ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 5, 2004
НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МАШИНОСТРОЕНИИ
УДК 621.822.5
© 2004 г. Ахвердиев К.С., Мельникова Е.П.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ СМАЗОЧНО-ОХЛАЖДАЮЩЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СРЕДЫ В СИСТЕМЕ ИНСТРУМЕНТ-ДЕТАЛЬ
Разработана математическая модель течения смазочно-охлаждающей технологической среды при финишной обработке деталей. Найдено точное автомодельное решение задачи прогнозирования возмущенного давления среды, находящейся между шероховатой поверхностью детали и инструментом, движущихся с определенной скоростью. Установлены закономерности изменения шероховатости поверхности детали с учетом начальной разности температур инструмента и заготовки, а также внутреннего тепловыделения, приводящего к местному изменению давления.
Теоретические модели поведения гидродинамической среды в процессах формирования металлов [1-9] учитывают влияние разности температур поверхностей инструмента и заготовки, внутреннего тепловыделения при наличии постоянного градиента давления и идеально гладкой поверхности детали.
В настоящей статье разработана модель движения смазочно-охлаждающей технологической среды (СОТС) в зоне обработки. Учитывается влияние не только тепловых эффектов, но и шероховатость поверхности детали, обусловленная возмущенным давлением. Допущения, использованные при анализе течения смазки, следующие: течение смазки стационарное; поток смазки двумерный; инерционные эффекты пренебрежимо малы; давление смазки существенно не изменяется по толщине пленки; смазка является ньютоновской жидкостью; вязкость смазки при температуре Т опре-
-а( Т - Т,)
деляется выражением ц = ; коэффициент теплопроводности смазки к посто-
янен; основным видом теплопередачи в смазке является теплопроводность в поперечном направлении; поверхность заготовки является шероховатой при наличии возмущенного давления; градиент давления в осевом направлении зависит от х.
Физическая постановка задачи заключается в том, что пленка толщиной Н0 + Н'(х) перемещается между поверхностью инструмента, движущейся со скоростью и, и поверхностью заготовки, движущейся со скоростью иК (рис. 1). Температура инструмента и заготовки равна Т, и ТК соответственно.
Будем исходить из неизотермического уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости, уравнения неразрывности и уравнения притока тепла
а(Т - Т,)
т = т,
Инструмент х
( и,
0 у
\ /7К //\ Я у=
ГЖ'ЖЖЖЧЖЧ
У \ Т = Т№ у = к0 + к'(х') Деталь
Рис. 1
Система уравнений (1) решается при следующих граничных условиях: Т = Т,, и = и „ и = 0 при у = 0; Т = Тк, и = ик, при у = к0 + к',
(2)
где а - температурный коэффициент вязкости; ц, ц, - вязкость среды при атмосферном и местном давлении соответственно; к0 - постоянная толщина пленки; и, и -компоненты вектора скорости; р - гидродинамическое давление; Т - температура; к' -возмущение поверхности заготовки.
Перейдем к безразмерным переменным по формулам
и - и
W
и - и^
у = у *к0, р* =
0 = а(Т- Т,), к' = к0к*, Б и - Uw) I
ца( и, - Uw)
(3)
к
р = р*р, х = 1х*, и = и*(и,- ицг)у,
где и - скорость среды; 0 - безразмерная температура; Б - безразмерная величина, характеризующая изменение скорости; и* - безразмерная скорость; Р* - безразмерное давление; к* - безразмерное возмущение поверхности заготовки; у - безразмерная координата; I - длина рассматриваемого участка.
Подставляя (3) в (1) и (2), имеем
д ( -0 д и * ду *V ду*
дР
д20
д и * + д V* = о дх *, дх * + Эу * = , д у *2
„ -0(3и
-Бе 1эу
0 = 0, и * = 1, и* = 0 при у* = 0; 0 = Б = а( ^ - Т,), и* = 0, и* = 0 при у = 1 + к *.
Точное автомодельное решение задачи (4), (5) будем искать в виде
(4)
(5)
Эу
Эу
„ _ дХ* + V (X *, у*), и* = - ду* + и (х *, у *), У( х *, у *) = V к* и (х *, у*) = и (£), 0 = 0(£), у( х *, у *) = у (£),
(6)
1 + к * Эх *
у*
(1 + к*)2 (1 + к*)3'
где Эу/Эу* - безразмерная скорость, обусловленная градиентом давления и внутренним нагревом; и(х*, у*) - безразмерная скорость, обусловленная градиентом давления, скольжением инструмента и заготовки, а также внутренним нагревом.
о
*
2
Будем предполагать, что
-дХ* ^ и(х*, у*), е = е(£). (7)
Подставляя (6) в уравнения (4) и в граничное условие (5), с учетом (7) имеем
-т<и _ с й
й£Г й£) си й£
е -е© й_\ . й£2.
_ с2, ^ _ -^Ч^)2, и'-£й' = 0; (8) 2 й£2 Уй£)
е _ 0, и _ 1, и _ 0, лр-' _ 0 при £ _ 0;
е _ О, и _ 0, и _ 0 при £ _ 1; (9)
_ 0 при £ _ 0; £ _ 1, |м(£)й£ _ 0.
Интегрируя первое и второе уравнения системы (8), с учетом третьего уравнения получим
-йи/й£ _ (с1£ + с1)ее, й2\р/й£2 _ (с2£ + с2)ее, й2е/й£2 _ -£ее(с?£2 + 2с1с1£ + с?), и' - £и _ 0.
