научная статья по теме МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ, ВЫРАЖЕННЫХ В ВИДЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ, ВЫРАЖЕННЫХ В ВИДЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 2, 2014

УДК 621.192

© 2014 г. Труханов В.М.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ ИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ, ВЫРАЖЕННЫХ В ВИДЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предлагаемая модель изменения уровня надежности отрабатываемых изделий основывается на объеме испытаний, используемых типов доработок и режимов испытаний, которые рассматриваются как несовместные события по случайным и неслучайным отказам. Математическая модель изменения уровня надежности основана на использовании формулы полной вероятности. Показано, что математическая модель роста уровня надежности неодинаково зависит от различных типов доработок и различных режимов испытаний.

При построении кривой изменения уровня надежности принято допущение о построении кривой изменения надежности для каждого вида отказа. Сложные технические системы состоят из большого числа элементов, что может привести, соответственно, к большому числу отказов. Поэтому представим модель изменения уровня надежности, основывающейся на рассмотрении типов доработок, число которых значительно меньше числа отказов. В основу построения кривой изменения уровня надежности положена математическая модель, описываемая вероятностными характеристиками. В данном случае доработки того или иного типа проводят с некоторой вероятностью.

Пусть отработке подвергают сложное восстанавливаемое изделие, в состав которого входят различные элементы. В процессе испытаний доработку проводят только в том случае, когда причина отказа установлена. По отказам, причина которых не установлена, доработку не проводят и их учитывают как случайные отказы.

В общем виде модель изменения + уровня надежности является функцией объема испытаний, вида доработок и режимов испытаний и выражается зависимостью R(t) = f(n, l, k, t), где R(t) — вероятность безотказной работы изделия за заданное время t; n — объем испытаний изделия, выраженный в циклах функционирования; l — число используемых типов доработок; k — число используемых режимов испытаний; t — длительность одного цикла испытаний.

Под испытанием изделия понимают экспериментальное определение количественных и (или) качественных характеристик его свойств как результата воздействия на него при его функционировании и моделировании (ГОСТ 16504-81). При испытаниях изделие функционирует с заданными параметрами в заданном интервале времени [0, t]. При выводе уравнения отработки примем допущение — отказы, вызванные различными причинами и требующие различных методов доработок, являются несовместными событиями.

Введем следующие обозначения: H — событие, состоящее в появлении отказа на

i-м цикле испытаний i = 1, n ; P(Hi) — вероятность отказа на i-м цикле испытаний; Dj/Hj — событие, состоящее в проведении доработки j-м методом при возникновении

отказа на г-м цикле испытаний; Р(Б/Н) — условная вероятность использования у-го метода доработки на г-м цикле испытаний при условии, что на этом цикле произошел отказ; Л/Б, Нг — событие, состоящее в успешном проведении доработки у'-м методом при возникновении отказа на г-м цикле испытаний; Л — событие, состоящее в безотказной работе изделия в течение заданного интервала времени [0, г\; Р(Л/Б, Н) — условная вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, г\ после проведения доработки у'-м методом в связи с появлением отказа на г-м цикле испытаний.

Так как в процессе испытаний изделие по случайным отказам доработкам не подвергается, то на основании формулы полной вероятности можно записать

Ч. О = Р( о

1

1 = 1

Р(И) £ Р(В/И,) + Р(И1) £ Р(В/И)Р(Л/В, И,), (1)

1 = 1

где Я(/) — вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, г\ после проведения доработки на г-м цикле испытаний; Р() — вероятность отсутствия в течение заданного интервала времени [0, г\ после г-го цикла испытаний тех отказов изделия, по которым доработка не проводится.

Пусть число режимов испытаний, при которых происходит отработка изделий, равно некоторому фиксированному числу к. Тогда вероятность безотказной работы за заданный интервал времени [0, г\ после проведения испытаний хотя бы в одном из режимов при проведении доработок одним из методов] = 1,1 определяют по формуле к

я1(о = £ ч. г/ц) Р,(ц), (2)

ц = 1

где Д(?/ц) — условия вероятности безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, г\ на г-м цикле испытаний при реализации ц-го режима; Рг(ц) — вероятность использования ц-го режима в г-м цикле испытаний.

Подставляя в формулу (2) вместо величины Д(г/ц) ее значение, определенное по формуле (1) получим

п к

¡= 1 ц = 1

I

+ " ' " '

Чг) = £ £ Р(цК Р(г/ц) 1 - Р(Н/ц) £Р(В/И, ц)

I

1 = 1

Р(Н/ц)£Р(в/и, ц)Р(л/В, И, ц) к

1 = 1

Под режимами испытаний изделия понимают проведение испытаний: в номинальных условиях (при температуре окружающей среды 20° ± 5°, влажности воздуха 65% и номинальной нагрузке, характеризуемой коэффициентом Кн = 1,0), при низких или высоких температурах, на вибрацию, на пылевлагозащищенность, в условиях повышенных нагрузок (Кн > 1) и т.д.

