ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1238-1254
УДК 519.634
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИМЕСИ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЫ И ЕЕ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ1)
© 2015 г. А. И. Сухинов, Д. С. Хачунц, А. Е. Чистяков
(347928 Таганрог, Некрасовский пер., 44, Инженерно-технологическая академия Южного федерального ун-та) e-mail: sukhinov@gmail.com, diana-hachunts@mail.ru, cheese_05@mail.ru Поступила в редакцию 24.10.2014 г.
Переработанный вариант 01.12.2014 г.
Работа посвящена математическому моделированию процессов распространения примеси в воздушной среде в прибрежных районах. Предложена новая математическая модель аэродинамических процессов, учитывающая многообразие факторов прибрежных зон: повышенную влажность воздуха, изменчивость атмосферного давления и температуры и др. Разработаны алгоритмы исследования этих моделей, реализованные в виде комплекса программ. Библ. 22. Фиг. 13.
Ключевые слова: газовая динамика, многокомпонентная среда, распределенный источник, численное моделирование, консервативные разностные схемы.
DOI: 10.7868/S0044466915070121
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопросы исследования загрязнения воздушной среды являются классической проблемой нашего времени. Центральное место в современных проблемах защиты окружающей среды приобретает задача исследования процессов распространения примесей в атмосфере. В настоящее время во всем мире наблюдается рост производственных предприятий и наземного транспорта, что значительно влияет на качество воздуха в атмосфере. Для анализа и точного расчета уровня загрязнения атмосферы необходимо привлечение математического аппарата, а именно методов математического моделирования. Одним из практически важных разделов наук, связанных с изучением математического моделирования, является изучение процесса распространения примесей в приземном слое атмосферы. Математическое моделирование является надежным и эффективным методом анализа и оценки состояния воздушной среды, которое позволяет определить распределение концентрации примеси в атмосфере, учитывающее многокомпонентный характер среды.
В области математического моделирования движения загрязнений в атмосфере и разработки численных методов для него в настоящее время сложилась ситуация, при которой проводимые в мире работы рассматривают отдельные явления и не охватывают их комплекса. Работы, посвященные математическому моделированию приземной аэродинамики, впервые в Советском Союзе появились у академика А.С. Монина (см. [1]). Далее в Ленинграде профессор М.Е. Берлянд перехватил научную эстафету. Более поздние исследования такого типа проводились известными учеными Г.И. Марчуком (см. [2]), А.Е. Алояном (см. [3]), Б.Н. Четверушкиным (см. [4]—[6]). Следует отметить ряд работ, которые внесли большой вклад в область математического моделирования задач со сложной и динамически перестраиваемой геометрией расчетной области (см. [7]—[9]). Рассеяние примеси, которое учитывает турбулентность, и примыкающие к ним дополнительные условия (распространение тепла и влажности, наличия лесных насаждений и кустарников и т.д.) образуют совокупность и начинают воздействовать как единая система. Для решения подобных проблем необходима разработка новых математических моделей, которые базируются на уравнениях газовой динамики и законах сохранения вещества, а также учитывают сложную геометрию расчетной области.
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобрнауки РФ (задание № 2014/174 в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки РФ), а также при частичной финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 15-01-08619, 15-07-08626).
2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ
Атмосфера представляет собой сложную динамическую систему, в которой протекают различные динамические и физико-химические процессы. Эти процессы обусловлены как атмосферной циркуляцией, так и трансформацией газовых и аэрозольных примесей.
Движение воздушной среды и распространение в ней загрязняющих веществ (ЗВ) проходит в четыре этапа и отражено в следующих моделях:
— модель движения многокомпонентной воздушной среды, которая предназначена для поля вектора скорости, учитывающая турбулентный обмен, переменную плотность, зависимость плотности воздушной среды от давления;
— модель, описывающая процессы переноса примеси, учитывающая переход воды из жидкого в газообразное состояние и наоборот, осаждение вещества, перенос загрязняющих веществ;
— модель притока тепла, которая описывается уравнениями теплопроводности газа и конденсата, учитывающая теплообмен между жидкими и газообразными состояниями и перенос тепла;
— модель расчета давления, учитывающая сжимаемость среды, тепловое расширение, источники вещества, связанные с переходом воды из жидкого состояния в газообразное и обратно, а также турбулентное перемешивание многокомпонентной воздушной среды.
