РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 10, с. 1033-1041
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 681.513.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ
С ТОКОВЫМ ДЕТЕКТОРОМ © 2014 г. Б. И. Шахтарин1, А. А. Тимофеев1, В. В. Сизых2
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Российская Федерация, 105005, Москва, ул. 2-я Бауманская, 5, стр. 1 2Московский государственный университет приборостроения и информатики Российская Федерация, 107966, Москва, ул. Стромынка, 20 E-mail: shakhtarin@mail.ru, vsizykh@yandex.ru Поступила в редакцию 28.04.2014 г.
Представлена математическая модель импульсной фазовой автоподстройки частоты с частотно-фазовым детектором и токовым насосом в виде системы разностных и трансцендентных уравнений, основанная на описании динамики данной детерминированной системы (в общем случае петлевого фильтра произвольного порядка) автоматом с конечным числом состояний и системой дифференциальных уравнений. Предложен алгоритм работы индикатора захвата для такой системы. Рассмотрены частные случаи петлевых фильтров первого и второго порядков. Проведено моделирование системы в переходном режиме.
Б01: 10.7868/80033849414100076
ВВЕДЕНИЕ
Описаны особенности устройства и моделирования систем фазовой автоподстройки (ФАП) с частотно-фазовым детектором (ЧФД), токовым насосом и индикатором захвата сигнала.
Задача моделирования подобной системы рассматривалась в различных работах (см., например, [1—4]), однако аналитическая математическая модель данной системы в общем случае петлевого фильтра произвольного порядка не представлена. Недостаточно исследованными остаются и вопросы поиска и захвата по частоте внешнего сигнала в такого рода системах. Это связано, в первую очередь, с относительной сложностью аналитического описания импульсной авто-под стройки с ЧФД. Вместе с тем учет тонкой структуры сигнала фазового рассогласования для такого рода систем является актуальным, поскольку импульсный характер данного сигнала влияет на форму спектра выходного сигнала системы, что важно во многих практических приложениях, в частности, в синтезаторах частот.
1. Модели основных блоков ФАП
Рассмотрим модели основных функциональных блоков импульсной фазовой автоподстройки данного типа (рис. 1).
Частотно-фазовый детектор для ФАП с токовым насосом представляет собой цифровой авто-
мат. В зависимости от выбранной для реализации элементной базы смена состояний ЧФД происходит по переднему или заднему фронту импульсов, поступающих на входы детектора. В дальнейшем будем считать, что смена состояний детектора происходит по переднему фронту импульсов.
Детектор формирует выходные сигналы, являющиеся управляющими для токового насоса. В качестве элементов могут использоваться триггеры разных типов в сочетании с комбинационными логическими схемами. Имеются различные варианты построения ЧФД [1, 4]. Опишем его реализацию.
Схема ЧФД на Э-триггерах представлена на рис. 2. Он имеет два входа: для опорного колебания ивх (входного сигнала) и для сигнала управляемого генератора иг (сигнала обратной связи). Два выхода (и1 и и0) служат для управления токовым насосом. Входные сигналы подаются на тактовые входы (С) Э-триггеров, при этом логические элементы могут одновременно выполнять функцию бинарного квантователя аналоговых сигналов. Параметры такого устройства квантования определяются типом применяемых для реализации ЧФД логических элементов, и эту особенность надо учесть, поскольку при неправильном согласовании логических уровней возможны значительные искажения сигналов, которые приведут к неправильной работе всей схемы.
г — — — — — — — — — — — — — 1
Рис. 1. Функциональная схема ФАП с ЧФД, УИТ — управляемый источник тока, Ф — фильтр, ТН — токовый насос, УГ — управляемый генератор.
Детектор работает по переднему фронту входных сигналов. При поступлении на любой вход детектора фронта сигнала ивх или иг соответствую-
т
Б
р -
7' С Р о
ук
Б
^'С
О*
т
Рис. 2. Схема ЧФД на Б-триггерах.
