ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 6, с. 677-684
УДК 66.012-52
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРЫ ПОТОКА ЖИДКОСТИ В СИСТЕМЕ АЭРОТЕНК-ОТСТОЙНИК
© 2009 г. Ю. А. Комиссаров, Л. С. Гордеев, Цзян Чжицян
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва
komiss@muctr.ru Поступила в редакцию 24.03.2009 г.
Получено аналитическое решение математической модели структуры потока жидкости для системы аэротенк-отстойник с рециклом в виде зависимости среднего времени пребывания в системе и размерной дисперсии от параметров модели - числа Пекле и доли рециркулирующего потока. Предлагается методика определения параметров модели и анализ влияния их на гидродинамику.
ВВЕДЕНИЕ
В работах отечественных и зарубежных ученых [1-8] в 70-80-х годах XX столетия широко использовались математические методы исследования гидродинамики структуры потоков барботажных массообменных аппаратов в процессах ректификации, абсорбции с разнообразными типовыми конструкциями контактных устройств (ситчатые, клапанные, колпачковые и т.д.). Цель этих исследований заключалась в установлении математической модели структуры газожидкостных потоков, отражающих реальный механизм перемешивания, а также в получении эмпирических зависимостей параметров этих моделей от режимов работы аппарата. Это позволяло решать проблему масштабного перехода при использовании решений математических моделей в системах автоматизированного проектирования новых, либо реконструкции старых производств.
Методология исследования структуры потока жидкости [6, 7] претерпела значительные изменения во времени благодаря большому числу экспериментов на разных конструкциях и типоразмерах, что позволило совершить большой рывок в этом исследовании - описать близкий к реальному механизм движения жидкости как в пределах одного элемента (тарелки) массообменного аппарата, так и в объеме всего аппарата.
В результате использования новой методологии исследований [6, 7] были получены более эффективные конструкции массообменных аппаратов и способы их интенсификации.
На первом этапе сделана попытка переноса методологии исследований гидродинамики массообменных аппаратов [6, 7] на систему аэротенк-отстойник с рециклом (рис. 1), широко применяемую при очистке сточных вод с целью дальнейшего использования параметров модели гидродинамики при
исследовании кинетики массопередачи аэротенка в процессе абсорбции системы кислород - вода.
Второй этап исследований (формирование математической модели массопередачи двухфазной системы газ-жидкость) предполагает использование математической модели гидродинамики структуры потока жидкости и ее параметров (1-й этап исследований), а также модели полного перемешивания по газу с решением полученной системы уравнений с граничными условиями в установившемся состоянии.
Анализ литературных источников показал, что подобных совместных исследований [6, 7] гидродинамики, а также последующего использования их при исследовании кинетики массопередачи для систем водоочистки химических производств не производилось.
Целью настоящей статьи и явилась попытка восполнить этот пробел на примере типовой системы водоочистки аэротенк-отстойник с рециклом (рис. 1).
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ
Для исследования структуры потока жидкости в системе аэротенк-отстойник использовался импульсный метод по составу потока [1-3, 6, 7].
(1+К)Ьх0
Аэротенк Ре, У1, х1
(1+К)Ьх{ Отстойник
УЪ х2
(1+К)Ь%2 Ьхш
ЯЬх2
Рис. 1. Структура потока жидкости в системе аэро-тенк-отстойник, где а, б - точки смешения.
а
Fälj—j1 1 ät
(l+R)Lx0
Ш vF ^ äl{)
fix 1 Л 1
EF ж I7Z7 S , SXj EF -ц ж äli)
l ' äli
L(\+R)x\
Рис. 2. Схема потоков для элемента dlj диффузии.
процессе
На рис. 1 представлена структурная схема потока жидкости в двух аппаратах (аэротенк и отстойник) с рециклом Я части жидкости. Эта схема широко используется в системе очистки сточных вод.
(а)
qfi(t)
L(1+R)x0 L(1+R)x1
EFdx1 dli
(б)
L(1+R)x1 L(1+R)xf
dx, EF 1 dl
Рис. 3. Граничные условия структуры потока жидкости для диффузионной зоны (аэротенка): (а) на входе потока; (б) на выходе потока.
