмотрение новые переменные и безразмерные величины:
N(Z, FoJ = СвХ - C(x, т); Ncp(Fom) = СвХ - Ccp(x); N(Fom) = Cвх - C(T);
N(0) = Сев - Co; N(0) = Сев - Co; Bim =eR•
D
эф
T-. ^^эф^ i- x
Fom = —t- —; m R2 R
a = £Z; QR
V x VD
(7)
эф
Система уравнений (1)—(6) в новых переменных будет иметь вид:
dN (Fom) + а dN cp(Fom)
dFo„
dFo„
= -XN (Fom); (8)
dN fe Fom)_д 2 N fe Fom).
dFo„
dq
(Fom >0; 0 <q< 1);
i
Ncp(Fom) = JN ( Fom )d%
(9)
(10)
N&0) = Ncp(0) = N0; N(0) = N0; (11) dN (0, Fom)
d%
= 0; N(0, Fom)
(12)
d Xfe s)
d ü2
- sNl(Ü, s) + N о = 0,
(14)
где ж — комплексный параметр.
Общее решение операторного уравнения (14)
есть
Nl(£, s) - No = Ach4s^ + BshVs^.
(15)
Перейдем в уравнении (12) в область изображений и подставим в полученное выражение решение (15):
0Nl(0, s) =
(16)
= [VsAshVsg, + VsBchV^]^ q = -JsB = 0,
откуда B = 0.
Операторное уравнение (15) примет вид:
Nl(£, s) - No = AchTs
s
Среднее значение функции NL (2,, s):
Nо
shVs.
(17)
(18)
NcpL(s) - rs s vs
Запишем уравнение материального баланса (8) и граничное условие (13) в области изображений:
snl(s) - N0 + g[sNcpl(S) - N0] = -XNL(S); (19) = Bim [Nl(s) - Nl(1, s)]. (20)
Выразим из уравнения (19) функцию NL(s) и подставим ее величину в условие (20):
ONlH s) = dl
^ (21)
= Bim {N
ls + X s + x
Удовлетворим решения (17) и (18) условию (21), а затем из полученного соотношения найдем постоянную А:
Bim [sNp - (s + x)Np]
CT r„ÄT
[sNсрL(s) - N0]- Nl(1, s)[.
A =
(22)
s [(s + X + Bima-)Vssh\/s + Bi m(s + x)ch/s ]' Решение в области изображений будет иметь вид:
NlG, s) - N = s
(23)
^Жр^ = т [т) - N(1, БСт)]. (13)
Для решения краевой задачи (8)—(13) будем использовать метод интегральных преобразований Лапласа [5].
Запишем операторное уравнение, соответствующее уравнению (9):
_ В1 т [[ - (5 + x)Nо]ен (Щ _ 9(5) 5 [(5 + X + В^СТ^Ь/я + В1 т(,У + ] \|/(у)
Числитель и знаменатель решения (23) представляют собой обобщенные полиномы относительно ж. В этом нетрудно убедиться, используя непосредственное разложение гиперболических функций в степенной ряд. Следовательно, для выполнения обратного преобразования Лапласа может быть применена вторая теорема разложения:
L
-1
y(s) _¥(s)_
yjs„) =1 ¥ Ю
+ exP(s«Fom ).
= Ф(0) ¥ '(0)
Найдем корни жп, для чего у(ж) приравняем ну лю, т.е.
¥(5) =
= 5 [(ж + X + В1 тст)л/5зЬл/5 + В1 т(5 + х)е^л/ж] = 0.
Отсюда будем иметь: 1) ж = 0 (нулевой корень), 2) бесконечное множество корней ж„, определяемых из уравнения:
(24)
(25)
2
0
76
НАТАРЕЕВ и др.
(27)
(s + х + Bimüh/Ssh/S + Bim (S + x)ch/S = 0. (26) tg = Bim(x-^2)
Осуществим переход от гиперболических функ- ^ + Bi а - р,2)'
ций к тригонометрическим и обозначим i^s = В соответствии с соотношением (24) найдем
Получаем вспомогательные величины
Ф(0) =
v'(0)
Bim [ - (s + x)Nо](l + ^ + -l^s2^4 + ...) (s + x + Bima^Vs fVs + ^ +1 shVs + Bim(s + x) (l + - s + ...
