ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 2, с. 80-84
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО УЩЕРБА
© 2012 г. М.В. Кузякина, Е.А. Семенчин
(Краснодар)
Предлагается математическая модель динамики экономического ущерба, причиняемого окружающей среде выбросами примеси от промышленных предприятий. Модель обладает рядом преимуществ по сравнению с существующими: в ней не требуется определять значительное число эмпирических констант и она позволяет прогнозировать указанный экономический ущерб на 2-3 года вперед.
Ключевые слова: экономический ущерб, примесь, выброс от промышленных предприятий, воздушная среда.
В работах (Москаленко, 2003; Лоскутова, 2008) подробно описаны методики расчета экономического ущерба у, причиняемого воздушной среде годовыми выбросами загрязнений в атмосферу от стационарных источников, к которым, в частности, относятся промышленные предприятия. В методике (Москаленко, 2003) для вычисления у используется соотношение
у
«А /
Т/ат г
(1)
г=1
где а - коэффициент, учитывающий региональные особенности территории, подверженной воздействию вредных веществ и связанный с величиной относительной опасности загрязнения этой территории; /- коэффициент, учитывающий характер рассеяния веществ в атмосфере; тг -стоимостная оценка (в денежных единицах) ущерба от единицы выброса вредного вещества г (коэффициент т г часто расщепляют на сумму т г = т/ + т", где т/, т" - стоимостные оценки ущерба, причиняемого выбросами, соответственно не превышающими и превышающими предельные значения концентрации вещества г в атмосфере); п - число вредных веществ, выбрасываемых в атмосферу; а1 - коэффициент приведения различных вредных веществ к агрегированному виду, характеризующий относительную опасность для окружающей среды вещества /; т1 - фактический объем (масса) выброса за год вредного вещества /, г = 1,..., п.
В методике, описанной в (Лоскутова, 2008), для расчета экономического ущерба вместо формулы (1) предлагается использовать формулу
у
«/ / Тк1а1ть т1 < ПДВ¡;
¡=1
п п
а/ / Ска/ПДВ/ + а/ / т!к^г {т1 - ПДВ¡), т1 > ПДВ/
(2)
¡ = 1
¡=1
где к - коэффициент, учитывающий инфляцию, = 1,
/=
100
Х-
4
100фя 1+ и
= 1 +■
А Т 75°С
(3)
ф - поправка на тепловой подъем факела в атмосфере; АТ - среднегодовая разность температур в устье источника (трубы) и в окружающей атмосфере; Н - высота источника (трубы); и - среднегодовое значение модуля скорости ветра; параметры а,/ а, т', Т", тг имеют тот же смысл, что и в формуле (1); ПДВг - предельно допустимые выбросы в атмосферу вещества /.
п
Обратим внимание, что значения 7,, 7" существенно зависят от , (в настоящее время существуют подробные таблицы значений этих величин, ежегодно утверждаемые постановлением Совета министров Российской Федерации "Об утверждении нормативов платы за выбросы загрязняющих веществ в природную среду и порядка их применения").
На практике не всегда удобно вычислять эмпирические константы, входящие в (1) и (2). Кроме того, по этим формулам можно определить значения экономического ущерба у только в рассматриваемый момент времени t, но никак не в последующие моменты, т.е. при s>t нельзя осуществить прогноз значений у с момента t на момент 5.
Цель данной работы - предложить другой метод вычисления значений экономического ущерба, который позволил бы отказаться от определения большого числа эмпирических констант в (1), (2) и позволил бы прогнозировать экономический ущерб на момент 5 > t по известным значениям t до момента у включительно.
Рассмотрим отношения двух сторон: промышленного предприятия, выбрасывающего в атмосферу экологически вредные вещества, и организации, осуществляющей контроль за выплатой предприятиями штрафов, налагаемых на них территориальными органами Федеральной службой по экологическому, технологическому и атомному надзору РФ (далее - контролирующей организации).
Предполагаем, что руководство промышленного предприятия планирует объемы выбросов загрязняющих веществ в текущий момент времени t, t = 1, 2,..., в соответствии с величиной штрафов, уплаченных им за такие выбросы в предыдущий момент времени - 1); сумма экономического ущерба, устанавливаемая контролирующей организацией в момент t, определяется объемом (массой) выбросов этих веществ в данный момент. Пусть динамика изменения массы загрязняющего вещества г описывается соотношениями:
т5(t) = Л( у,-(t - 1), у (t - 2), у,-(0)), (4)
т! ^ ) = ( у, ^)), (5)
где т5 ) - объем (масса) выброса вредного вещества, планируемый промышленным предприятием в момент времени V; величина т\^) определенным образом влияет на объем продукции, производимой предприятием, и на мероприятия по фильтрации от вредных примесей выбрасываемого в атмосферу воздуха; у() - суммарная величина экономического ущерба вредного вещества г, выплачиваемая в момент времени V; т!) - фактический объем (масса) выброса в атмосферу вредного вещества в момент t, в соответствии с которыми контролирующая организация рассчитывает суммарную величину экономического ущерба у(^), выставляемую предприятию за загрязнение атмосферы.
