№ 2
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 621.3:519:620.9.001.5(04, 07)
© 2014 г. БУТЫРИН П.А., ГУСЕВ Г.Г., КУЖМАН В.В.1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРОКОМПЕНСИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА НА ОСНОВЕ КАТУШКИ-КОНДЕНСАТОРА
Рассматриваются вопросы математического моделирования фильтрокомпенси-рующего устройства на основе нового элемента — каткона (катушки-конденсатора). Фильтрокомпенсирующее устройство на основе каткона представляет собой единый объект, выгодно отличающийся по массогабаритным параметрам от фильтро-компенсирующих устройств, собранных из компенсаторов реактивной мощности и фильтров высших гармоник. Моделирование каткона с магнитопроводом осуществляется как моделирование нелинейного объекта с распределенными параметрами на основе метода гармонической линеаризации. Получены простые аналитические выражения интегральных параметров устройства. Физический эксперимент подтверждает адекватность полученных выражений реальным параметрам филь-трокомпенсирующего устройства на основе каткона.
Катушка-конденсатор. Катушка-конденсатор (каткон) представляет собой в простейшем случае две гальванически несвязанные катушки, условно изображенные на рис. 1 в виде одного витка из проводов 1 и 2. Наличие токов смещения между проводами определяет зависимость значений напряжения между ними и токов ;2 в них от координаты х по всей длине I витков. Описание электромагнитных процессов в подобном устройстве приведено в [1] применительно к катушке с самокомпенсацией реактивной мощности.
Каткон для фильтрокомпенсирующего устройства (ФКУ). ФКУ работает следующим образом. При подключении компенсируемой сети, между проводами возникает электрическое поле, приводящее к возникновению токов смещения. Эти токи, как токи проводимости в проводах, являются намагничивающими для магнитопровода.
На резонансных частотах подавляются высшие гармоники сети. На промышленной частоте реализуется повышение коэффициента мощности.
В работах [2, 3] предлагается подобное устройство выполнить с использованием магнитопровода из двух П-образных стержней, что позволяет канализировать магнитные потоки катушек и осуществлять настройку параметров фильтра путем изменения воздушных зазоров между стержнями магнитопровода. Катушки 1 и 2 выполняются из проводов или фольги. Сеть с напряжением питания ип (рис. 1) подключается к началу первой Н: и концу второй К2 катушек, конец первой К и начало второй Н2 катушек остаются разомкнутыми. Подавление высших гармоник осуществляется на резонансной частоте каткона.
Математическое моделирование ФКУ. Математическая модель ФКУ определяется цепью с распределенными параметрами, представляемой элементарными ячейками [1]. Катушка выполнена двухзаходной — сложенными вместе изолированными друг от друга проводами. Подключение источника питания ип (рис. 1, 2) обеспечивает сумми-
^ациональный исследовательский университет МЭИ (НИУ МЭИ), г. Москва.
Рис. 2
рование намагничивающих токов в проводах. Очевидно, вследствие протекания токов смещения между проводами, как напряжения и1 и и2, так и токи ;2 будут зависеть от координаты х по всей длине проводов катушки I.
При исследовании электрофизических процессов упрощение расчетов достигается путем представления ФКУ цепью с распределенными параметрами, учитывающими магнитную и электрическую связи между проводами. Схема замещения этой цепи [1] содержит на участке длиной йх, как первичные параметры, следующие элементы: Х01(;1), Х02(;2) — индуктивность реактора на единицу длины; Я0 — сопротивление проводов реактора на единицу длины; С0 — емкость между проводами на единицу длины; О0 — проводимость на единицу длины, учитывающая потери в изоляции между проводами.
Магнитная связь между индуктивными элементами всех ячеек определяется взаимной индуктивностью М с коэффициентом связи равным единице.
Принимая провода обмотки идентичными и однородными по всей длине I, с учетом элементов на участке йх и принятыми положительными направлениями токов и ;2 и напряжений и1 и и2 относительно земли, получены уравнения градиентов [1].
5* 131
1 2/3Ro1lo21
Рис. 3
В данной работе, в отличие от [1], математическая модель рассматриваемого ФКУ определяется нелинейной цепью с распределенными параметрами. Из-за наличия немагнитного зазора в магнитопроводе реактора, нелинейность его характеристики проявляется слабо. В результате гармонической линеаризации эта характеристика учитывается нелинейной зависимостью эквивалентной индуктивности от токов на основной гармонике. При учете нелинейности магнитопровода учитывается, что сумма токов (;1 + i2) = i = const, т.е. намагничивающий ток магнитопровода не зависит от координаты x, причем (i1+ i2) = iвх. Электрическая цепь ФКУ является сосредоточенной (дискретной) индуктивностью и распределенной емкостью по всей длине l. При реальном распределении взаимных индуктивностей M1 и M2 от координаты x совместное рассмотрение исходных уравнений приводит к трудностям аналитического решения. Поэтому принимаем практически оправданные допущения, что параметры проводов идентичны, т.е. L10(i1) = L02(i2), RL1 = RL2 = Ro и исполнение их такое, что емкость между ними на единицу длины С0 много больше межвитковой емкости и емкости на землю.
С учетом идентичности параметров проводов, при равенстве числа витков их w1 = = w2 = w и принимая, что коэффициенты связи между отдельными витками равны единице (сильная магнитная связь), получаем, что потоки в отдельных витках равны, и не зависят от координаты х, т.е. Ф1 = Ф2 = Ф = wMl(i1 + i2), = const. При сильной магнитной связи Mx = M2 = M = const, т.е. сумма токов проводов не зависит от координаты х.