Как видно из этой схемы, математическая модель включает в себя последовательное соединение диффузионной зоны (аэротенк) (рис. 2) и зоны полного перемешивания (отстойник). В схеме предусматривается рециркулирующий поток ЯЬ.
С учетом представленных на рис.1 обозначений математическая модель структуры потока жидкости может быть записана исходя из материальных балансов для каждой зоны в виде следующей системы уравнений.
I. Диффузионная зона У1 - аэротенк (схема потоков для элемента в процессе диффузии приведена на рис. 2).
Из материального баланса для элемента Л
д х1 д2 х1 д х1
ЕЕ^-т + ЕЕ—-а!; + ЕVх1 - чЕх1 - vF^—dl; -
dli dl2
d x1 dx1
- EFт— = Fdl: --t-, дL ' dt
д l ;
После сокращений получим
д x 1 д x 1
d2 x1 E — - V'dl
d i2
d t'
Введем значения скорости потока (V = (1 + Я)Ь/Е) и безразмерной длины пути жидкости (г = ! /!1), разделим обе части этого уравнения на Е и умножим
обе части уравнения на 11, в итоге получим
d x1 (1+ R) Ll1 dx1 F( 1+ R) Ll111 dx1
dz2
EF
dz
С учетом того, что Pe =
EF( 1 + R) L d t ' v l1 = (1 + R) Ll1
IE = ef
(1)
и V1 =
= уравнение диффузии (1) приводится к виду
- р^д-Х! - Ре у1 дХ1 (2)
д г2 Ре д (1 + Я) Ь д г • (2)
II. Зона полного перемешивания У2 - отстойник. Из уравнения материальных балансов (рис. 1):
ах2
L( 1+ R) x\- L( 1+ R) x2 = V2 df-
(3)
III. Зона смешения в точке "а".
Из уравнения материальных балансов (рис. 1): LxBX + RLx2 - L(1 + R)x0 = 0. (4)
IV. Зона смешения в точке "б" (рис. 1).
(1 + R)Lx2 - RLX2 - LxBbIX = 0, (5)
откуда x2 = xBыX.
Граничные условия для диффузионной зоны определяем также из материальных балансов.
На входе потока жидкости в диффузионную зону (рис. 3 а):
и = 0; Ь ( 1 + Я) х 0 + + 9 5( t) = Ь (1 + Я) XI,
или в безразмерном виде ЕЕах1
Граничные условия для диффузионной модели имеют вид
г = 0; = Ре/ - /0),
г = 0; Ь ( 1 + Я) х0 +
11аг
+ 9 8( t) = Ь( 1 + Я) х1,
г = 1; -т~ = 0.
аг
(14)
откуда
ах = ь(1 + я )/1
аг ЕЕ
Ь (1 + Я) 11 д5( t) 11 х1 Е^с хо-'
ЕЕ
ЕЕ
= Ре
х1 — хо —
9 5( t)
Ь (1 + Я)]
(6)
= Ре( Х1- хо).
При импульсном вводе индикатора на входе потока: д5а)/Ь(1 + Я) = 0.
На выходе потока жидкости из диффузионной зоны (рис. 36): I, = 11 или г = 1;
г аХл
Ь(1 + Я)Ь х1 - ЕЕ а1 = ¿(1 + Я)х1, откуда
ах1 ах1 —— = 0 или —— = 0.
а1, аг
(7)
РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИ Для определения среднего времени пребывания потока (т) из соответствующих зон (аэротенк, от- ногоуравненияимеет вид стойник) необходимо знать начальный момент нулевого порядка (I = х йг) и первого порядка (/ =
Интегралы t хВ1Л = /вх и 15(1)йг равны нулю, так как функция /(^ = 0 и хвх = 0 при импульсном вводе индикатора в момент t = 0.
Можно доказать, что
А = 12 = 4ых = 1 =
Для определения параметров Ре и Я перейдем к решению системы уравнений (9)-(14).
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения получаем суммированием его частного решения (9) и общего решения соответствующего однородного уравнения. Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение, предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения.
Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных. Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения п-го порядка.