Также предполагаем, что в (4)-(5) имеют место более простые зависимости:
т\^)= Л( у,-^ -1)), (6)
т! ^ ) = ( у,- ^)) (7)
и задано начальное условие
у,- (0) = у 0. (8)
Чтобы промышленное предприятие не несло непредвиденных убытков, необходимо потребовать выполнение равенства
т!^) = т\^) 6t. (9)
Обратим внимание, что модели более частного, по сравнению с (6)-(9), типа используются в экономике для установления взаимосвязи между предложением и ценой в момент t - 1 и спросом и ценой в момент t. Такие модели принято называть паутинообразными (Ахтямов, 2006). Поэтому модель (6)-(9) также будем называть паутинообразной моделью динамики экономического ущерба, причиняемого окружающей среде атмосферными выбросами.
Запаздывание во времени суммы экономического ущерба у - 1) в (6) от объема выброса т5 ^) объясняется тем, что решение, принимаемое руководством предприятия, о величине
82
КУЗЯКИНА, СЕМЕНЧИН
объема производства (и, как следствие, об объеме выброса т5^)) в момент t принимается с учетом уплаченной суммы штрафов, совпадающей с величиной экономического ущерба - 1) в момент t - 1. Величина экономического ущерба у(^), соответствующая принятому решению, определяется по факту выброшенного загрязняющего вещества.
Путем линеаризации функции/(у - 1)), gг(у()), , = 1,., п, из (6)-(9) (например, с помощью ряда Тейлора (Годунов, Рябенький, 1977)) перейдем к разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами
ау (I - 1) + Ъу (1) = Ж). (10)
Пусть известны два любых решения {у,-^ -1), у ^)} и {у,(t -1), уЦ^)} уравнения (10). Подставляя каждое из них в (10) и вычитая затем полученные равенства одно из другого, получим однородное уравнение
ау,^ -1) + Ъу,(0 = 0, (11)
где у,^ -1)= у ( -1)- у -1), у, ^) = у1 ^) - у ).
Решением однородного уравнения (11) является функция у^ ) = а(-а/Ъ) ' (Годунов, Рябенький, 1977), где а - произвольная постоянная. Тогда общее решение неоднородного уравнения (10) можно представить в виде:
у1 ^ )= у ) + а(-а/Ъ) ', (12)
где у ¡.(t) - частное решение (11), имеющее вид (Годунов, Рябенький, 1977):
у;-(0= / (у?(0-к/(к)), (13)
к = -з
[а(-а/Ъ) ' , t <0;
у ) = *
[(а -1/а) (-а/Ъ)^ t >1. а определяется из начального условия (8).
Укажем решение модели динамики экономического ущерба (6)-(7) в частном случае, когда
т\^ ) = Ну^ -1)+ г, (14)
т! ^) = -Ъy¡(t) + а, (15)
а, Ъ, Н, г, а > г > 0, Ъ > 0, - некоторые константы, позволяющие установить взаимосвязь между т5), т!) и у,(t -1), у(t) соответственно и определяемые из соотношения (6) согласно экспериментальным данным.
Из соотношений (9), (14)-(15) находим
а - Ъу,^) = г + Ну,^ -1). (16)
Перепишем (16) в виде
у,0) = а + Зу ,0 -1), (17)
где а = (а - г)/Ъ, З = -Н/Ъ. Методом конечных разностей (Годунов, Рябенький, 1977) определим у1 ^) = а(1 + З + З2 + . + Зt-1) + Зty¡ (0), или
у,-(t) = а Т-у + ЗtУ;(0) = + (у,-(0) -Р Зt. (18)
Из (18) следует, что если | З | = | -Н/Ъ | < 1, то значенияy¡(t) при t " <я стремятся к своему равновесному значению: у,) " у,-, у 1 = (а - г)/(Ъ + Н); если | З | = |-Н/Ъ | > 1, то равновесие неустойчиво: у " <х> при t " <я; если | З | = |-Н/Ъ | = 1, то при t " <х> значения у (:) чередуются (колеблются) вокруг равновесного значения —.
Определив объем (массу) выброса вредного вещества m\(t), можно найти yi(t) согласно (1), (2), после чего из (18) легко определить значение y(t + 1), т.е. прогнозируемое значение экономического ущерба в момент (t + 1).
Для вычисления yi должен быть известен фактический объем выброса вредного вещества m,. На предприятиях в большинстве случаев отсутствует учет таких показателей. Поэтому для определения mt контролирующей организации требуется предварительно решить задачу, обратную задаче нахождения концентрации примеси в турбулентной диффузии, формулировка и решение которой с помощью одношагового фильтра Калмана-Бьюси приведены в работе (Семенчин, Ку-зякина, 2009).
Общая схема определения экономического ущерба, причиняемого окружающей среде выбросами примеси от промышленных предприятий, выглядит следующим образом.
1. На основе статистических данных о сумме экономического ущерба, выплаченного в момент времени t - 1, и статистических данных о значениях параметров v, a, ci, ci, f, к в момент t по формуле (2) находим такую массу выбросов m\ = m, при которой сумма экономического ущерба осталась бы прежней.
Если данные о сумме экономического ущерба, выплаченного в момент t - 1, отсутствуют, то с помощью формул (2), (3) и данных о массе выброшенной в атмосферу в момент времени t - 1 примеси mt = md и значениях параметров v, a, cl, c", f, к в момент времени t - 1 рассчитываемy(t - 1).
Если данные о массе выброшенных в атмосферу вредного вещества md отсутствуют, то на основе статистических данных о концентрации примеси исследуемого вредного вещества, а также данных о значениях основных параметров математической модели рассеяния примеси в атмосфере, вычисляем эти значения с помощью программно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.