ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 424, № 1, с. 107-110
ГЕОФИЗИКА
УДК 550.3+532.5+551.21
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ГЕОФЛЮИДОВ ПРИ ГРЯЗЕВУЛКАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
© 2009 г. А. В. Доманский, В. В. Ершов, член-корреспондент РАН Б. В. Левин
Поступило 28.07.2008 г.
Грязевые вулканы достаточно широко распространены в мире, они встречаются, например, на Сахалине, в Краснодарском крае, в Азербайджане и т.д. В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая движение и процесс извержения геофлюидов в грязевом вулкане. На основе этой модели впервые предложен метод получения единственного решения нестационарной обратной задачи по определению глубины залегания корня вулкана и источника газа. При этом считаются известными период времени между двумя извержениями вулкана и физико-механические свойства геофлюида, водоглинистой брекчии и проницаемость подводящего канала.
Всестороннее исследование грязевого вулканизма позволяет оценивать возможность наличия месторождений газа и его запасы в данном регионе, а также изучать динамику флюидного режима в земной коре. Кроме того, количественный и качественный анализ продуктов и периодичности извержений грязевых вулканов дают возможность изучить их влияние на соотношение парниковых газов в атмосфере. Важным также является определение связи между сейсмичностью и проявлениями грязевого вулканизма в данном регионе.
Работ по построению полных моделей грязевого вулканизма в настоящее время существует немного. Например, в работе [1] на основе известного решения для установившегося движения газа в скважине дана оценка глубины залегания источника газа для грязевого вулкана. В [2] подводящий канал грязевого вулкана представлен в виде вертикального цилиндрического канала, который заполнен движущейся в изотермических условиях грязевой смесью; решение прямой задачи дано на основе системы уравнений компакции. В работе [3] для оценки миграции газа в грязевул-канических каналах используется ряд известных формул из механики жидкости и газа.
Институт морской геологии и геофизики Дальневосточного отделения Российской Академии наук, Южно-Сахалинск
В настоящей работе считается, что причиной возникновения грязевого вулканизма является образование тектонических разломов. В области разломов по механизму нисходящей фильтрации из перекрывающих осадочных толщ образуется пробка водоглинистой брекчии, подпираемая снизу природным газом, исходящим из питающего грязевой вулкан источника газа. Подводящий канал вулкана считается трещиновато-пористой средой, заполненной брекчией и газом. Между водоглинистой пробкой и газом со временем устанавливается неустойчивое равновесие, которое нарушается с ростом давления вытесняющего брекчию газа. Из условия равновесия определяются глубины залегания корня вулкана и источника газа, т.е. находится решение обратной задачи. Процесс вытеснения газом водоглинистой брекчии рассматривается до момента его извержения, при котором происходит сброс давления газа. Затем снова происходит заполнение подводящего канала и перекрытие доступа глубинному газу. Таким образом подготавливается новое извержение грязевого вулкана. Газ, оставшийся в области смеси брекчии и газа, в течение длительного времени постепенно выходит на земную поверхность через систему грифонов грязевого вулкана.
Схема строения вулкана дана на рис. 1, где а -угол падения разломной зоны, Ь, Ь1 - глубина залегания и длина подводящего канала, его начало соответствует началу координат; Ь - Н, Ь1 - Н1 -глубина залегания и длина слоя водоглинистой брекчии.
Фильтрационные процессы считаются неизотермическими, поэтому в уравнении состояния идеального газа вводится коэффициент сверхсжимаемости; задачи решаются в одномерной постановке. Квадрат давления газа = и(х, 0 удовлетворяет уравнению Лейбензона [4], записанному в безразмерной форме, и начально-краевым условиям вида
Гряз
вулкан
Рис. 1. Схематический разрез грязевого вулкана и основные обозначения.
аиг = ихх + 2аих, и(0, г) = и0 = соШ, их (1, г) + 2 а и (1, г) = 0, и (х, 0) = 0, РоТ 0 ,Н
+ V х = 0, - + х = 0,
0 (4)
Р, - Ръ = Рк(-) = Ркф(Я).
Здесь -0 < я < я0 - газонасыщенность, -0, -0 - остаточные газонасыщенности, ръ, цъ - давление и вязкость брекчии, чъ, V,, /ъ, /Я, ръ, рЯ - скорости фильтрации, относительные фазовые проницаемости и плотности брекчии и газа соответствен-
0 л т
но, рк - капиллярное давление, рк = усоэб / — , У -
коэффициент поверхностного натяжения, б -краевой угол смачивания, ф - функция Леверетта [5]. Равенства (3) называются обобщенными законами Дарси, а уравнения (4) - уравнениями неразрывности фаз и капиллярного скачка давлений на границе раздела фаз.
Начально-краевые условия для системы (3), (4) имеют вид
(1)
а=
Р0гТ
х = Ц: р, = ръ = Р0, х = ¿1-Н^ vъ = 0,
Ре = РН г = 0: Я = %
(5)
Здесь и0 = рЯ, рЯ - давление в источнике газа; на границе х = 1 поток газа равен нулю; Т0 = 273.15 К, р0 = 101325 Па, р0 - плотность газа при нормальных условиях, г - коэффициент сверхсжимаемости, Т - температура, я - ускорение свободного падения. Характерные длина Н1 и время фильтрата
ции газа ^рр ^ = гЯ, где т, к - пористость и проницаемость подводящего канала, ц, - вязкость газа.
Решение задачи (1) дает распределение давления газа в подводящем канале в виде
Здесь р0 - давление на дневной поверхности, рН -давление на границе между газом и водоглини-стой брекчией; эти величины считаются известными.