щий ему сигнал на выходе (и1 для ивх или и0 для иг) меняется с 0 на 1 и сохраняет это значение до поступления очередного из фронтов сигналов. Комбинационная схема исключает появление значений "1" сразу на обоих выходах рБ-триггеров. Поэтому на выходе ЧФД возможны три комбинации управляющих сигналов [1, 2]: а) и1 = 1, и0 = 0; б) и1 = 0, и0 = 1; в) и1 = 0, и0 = 0. Длительность нахождения любого из выходов в состоянии "1" зависит от величины фазового рассогласования и разности частот. Таким образом, знак фазового рассогласования определяет уровни сигналов на выходе ЧФД, а частота и величина фазового рассогласования — параметры широтно-импульсной модуляции этих сигналов.
Токовый насос может быть реализован различными способами. При этом он решает задачу формирования сигнала управления, содержащего информацию о детектируемом частотно-фазовом рассогласовании. В общем виде модель токового насоса представим в форме последовательного соединения управляемого источника тока и линейного фильтра с передаточной функцией И(з).
Источником тока управляют сигналы и1 и и0 с выхода ЧФД. Его эквивалентную схему можно представить в виде двух коммутируемых идеальных источников тока (рис. 3). Данный источник задает ток в зависимости от значений управляющих напряжений и1 и и0 по правилу
10 при и1 = 1 и и0 = 0, -10 при и1 = 0 и и0 = 1, 0 при и1 = 0 и и0 = 0.
Таким образом, математическую модель комбинации ЧФД и управляемого источника тока можно представить в виде графа, состояния которого определяются элементами области значений функции /д(0, а переходы из состояния в состоя-
и
1
и
вх
и
г
1л =
и1 = 1
и0 = 0
йг
= КтЫф + ®0.
С = Киф.
(1)
-г
-г Т0
где Т0 = ЯС — постоянная времени фильтра. Учитывая (1), имеем
^ = Кг Я ^ + К Я/д.
-г2 сг Т д
(2)
игТ
иЛ
иЛ
«вх^
Рис. 3. Эквивалентная схема токового насоса.
ние обусловлены передними фронтами сигналов ивх(0 или иг(0 (рис. 4).
Управляемый генератор (УГ) формирует импульсный сигнал иг(0, при этом передние фронты импульсов соответствуют моментам времени, когда фаза фг(0 кратна значению 2я (рис. 5, сплошная линия). Будем считать, что частота УГ линейно зависит от номинальной частоты ю0 и сигнала иф на выходе петлевого фильтра:
Сфг
Введем обозначение х(() = фг(?) — ю0?. Здесь х(() — составляющая, обусловленная сигналом управления иф(?). При нулевом сигнале управления изменение фазы УГ является линейным (рис. 5, штриховая линия). Относительно х(?) можно записать уравнение
Петлевой фильтр может иметь различный вид. Рассмотрим в качестве примера фильтры первого и второго порядков.
Фильтр первого порядка (рис. 6а). В данном случае можно сразу выразить иф(0, а также х(1) через интеграл от /д(0, однако удобнее, как и в общем случае, оперировать с дифференциальными уравнениями. Функционирование фильтра первого порядка можно описать дифференциальным уравнением (ДУ)
с^ф- Я^ +1 Я/ ,
Рис. 4. Граф состояний сигнала на выходе ЧФД.
Приведем (2) к нормальному виду так, чтобы в правой части системы ДУ отсутствовала производная Лд/Л. Для этого введем переменную состояния у = — - КгЯ/д. В этом случае получаем
йг
систему ДУ в нормальной форме:
й-У = К я/д,
-г Т0 ж
С = У + Кг Я/д.
(а)
0 г1 г2 г3 г4 г5 гб г7
Рис. 5. Взаимосвязь фазы фг (а) и выходного сигнала иг УГ (б).
д
0
(а)
R
C
'д(0 (А) Ц Иф /д(?)
(в) R
иф д
'д(0
Рис. 6. Эквивалентные электрические схемы токового насоса с фильтром первого порядка (а) и фильтрами второго порядка различного вида (б, в).
и
ф
В матричной форме эта система ДУ принимает вид
(х
(И
Тогда нормальная форма для (8) имеет вид (3), где
(9)
где
0 0 0 КгЯ
ах + е/д, (3) X = [г; у; х ]Т, А = 1 0 0 , С = Кг Т1Я
0 а -Ь _ 0
X = [у; х ]Т, А = 0 0 , С = ЯКГ/ Т0
1 0 Кг Я
(4)
индекс 1 означает операцию транспонирования.