Обыкновенная система дифференциальных уравнений (8) с граничными условиями (9) решена численно. Аналитическое решение задачи приведем для случая экспоненциальной зависимости вязкости ц от давления Р: ц = ц,вар, где а - экспериментальная постоянная, зависящая от давления. Тогда систему уравнений (1) можно записать в виде
д ( -ардиЛ др ди ди п
ау1цв а^ = д? ддХ + ^ = 0. (10)
Систему уравнений (10) будем решать при граничных условиях (2) относительно и
и и. В безразмерных переменных (3) эту систему можно записать в виде
2
/р|р-, ди*+дл* _0, (11)
ду *2 дх* дх* ду *
где в = ар*. Введем обозначение евр = Р.
Точное автомодельное решение системы (11) будем искать в виде (6), полагая
(1/в)( йР /йх*) = [ с? /(1 + й*)2] + [С2/(1 + й*) ]. Получаем обыкновенную систему дифференциальных уравнений и граничных условий к ним
и _ с?, \\'" _ с2, и'-£и' _ 0; и _ 1, и _ 0, \\' _ 0 при £ _ 0;
1
и _ 0, и _ 0, _ 0 при £ _ 1; |ий£ _ 0; (12)
0
Р _ в^Р" при х* _ 0 и х* _ 1, где Рн - давление в начальной рассматриваемой точке.
0
а
б
к* 4
2
0
-2
1
тр 100 0
-100 -200 -300
0 х 1
0,5 1,0
-4 -2 0 2 4 к* 2
1
1,5
2,0
к*
Рис. 2
Решение задачи (12) находим интегрированием. Получаем
Р2 г Р2
и = с1-2- + А1р + А2, V = !ри'йр, у' = с2-2 + А3р + А4,
Р 1 РРН Г~ йх г~ йх
Р = в е + I С1-2+ I С2-3
Р в -> (1+ к*)2 (1 + к*)3
00
, А2 = 1, А4 = 0,
(13)
-с.
йх
I-2
с2 С! _ 0 (1 + к *)2
А3 = -у, А1 = - ^г - 1, С1 = -18, С2 = ^^-,
Г йх
(1 + к * )3
где А1, А2, А3, А4, с^, с2, с3, Б2 - произвольные постоянные.
Перейдем к определению напряжения трения и расхода среды. Безразмерное напряжение трения для инструмента и детали соответственно
11 F г А3йх* г А1йх*
Ц( иг- 1 ( 1 -I- к*)- 1 (1 + к*)У
00
11 гс2 + А3йх * гс1 + А1йх*
Ц(и, - uw) 1 ( 1 + к* )2 1 ( 1 + к* )3 .
00
Безразмерный расход среды Q = ^ у'йр = (С2 /6) + (А3/2).
Для определения давления используем (13). Безразмерное давление
Р = еР Р» + Р
г С1йх* г
( 1 + к* )2 * I
С2 йх *
(1 + к*)2 ' 1 + к*)3
00
(14)
0
х
х
-х
х
Из выражения (14) следует, что давление P зависит от формы шероховатости обрабатываемой детали. Задавая h* в виде гармонической функции (например h* = 1 + + A sin rax*; рис. 2,а: h* = 1 + 1,5 sin(10, x)), можно определить безразмерное возмущающее давление (рис. 2, б) и напряжение трения для инструмента (1) и детали (2) (рис. 2, в).
Предложенная математическая модель позволяет при заданной шероховатости прогнозировать возмущенное давление и наоборот по заданному возмущенному давлению прогнозировать шероховатость обрабатываемой поверхности. Разработанную модель течения среды целесообразно использовать для анализа формоизменения обрабатываемой поверхности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cheng H.S. Plastohydrodynamic Lubriction, in Friction and Lubrication in Metal Processing // Trans. ASME. New York. 1966. P. 69-89.
2. Дау, Кэннел, Бупара. Теория гидродинамической смазки при прокатке, построенная с учетом тепловых эффектов // Проблемы трения и смазки. 1975. < 1. C. 4-11.
3. Dowson D., Parsons B., Lidgitt P.J. An Elasto-Plasto Hydrodynamic Lubrication Analysis of the Wire Drawing Process, in Elasto Hydrodynamic Lubrication - 1972 Symposium // I. Mech. E. London, 1972. P. 97-106.
4. Snidle R.W., Parsons B., Dowson D. An Elasto-Plasto Hydrodynamic Lubrication Analysis of the Wire Drawing Process, in Elasto Hydrodynamic Lybrication - 1972 Symposium // I. Mech. E. London, 1972. P. 107-117.
5. Уилсон. Изменение толщины смазочной пленки вдоль очага деформации в процессах непрерывной деформации при гидродинамическом режиме смазки // Проблемы трения и смазки. 1973. < 4. C. 160-165.
6. Wilson W.R.D. The Temporary Breakdown of Hydrodynamic Lubrication During the Initiation of Extrusion // Int. J. of Mech. Sci. 1971. V. 13. P. 17-28.
7. Wilson W.R.D., Carpenter W.B. A Thermal Hydrodynamic Model for the Lubrication Breakdown in Upsetting Between Overhanging Dies // Wear. 1973. V. 24. P. 351-360.
8. Wilson W.R.D., Mahdavian S.M. Unsteady Hydrostatic Extrusion, presented at NAMRC III. Pittsburgh. May 1975. P. 15-19.
9. Ахвердиев К.С., Мельникова Е.П., Лупаренко E.B. Математическая модель течения СОТС между поверхностями инструмента и заготовки // Трение и износ. 2001. T. 22, < 6. C. 631637.
Ростов-на-Дону-Горловка, Донецкая обл. Поступила в редакцию 3.III.2003
После дооформления 10.III.2004
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.