¥'(s«) =
s [(s + x + Bi mo)Tss h/s + Bi m(s + x)ch/s ]}' 2f {[(1 + Bim )(x - In ) - 2| n + Bi mo] sin | „
+ Цn [x - ll + Bim + 2)] COs |„} ,
(29)
; = -No,
№„) = Bim [sNо - (s + X)Nо ] ch (V^) =
= -Bim [^lN0 + (x - 2l4) N0] COs (щ£) .
ф(0)
(28)
(30)
Учитывая найденные значения т , ф($п) и
¥'(0)
у'(sn) получим решение задачи в виде:
2П
F(x, т) = С (X Т) - Свх = cos / , (31)
C0 - Свх п=1 Ип ^ ^
где A„ =
2Bi m - (ä -С в: Ь-цП .
(1 + Bim)(х - ) - 2цn + BimCT sin Цn + Цn [Х - Цn + Bim (о + 2) COS Цn
Если подставить в соотношение (3) вместо
С (х, т) решение (31), то после интегрирования получим
^cp(T) =
Сср (т) Св:
С0 — Св:
= Z A
l=1
sin Иn e" R2 2 е И n
(32)
V^ = SD^ ^ d т öx
(33)
Уравнение материального баланса (1) может быть записано так
dC (т) + р SD dC (x, т)
V —;--+ 6 мSDэф—--
d т dx
= Q [Свх - С(т)]. (34)
x=R
Решение (31) позволяет проанализировать влияние объемного расхода раствора, поступающего в проточный аппарат, соотношения объемов твердой и жидкой фаз в аппарате, толщины пластины и других параметров процесса на распределение концентрации вещества по внутренней координате твердого тела. Уравнение (32) может быть использовано для определения средней концентрации вещества по объему твердой фазы в любой момент времени.
Используем равенство, отражающее тот факт, что скорость выхода раствора из объема тела пластинчатой формы должно быть равно скорости, с которой раствор проходит через поверхность этого тела:
Учтем, что V = ¿Я. Если подставить в уравнение (34) вместо С (х, т) решение (31), то после дифференцирования, принятия х = Я и интегрирования получим
0(Т) = С(т) Свх = e" R* + а
С0 Св:
Z
■=1 X - И n
(35)
и1 + (х-и n)
2 \ I С0 Св-
С0 Св
Sin И г.
- R2
ХДэфт^
- e
x=R
Уравнение (35) может быть применено для расчета концентрации раствора на выходе из аппарата в любой момент времени.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ НА ЭВМ
Полученные решения (31), (32) и (35) были применены для исследования процесса выщелачивания хлористого цинка из фибры. При выполнении вычислительного эксперимента устанав-
30
n
X
ливали влияние расхода жидкой фазы и входной концентрации раствора на кинетику выщелачивания. Параметры процесса приняты из работ [6, 7]: С0 = 1300 кг/м3; С0 = 1300 кг/м3; V = 1.1 х 10-4 м3; V = 6.5 х 10-3 м3; ем = 0.5; Я = 1.6 х 10-3 м; р = 1 х х 10-5 м/с. Расход раствора 2, поступающего в аппарат, составлял 2 х 10-6 и 4 х 10-6 м3/с. При входных концентрациях раствора Свх, равных 1000 и 700 кг/м3, значения коэффициентов диффузии Бэф принимались соответственно 2.6 х 10-10 и 3.8 х 10-10 м2/с.
В качестве примера на рис. 1 изображены кривые распределения относительной концентрации хлористого цинка в неограниченной пластине толщиной 3.2 х 10-3 м по относительной координате для различных моментов времени процесса выщелачивания, расчетного при 2 = 2 х 10-6 м3/с и Свх = 700 кг/м3. На рис. 2 и 3 показаны соответственно кинетические кривые процесса выщелачивания фибры и зависимости изменения безразмерной концентрации раствора на выходе из аппарата при различных условиях протекания процесса. Из данных рисунков видно, что увеличение объемного расхода раствора и уменьшение его входной концентрации приводит увеличению скорости выщелачивания фибры.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Получено аналитическое решение задачи нестационарной диффузии для неограниченной пластины при граничных условиях третьего рода, в которых концентрация раствора С задается в виде функции, зависящей от времени процесса т, а в качестве закона С = /(т) используется уравнение материального баланса аппарата идеального смешения проточного типа. Полученное решение апробировано на примере выщелачивания хлористого цинка из фибры.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.