Система уравнений (3), (4) сводится к одному безразмерному уравнению вида
Яг = (а ( я ) Ях + ъ ( я ) У( г) + й ( я )р)х,
-(0,г) 1
Ар - | ъ(я)ф'йя + р|ъ(я)йх
У( г) = -1-0-.
(6)
| С ( Я ) йх
Р е ( х, г)
Р-
= е
1-2 е0
г I:
У к
— а + а 2 + у2
-у2г/а .
е Э1П у кх =
= Ф0(а, х, г), у к = -
У к
(2)
Vъ = -к Цъ1 /ъ (-)(Ръ, х + РъЯ а),
V, = -кце1 /я(-)(Ря, х + Рее8Ша),
(3)
Здесь
йф
-1
ф- = J¡, ц = ц,, с =(+ц/ъ)
а = Ц/ъ/,ф-с, ъ = ц/ъс, й = Ц/ъ/,с, в = (Р , - Ръ ) - НЯ Ар = Рн - Р0-Р,8(ь - Н)
0
Рк
0
Рк
Формула (2) далее используется при решении обратной задачи.
Классическая модель двухфазной фильтрации имеет вид [5]
Так как а > 0 для -0 < - < -0 и а(-0) = а(-0) = 0, то уравнение (6) имеет параболический тип и вырождается в гиперболическое уравнение при значениях искомого решения -0 и -0. Характерные длина и время двухфазной фильтрации равны Ьх - Н1
т ц, (¿1- Н1 )2
0
кРк
= г/.
0
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ
109
Начально-краевые условия (5) после преобразований примут следующий вид:
х = 0: а (5) ^ + Ь (5) У( г) + й (5 )р = 0, х =1: 5 = 5 0, г = 0: 5 = 50.
(7)
—ьЬ - Н
= Ф„(а( н), 1, г*( ь, н)),
(8)
I—усо80 8т2ах 10 6 т
Пусть задан интервал времени ге между двумя последовательными извержениями грязевого вулкана. Из предположения о том, что длительности двухфазной фильтрации и фильтрации газа соответственно пропорциональны отношениям времен и г^ к их сумме, следует, что безразмерное время фильтрации газа до начала вытеснения водоглини-
ге
стой брекчии равно . -- . = г*(Ь, Н). То-
гй( н) + г1 (ь, н)
гда из условия равенства давлений слоя водоглини-стой брекчии и подпирающего его газа при г = г* с учетом (2) вытекает, что
Ь, И, 103 м 25 20 15 10 5
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
г
Рис. 2. Номограмма, отражающая связь Ь и Н с проницаемостью подводящего канала.
функция Ф0(а*(г), 1, г) ~ е 1 при любых г > 0 (в частности, при г = г*). Поэтому в силу (8)
где — - средняя плотность горных пород. В уравнении (8) содержатся две неизвестные величины, и для однозначного определения Ь и Н надо задать дополнительное условие.
Пусть Ф(а, г) = аФ0(а, 1, г). Условие тах Ф (а, г) =
а
= Ф(а*, г) однозначно определяет зависимость а* = а* (г) и, соответственно, величину Н*(г).
С учетом (8) находим длину Ь*(г) = (1 - рФ0(а*(г), —5
1, г)) 1Н*(г), р = —. Поэтому решение обратной рь
задачи сводится к решению уравнения г*(Ь*(г), Н*(г)) = г. Анализ формулы (2) показывает, что решение этого уравнения существует и единственно в широком диапазоне изменения параметров.
На рис. 2 дан пример номограммы, отражающей связь Ь и Н с проницаемостью подводящего канала в зависимости от величины времени установления равновесия г* = г. Видна однозначная зависимость между указанными параметрами. Данные для расчета были выбраны такими: —0 = 1.46 кг/м3, —ь = 1800 кг/м3, — = 2500 кг/м3, ¿Г = 1100 К, | = 69 х х 10-6 Па ■ с, ге = 631152000 с (20 лет), а = 60°, у со80 = 50 ■ 10-3 Н/м.
Проведенные расчеты показывают, что проницаемость подводящего канала будет основным параметром, определяющим глубины залегания корня вулкана и источника газа. Кроме того, глубина залегания источника газа зависит от плотности газа: чем она меньше, тем больше глубина залегания источника. Вычисления также дают, что
Ь* Н*
Н* е - —
(9)
Например, если — ь = 1800 кг/м3, — = 2500 кг/м3, то Ь — Н
—*--—* ~ 1.05 и корень вулкана находится при-Н*
мерно посередине подводящего канала (что отмечено и в работе [2]) при любом периоде извержения вулкана.
Правая часть (9) отрицательна при — > е и тогда не существует равновесия слоев брекчии и газа, грязевой вулкан не образуется, а газ непрерывно истекает в атмосферу.
Можно показать, что а* = 1 при г = Согласно
(2) рД1, ^ = ре1 = — Поэтому, если сила сопротивления, или давление рс, оказываемая слоем брекчии, больше — 5#Ье-1, то равновесие между брекчией и газом невозможно и грязевой вулкан является погребенным. Отсюда вытекает, что Ь < еР и
—
максимальная глубина залегания источника газа для погребенного грязевого вулкана равна Ьтах = .
Исследование вытеснения брекчии газом основывается на численном решении задачи (6), (7). Алгоритм расчета этой задачи повторяет используемый в [6], поэтому здесь не дается. Параметры расчета в дополнение к приведенным выше были, следующими:
|ь = 33 ■ 103 Па ■ с, — 8 = 362 кг/м3,
к = 0.217 ■ 1012 м2, т = 0.1,
0
5
Li
1.0 0.:
0.6
0.4
0.2
1-г
t = 20
1-5
Li
Hi
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
S
Рис. 3. Распределение газонасыщенности по длине подводящего канала при вытеснении газом водогли-нистой брекчии (время указано в годах).
pH - p0 = 162.22
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.