Матрица А является нильпотентной, Ак = 0 при к > 2. Это значительно облегчает поиск фундаментальной матрицы ехр(А) для (4) путем прямого суммирования ряда:
ехр (А 0 = £ 1гкАк.
к = 0
В результате имеем
ехр (At) = I + А г =
1 0 г 1
|ехр (-АО (г = т I -- т2А =
1 2, - т 2
т 0
1 2
— т т 2
(5)
(6)
(7)
а =
1
Л = 1 + 1.
Тт2' - V Т2
Представим матрицу А в виде суммы диагональной и нильпотентной матриц:
где
А = —Ь I, + Г,
13 = ^ (0; 0; 1); Г =
0 0 0 1 0 0 0а0
Заметим, что
Г2 =
1к = 1
1з = 13
0 0 0 0 0 0 а00
при к > 1,
при к > 3,
Гк = 0
1з Г =
где I = ё1а§(1; 1; ...; 1) — единичная матрица.
Фильтр второго порядка (рис. 6б). В данном случае ДУ для фильтра имеет вид
Т Т2((2и- + (т + т2)(-и- = ятД- + л/д,
12 ( 1 (г д'
где Т = ЯС1, Т2 = ЯС2. Отсюда с учетом (1) получаем
»з »2 а
Т1 Т2(4 + ( Т1 + Т2) Ц = К ЯТ1-- + К Я/д. (8)
гз г2 г
Введем переменные состояния
у = ТТ^ + (Т + Т2) и, г = (У - К Яд.
13Г2 = Г2;
Г13 = 0.
0 0 0 0 0 0 0 а 0
С учетом этих соотношений имеем
Ак = (-Ь)к 13 + (-Ь)к-113Г + (-Ь)к-2 Г2, к > 2.
Вычисляя (5) с учетом полученной формулы, находим
ехр (АО = I + гГ + ( ехр (-Ы) - 1) 13 +
+ 1 (1 - ехр(-Ь0 - Ь13Г + 1 (ехр(-Ьг) - 1 + ЬГ2 = Ь2
Ь
(10)
1
г
- + 1 (ехр (-Ь) - 1) ^ Ь2 -
- (1 - ехр (-Ы)) ехр (-Ьг) Ь
Т
0
|ехр(-АХ)йХ - х[I - 1з + 11зг) + 1 х2[ 1зР - Г - ЬР2] + Ь ехр(-ЬХ)[ 1з - Ь13Р + 1р2] =
1„2Л . 1
1Т ^ . 1 „2
Т
12
— Т 2
ат ах_ + а( ехр (-ЬХ) - 1 ) ат а( ехр ( - ЬХ) - 1 ) а( ехр (-ЬХ) - 1 )
~Ь2- Ь Ь Ь Ь
(11)
т
0
В случае ЬТШ < 1, т.е. Твх/Т ^ 1 и Гвх/Г2 ^ 1, вместо (10) и (11) можно использовать приближенные формулы
ехр( АХ):
0 0 1 0
аХ
— аХ 1
| ехр (-А Х) йХ'
т 0 0
2
Т
— т 0 2
3 2
ат ат
Т Тт
Фильтр второго порядка (рис. 6в). В данном случае ДУ для фильтра имеет вид
ТТ
2 ^ + ( Т1 + Т2) = Я1я
йХ2 йХ
где
(12)
Т1 - , Т2 - . Отсюда с учетом (1) получаем
,3 ,2
Т1Т2ц + (Т1 + т2)^ - КЯ'д. йХ йХ
Введем переменные состояния
У - Т1Т2^ + ( Т + Т2)и, г - й?.
йХ йХ
Тогда нормальная форма для (12) имеет вид (3), где
0 0 0 ктя
X - [г; у; г]Т, А - 1 0 0 , С - 0
0 а -Ь_ 0
(13)
а-
Т1Т2
Ь - 1 + 1
Т1 Т2
Следует отметить, что матрица A имеет тот же вид, что и в предыдущем случае уравнения (8), поэтому для рассматриваемог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.