Предложенная математическая модель позволяет построить кривую роста надежности в результате выбора соответствующих методов доработки с заданной вероятностью и режима испытаний. Используемые в математической модели вероятности или законы их распределения можно определить по результатам отработки изделий-аналогов.

В качестве статистической оценки вероятности безотказной работы изделия за заданный интервал времени [0, ?] после проведения доработки одним из методов] = 1,1 на ,-м цикле испытаний является следующее выражение:

R (t) = Pi (t)

1-

- P( H) £ P (Dj/Hi) + P (Ht) £ P( Dj/ H) P (A/Dj, Ht),

(3)

где Pi (t) = 1 — (m/n,); mt — число отказов, по которым доработки не проводили с 1-го по i-е испытание; ns — объем испытаний (число циклов функционирования) на момент проведения доработки;

P(Ht) = m/n, P(Dj/H1) = m/n, P(A/D, Ht) = m'/1';

здесь mj — число отказов, по которым проводили доработки j-м методом; m' — число успешных доработок, проведенных j-м методом за период с первого по i-е испытание включительно; l' — число всех проведенных доработок за период с первого по i-е испытание включительно.

Подставив статистические данные в (3), найдем оценку вероятности безотказной работы изделия за заданный интервал времени [0, t] (один цикл функционирования)

после проведения доработки одним из методов j = 1, l на i-м цикле испытаний

R,( t) = 11 - m-)

x nJ

1--

j = i

, mm,. _J У + _J У -:

И; ¿—i n HA'

j = 1

Оценку вероятности безотказной работы изделия за заданный интервал времени [0, ?] после проведения испытаний хотя бы в одном из режимов можно определить по формуле

R,( t) = Л1 -

-•Ш уШ у'Л L у р;<ц)

n, n, n¡L-t n.l' I

ß = 1

где РI (ц) = (ц,/к); Ц, — число режимов испытаний, проведенных за период с первого по 1-е испытание включительно; к — число всех использованных режимов испытаний. Из практики отработки изделий известно, что испытания обязательно проводят

при всех назначенных режимах, следовательно ^ Pц = 1. Таким образом, статисти-

ц = 1

ческая модель изменения надежности показывает, что повышение показателя надежности (в данном случае вероятности безотказной работы) возможно только благодаря проведению доработок, при этом разные доработки неодинаково влияют на увеличение уровня надежности. При отработке технических систем уровень надежности повышается в большей степени в результате конструктивных доработок, в меньшей степени — в результате улучшения технологии изготовления и в еще более меньшей степени — в результате изменения эксплуатационной документации.

Необходимо помнить, что доработку конструктор назначает в каждом конкретном случае. Ее можно назначить как по одному появившемуся отказу, когда причина явно установлена, так и по повторяющимся отказам, когда причина явно не установлена. В последнем случае доработка может быть назначена из условия выполнения неравенства Am/An > 8, где Am — число повторяющихся отказов при проведении испытаний в объеме An.

k

В первом приближении частота отказов 8 = 0,01—0,05, при достижении которой в обязательном порядке проводят доработку при принятом допущении, что каждая доработка не снижает уровня надежности. Доработки изделия прекращают, как только достигнутый уровень показателя надежности удовлетворяет заданному требованию.

Имея статистические данные по отработке изделий, можно построить кривые роста надежности, с помощью которых прогнозируют отработку вновь разрабатываемых изделий-аналогов. Если кривая изменения надежности, построенная по отработке изделия, является непрерывной функцией распределения, то ее можно использовать при нахождении параметров управляющих воздействий. Для этого необходимо ввести дополнительно следующие обозначения: P(Dj/H¡) = Я{ — условная вероятность использования у-го метода доработки на г-м цикле испытаний при условии, что на нем произошел отказ; Р(ц) = Я2 — вероятность использования ц-го режима на г-м цикле испытаний; Р(Л/Бу, Н) = Я3 — условная вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, г] после проведения доработки у-м методом на г-м цикле испытаний.

Вероятность безотказной работы изделия в течение заданного интервала времени [0, г] после устранения конкретной у-й причины отказа на г-м цикле испытаний в ц-м режиме определяют, используя уравнение

я,( г) = Р( г)[ 1 - Р( Н) ВД ] + Р( Н) я^я2яг,

где Р() — вероятность безотказной работы изделия после г-го цикла испытаний тех отказов, по которым доработки не проводились.

Параметры модели Яь Я2, Я3 зависят от режимов и методов доработок, имеющих для каждой конкретной системы вполне определенный смысл.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ТрухановВ.М. Надежность технических систем. М.: Машиностроение-1, 2008. 585с.

2. Венцель Е.С. Теория вероятности. М.: Наука, 1969. 576 с.

Волгоград Поступила в редакцию 23.1.2013

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Машиностроение»