Исходными уравнениями модели движения многокомпонентной воздушной среды являются (см. [10]):
— уравнение движения (уравнение Навье—Стокса):
d-V- = - + div(|igrad(vj)) - gi; dt pdxj
— уравнение неразрывности (переноса вещества) (см. [6]):
dp
dt '
— уравнение состояния (аналог уравнения Менделеева—Клапейрона):
— + div (pv) = div (|grad (p)) + I p;
dt
P = У Plrt; ^Mt
— уравнение переноса примеси:
dp = div ((igrad (<pi)) + Iv;
— уравнение притока тепла:
dQ = dt
— уравнение модели турбулентности:
div (|grad(Q)) + div (grad (T)) + IQ; dt
vsgs = (QA)2 S;
где ф;- — объемные доли 1-й фазы (/ = 0 — воздух, 1 — вода в газообразном состоянии, 2 — газ на источнике, 3 — вода в жидком состоянии, 4 — сажа), V, — проекции компонентов скорости на оси Ох, ]= 1,2,3, g — ускорение свободного падения,р — давление, Я — универсальная газовая постоянная, М — молярная масса, I — функция, описывающая распределение и мощность источников примесей, Т — температура газовой фазы, О — тепловая энергия, X — коэффициент теплопроводности, ц — коэффициент турбулентного обмена, р — плотность воздушной среды. Здесь и далее символ "й/& " означает полную производную по времени от функции, зависящей в общем случае от времени I и трех пространственных координат х, у, I-
2.1. Переход от трехмерных моделей к двумерным
С целью получения нетрудоемких для вычисления дискретных моделей осуществляется переход от трехмерных моделей к двумерным. Рассмотрим трехмерное уравнение диффузии—конвекции-реакции:
др , д(ри) , д(ру) , д(рм>) _±(„др)+д_(„др)+д_(,,дР
+ —+1 р.
д? дх ду дг дх\ дх! дуду) дг1Г дz) Р Будем рассматривать уравнение при граничном условии
др дп
где т — параметр, описывающий наличие источника на боковых поверхностях, п — вектор нормали.
В результате преобразований получим:
dt dx dz дх\ дх/ dz V dz.
+ 6/ p,
Уа
Р.
где е — параметр, описывающий относительную величину объема, свободного от растений, ц = ц (б, п) — коэффициент турбулентного обмена, зависящий от проницаемости и видового состава лесного насаждения, который задается параметром п1,1 = 1, 2, ..., Ь, Ь — общее количество видов, составляющих данное насаждение.
3. ДВУМЕРНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИМЕСИ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ
3.1. Математическая модель аэродинамики приземного слоя атмосферы
Рассмотрим основные уравнения динамики воздушной среды:
— система уравнений Навье—Стокса
щ + шы'х + vzu'z = - - (sP) + (цемХ)Х + Z) -
2eXx
\ /х N' N' 7'
P 1st <')
sw' + u&w'x + wsw' = — (sP )'_ + (Ц8 vX)X + (^ew')Z--;
P z I
— уравнение неразрывности
ept + (spu) + (epw)Z = (ецрХ)Х + (s^p'z)'z + s/p, (2)
— уравнение состояния
P = у PLrt, (3)
Mj
i '
где s — параметр, описывающий относительную величину объема, свободного от растений, ц = ц (б, nm) — коэффициент турбулентного обмена, зависящий от проницаемости и видового состава лесного насаждения, который задается параметром nm, m = 1, 2, ..., L, L — общее количество видов, составляющих данное насаждение, {т х,т z} — составляющие вектора тангенциального напряжения на поверхности растительного покрова, l — среднее расстояние между отдельными деревьями и кустарниками.
В предположении, что воздушная среда изначально находится в состоянии покоя, начальные условия будут иметь вид
u = 0, w = 0, P = Pa,
где V = {u, w} — значение компонент вектора скорости, Pa — атмосферное давление. Система уравнений (1), (2) рассматривается при следующих граничных условиях:
— на непроницаемой границе: р wn un = т xj( t), р w4 v'n = т^ОД = 0, РП = 0;
— на боковых проницаемых границах: ип = 0, к'п = 0, Р'п = 0;
— на источнике: и = и к = Ж, РП = 0;
где V = {и, V} — значение компонент вектора скорости, Р — давление, — компоненты вектора скорости на источнике, р — плотность, ц = ц (б, пт) — коэффициент турбулентного обмена, зависящий от проницаемости и видового состава лесного насаждения, М — молярная масса, Я — универсальная газовая постоянная, тхЬ, т — составляющие касательного тангенциального напряжения, Т — температура.
Тангенциальное напряжение на поверхности растительного покрова рассчитывается согласно формуле (см. [11]):
тх = PaCp (Iw|) w Н , т* = PC (Iw) w* Н, Cp (x) =
[0.0088, х < 6.6 м/сек, {0.0026, х > 6.6 м/сек,
где № — вектор скорости ветра, ра — плотность атмосферы, Ср (х) — безразмерный коэффициент.
Согласно методу поправки к давлению исходная модель гидродинамики (1), (2) разбивается на три подзадачи (см. [12], [13]).
Первая подзадача представлена уравнением диффузии— конвекции— реакции, на основе которого рассчитываются компоненты поля скорости на промежуточном слое по времени
и — и _I _I _I I _11 2ет
е—— + игих + кги' = (цеи^х + (цеиг)г — х
1 X ^NtX'XNt^* Т
. (4)
e—— + u&Wx + wsw* = (^swx)x + (^ew*)*--.
ht '
Для аппроксимации по временной переменной уравнения диффузии—конвекции—реакции использованы схемы с весами (см. [14]). Здесь й = ай + (1 - а)u, а е [0,1] — вес схемы. Опишем граничные условия системы (4):
— на непроницаемой границе: рwnй„ = тxfi(t), рw4 v'„ = x*,Ä(t);
— на боковых проницаемых границах: йп = 0, w'n = 0;
— на источнике: и = U, w = W, РП = 0.
Вторая подзадача позволяет рассчитать распределение давле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.