Так, для уравнения (9) общее решение однород-
(15)
= х гйг),
поскольку т
= X гйг (X йг)-1 = 3-.
С этой целью умножим исходную систему уравнений (2)-(5) и граничные условия (6)-(7) на 1 и проинтегрируем по t от 0 до «>.
/1 = А1ехр(г1г) + А2вхр(г2г), где г1 = 0, г2 = Ре.
Для определения постоянных коэффициентов (А1, А2) составляется система уравнений вида
А'-^хр (г1 г) + А2ехр (г2г) = 0,
Для диффузионной зоны получим следующее а'1[ехр(г1 г)]' + А2[ехр(г2г)]' = -Ре——— I.(16) шнение: (1+ Я) Ь
уравнение
2
д х1
г д х, г дх,
11-д-1 а - Ре I ^"д"-1 дх =
Ре
V1 с д х1
Ь (1 + Я)
Система уравнений (2)-(5) после интегрирования уравнения диффузии (8) приобретает вид
дх где Л'1 и А2 - производные постоянных коэффи-
It~д7а. (8) циентов. Правая часть уравнения (16) равна правой части уравнения (9).
Из системы уравнений (16) получаем производные А'1 и А2:
аг2 Ре аг Ь (1 + Я )11;
¿(1 + Я) - ¿(1 + Я)/2 =
/2 = /вых;
/ + ЯЬ/2 = Ь(1 + Я)/0; / = 0.
(9)
(10) (11) (12) (13)
А2 = (1 + Я) Ь
ехр (-Рег); А\ =
V1
(1 + Я) Ь
Интегрируя эти выражения по г, получим
V1
I.
А1 =
(1 + Я) Ь
1г + С1;
А2 =
V1
(1 + Я) ЬРе
I ехр (- Рег) + С2
0
0
Таким образом, общее решение однородного Соответственно, значение 30 можно записать в сле-
уравнения (15) имеет вид
т_ . „ . 1
31 -
-1г + С1 +
(1 + Я) Ь соответственно:
а 3 1 _ у1 аг
Ре( 1 + Я) Ь I + С 2 Ре ехр (Рег)
+ С2ехр (Рег),
(1 + Я) Ь
Используя граничные условия, определим постоянные коэффициенты С1 и С2:
V1
при г = Ре С1 +
при г = 1,
= 0, V11
(1 + Я) Ь
+ С2Ре =
Ре( 1 + Я) Ь
V1
+ С2
- Ре/0, откуда
(1 + Я) Ь
С1 = 30;
I + С2Ре ехр(Ре) = 0, откуда
С2 = -
V11 ехр (-Ре)
31 -
V1
(1 + Я) Ь
I [ г +_1__ехр [ Ре( г - 1) ] 1 + з 0.
Ре
Ре
(17)
Среднее время пребывания в аэротенке определяется по импульсному методу:
_ - 3 - ^ \ _ 1 - ехр [ Ре(г - 1) ]] + 30 (Ш Т1 - 7 - г + Ре ] + 7' (18)
* V1 V +
где =
( V1 + V 2 )
При г = 0, т =
, Тап =
^ 1 Т ап
1 + Я
V1 + V 2
= Т + Т2.
1 - ехр (-Ре) Ре
+ £
Тап 3 0 3 0 При г = 1, Т1 = 1+ГЯ + I, где у = 0.
Определим 31 в конце диффузионной зоны
31 (г = 1):
31 -
V1
-I + 3 0.
+ 30 (1 + Я) Ь - (1 + Я) Ь32 - 1,
32 = 3вых,
(1 + Я) Ь
ЯЬ32 = (1 + Я)Ы0, откуда /0 =
истемы у ( V1 + V2 )
Я
дующем виде:
_ Я ( V1 + V 2 )т 3 0 - ( 1 + Я) Ь 1.
Для определения зависимости между дисперсией и параметрами модели - числом Пекле (Ре) и долей рециркулирующего потока (Я), умножим исходную систему уравнений и граничные условия для диффузионной модели (2)-(7) на г2. После интегрирования по г от 0 до ^ уравнения диффузионной модели будет иметь вид:
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.