При малых значениях величины \p/\ = | J2R0(J<$C0 + G0) • /| , определяющей потери, распределение токов i:(x), i2(x) носит линейный характер.
Вышеприведенные соображения позволяют считать, что нелинейность кривой намагничивания реактора может быть учтена в эквивалентной схеме, приведенной далее относительно входа ФКУ, в виде элемента L^l.
Малые значения |p/| позволяют входное сопротивление ФКУ представить в виде:
2 1 = -Ro1 + J® ¿оэк1 + —¡тт—тт,- (1)
3 jrnC0/ + G0/
Из условия 1т{ ^вх} = 0 (1), резонансная частота
; = ± I 1 °2о.
р 2л») т с I2 С2
\т0экс01 с0
Входное сопротивление при этом определяется выражением 132
ZBX| f = 3 + G0l
Для упрощения анализа процессов в ФКУ на рис. 3 приведена эквивалентная схема,
2
синтезированная по входному сопротивлению согласно (1), где: - RJ — эквивалентное
сопротивление, определяющее потери в проводах; Х0эк/ — эквивалентная индуктивность ФКУ; C0l — эквивалентная емкость ФКУ; G0l — эквивалентная проводимость, учитывающая потери в изоляции между проводами.
Из рис. 3 видно, что на резонансной частоте может иметь место резонанс напряжений.
2
Эквивалентные параметры: - R0l, Х0эк1, C0l, G0l позволяют найти резонансную частоту и
входное сопротивление в этом режиме. Как показано далее, полученная зависимость Ь0эк1 от амплитуды тока гармоники резонанса, позволяет анализировать амплитудно-частотную характеристику ФКУ.
Эквивалентная индуктивность определяется из рассмотрения основной гармоники тока резонансной частоты ia. При аппроксимации основной кривой намагничивания магнитопровода реактора B(H) полиномом девятой степени:
n = 9
B(H) = £ KnHn, где n = (2m - 1); m = 1, 2,..., 5, (2)
n = 1
где Kn — коэффициенты аппроксимации.
Напряжение на входе ФКУ ип определяется суммой напряжений сети и гармоники соответственно:
Um = Umm sin (rot - п/2 ) и un = Umn sin (Q t + фп).
При этом выражения токов имеют вид:
¿m = Immsinrot и ín = 4nsinQt.
Полагается, что ток частоты сети im определяется сопротивлением конденсатора Ima¡ = Ume¡roC. Подлежат определению Ima и фп.
Выражение эквивалентной индуктивности находится с учетом основной гармоники резонансной частоты Ь0эк1 = — B(H), где w, s — число витков и сечение магнитопро-
in
вода реактора.
Учитывая, что H = w (;ш + in), (l — средняя длина магнитопровода), можно записать:
I I = — in
3
( im + in) + ^ (im + in)3 + l l3
5 7 9
+ К5~Г (+ ) + К7 — (1а + 1П) + К9-Т (^ + 1П)
I5 I1 I9 ■
Гармоническая линеаризация, учитывающая основную гармонику тока ;п на частоте резонанса, реализуется на основе операции усреднения. Операция усреднения достигается путем интегрирования за период. Так для слагаемого с 8т29 имеем:
2п
1 2 1
— Г sin 9 d9 = -, где 9 = ю t, Q t.
2п J 2
2п J 2
о
Средние значения с учетом принятого их обозначения равны:
""Т 1 _1 3 ""7 5 _Г 35 sin = -; sin = -; sin = —; sin = —. 2 8 16 128
В результате усреднения и последующих преобразований на основе учета основной гармоники iQ выражение эквивалентной индуктивности имеет вид:
L0sJ = а1 + а3^О + a5Iín + ay^Q + «^Q. (3)
Коэффициенты (3), учитывают коэффициенты аппроксимации B(H) и значение амплитуды тока Imt¡1 напряжения питания.
Эти коэффициенты определяются выражениями:
_ VWS 3„ г2 15„ А 35 „ j6 ,8
a1 = + 2 в31та + "8" P51mffl + ^ e71ma + J^j e91m a;
1n , 5„ r2 , 105 n И , 105 „ ,6
a3 = 2 в2 + 2 в51та + Щ РуЛ*« + "у в91та;
3 л . 63 n T2 , 567 D A a5 = 8 в5 + 1""" Ру4» + "332" e91ma;
a7 = 16 Py + 45 P91L; 35
a9 = ^9,
4 6 8 10
n r W s n rwsn r w s n
где P3 = K -г-; P5 = K-г; P? = K? —г; P9 = K -"-7- •
t t l1 l9
Физическое моделирование каткона. Общий вид модели приведен на рис. 4. Модель
соответствует патенту [3], схема соединений секций модели выполнена согласно рис. 2. Кривая намагничивания магнитопровода ФКУ соответствует аппроксимации (2). Ма-
териал сердечников П-образной формы — аморфная сталь марки 71 КНСР. Сечение магнитопровода 20 х 20 мм2, длина "воздушного" зазора (2 х 0,5) = 1 мм. Число витков каждой секции —150; эквивалентная индуктивность реактора с учетом аппроксимации (2) определяется выражением (3).
Каждая из секций намотана двухзаходно из алюминиевой фольги толщиной 7 мкм и шириной 84 мм. Изоляция состоит из двух листов полипропилена толщиной 10 мкм и шириной 95 мм. Значение емкости между алюминиевыми электродами — 5,48 мкФ.
Проведенные испытания физической модели ФКУ подтвердили адекватность принятой математической модели. Экспериментально найденная резонансна
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.