научная статья по теме МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСТУЩИХ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ Математика

Текст научной статьи на тему «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСТУЩИХ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 443, № 4, с. 438-441

МЕХАНИКА

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАСТУЩИХ ТЕЛ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ © 2012 г. А. В. Манжиров, С. А. Лычев

Представлено академиком Н.Ф. Морозовым 26.09.2011 г. Поступило 06.12.2011 г.

В рамках механики растущих тел [1—7] рассматриваются деформируемые твердые тела переменного состава. Это означает, что в процессе деформирования к телу присоединяются части, которые могли деформироваться до присоединения независимо. В настоящей работе рассматривается непрерывное наращивание тела, причем присоединение нового материала происходит на его границе. В качестве геометрического фундамента математической теории растущих тел используется теория расслоений дифференцируемых многообразий [8, 9]. Аналитические свойства дифференцируемых многообразий определяются без привлечения априорно заданных метрики и связности. Это позволяет сформулировать краевую задачу, в ходе решения которой определяется частный вид связности, соответствующий кинематическим и статическим характеристикам процесса наращивания.

Для идентификации точек тела вводится гладкое трехмерное материальное многообразие [10]. Связность на определяется тензорным полем (несовместной) дисторсии, которая возникает в результате сборки растущего тела из предварительно напряженных частей. Поле дисторсии и, соответственно, связность заранее не известны и определяются из решения краевой задачи о равновесии растущего тела и присоединяемых к нему материальных поверхностей. Представление материального многообразия как расслоения п:

^ К дает естественную интерпретацию результата наращивания, которое реализуется как непрерывный поток материальных поверхностей *Ша, а е К, осаждаемых на поверхности роста.

Под телом Ю будем понимать открытое подмножество материального многообразия граница которого дЮ образуется двумя различными

слоями

и

т.е.

дЮ = :

и ,

. В этом слу-

чае тело Ю может быть представлено как объеди-

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва

нение множества слоев, индексы которых принадлежат интервалу (а, в):

Ю = Ю(а, в) = и ^с.

С е (а, в)

Растущее тело определяется как параметрическое семейство таких множеств:

е = {Юу = Ю(а, у)|у е (а, в)}, (1)

где у — параметр семейства, причем при у ^ а тело вырождается в бесконечно тонкий слой или точку.

Для задания связности на воспользуемся методом подвижного репера, который предполагает определение на многообразии дифференцируемого тензорного поля йар, осуществляющего аффинную трансформацию натурального репера да,

т.е. Ср = йар да. С геометрической точки зрения

тензорное поле йар задает правило параллельного переноса на многообразии и тем самым определяет на нем, вообще говоря, неметрическую связность: два вектора, заданные в различных точках многообразия, являются й-парал-лельными, если они имеют одни и те же компоненты в реперах Ср [8, 9]. Это приводит к следующему определению коэффициентов аффинной связности Г^ [11]:

Гуа = (й 1 )Ру,а йвр. (2)

Под конфигурацией будем понимать отображение к: Ю ^ Вк с Е3, где Е3 — трехмерное аффинное пространство. Образ конфигурации Вк будем называть формой тела. Форму, представляющую собой связное множество с регулярной (в смысле Келлога) границей будем называть р е -гул яр н о й.

В настоящей работе будем рассматривать только простые материалы и, соответственно, простые тела. Напряжения в них определяются функционалом отклика, определенном на множестве линейных преобразований, трансформирующих инфи-нитезимальную окрестность материальной точки из натурального (свободного от напряжений) со-

стояния. В растущем теле регулярной формы, свободной от напряжений, может не существовать, более того, такая форма существует лишь в исключительных случаях согласованного роста.

Под деформацией будем понимать отображение А: В ^ Вк, А = к о кд. Здесь кд — отсчет-

ная конфигурация, образ которой Вк , вообще

говоря, не свободен от напряжений. Это обстоятельство приводит к необходимости вводить л о -кальную конфигурацию [10]: каждой материальной точке Ж е ^ ставится в соответствие линейное отображение К(Ж), переводящее окрестность точки кд(Ж) в состояние, свободное от напряжений. Поле К: ^ Э Ж ^ К(Ж), вообще говоря, несовместно: поле реперов е(- • К ° к-1, I = 1, 2, 3, где е(- — фиксированный декартов репер, неголо-номно. В этой связи указанная выше методология подвижного репера оказывается удобной для описания совокупности локальных конфигураций как единой натуральной конфигурации, погружаемой в пространство Картана с нетривиальным кручением. Это позволяет установить связь теории растущих тел и теории распределенных дислокаций [10].

Напомним, что материальное многообразие представляет собой расслоение, причем каждый слой ассоциируется с материальной поверхностью, напряженной до ее присоединения к телу. Будем полагать, что каждый слой перед его присоединением деформировался из ненапряженного состояния. Это формализуется следующим образом: сужение поля К на любой фиксированный слой совместно — соответствующее поле реперов определяет поверхность, погружаемую в аффинное пространство Е3, т.е. существуют послой-

ные конфигурации к^ : ^ ВК с Е3. Совокуп

£

слоев ^ ВК , образует несвязное подмножество

С е (а, у)

Е3. Однако при вложении их в пространство Кар-тана со связностью (2) совокупность образов слоев оказывается связным множеством с регулярной границей.

Деформация в составе тела определяется относительным градиентом деформаций Е = V к =

= (Ук) • (Укд)—1. Полный тензор дисторсии материальной точки Ж е ^ имеет вид Н(Ж) = К(Ж) • • Е(Ж). Преобразование Н(Ж) переводит инфини-тезимальную окрестность точки Ж из ненапряженного состояния в напряженное, реализуемое в составе формы Вк.

Пусть тело ^ находится в конфигурации к. Тогда в квазистатическом приближении уравнения баланса импульса имеют вид

Ук • Тк + Ьк = 0,

где Тк — тензорное поле истинных напряжений (Коши), возникающих в теле в конфигурации к, Ьк — объемная плотность массовых сил. Далее будем полагать, что функционал отклика принадлежит классу функционалов для гиперупругих неоднородных анизотропных материалов. Тогда напряжения могут быть определены послойно следующим образом:

Тк - ^иН •

К

д Н :

(3)

где КК — плотность внутренней энергии, запасенной в конфигурации к и отнесенной к едини-

г

це объема послойной конфигурации к .

Глобально упругий потенциал может быть определен относительно евклидовой конфигурации кд,

а именно, вводится упругий потенциал К* — запасенная энергия, отнесенная к единице объема в отсчетном состоянии кд:

К* (К, Г, Ж) - /К и, Ж) - /к1^ К • Г, Ж).

Если функционал однороден КК, т.е. он явно не зависит от материальных координат Ж, функционал

КК*, вообще говоря, не будет таковым, поскольку К зависит от Ж. В этом случае растущее тело будет материально единообразным и неоднородным [11, 13].

Уравнения равновесия для растущего тела имеют вид

Ук

■ 1 и •д КХ Н Ж)

и ди

и - к ■ г

+ Ьк - 0.

ность поверхностей Вк , т.е. множество образов всех

Краевые условия статического типа задаются на поверхности О(у):

" 1и • д К(и Ж)

д и

и - к ■ г

- р,

П(у)

где пк — внешняя единичная нормаль к поверхности О(у), р — заданное поле поверхностных сил.

Формально постановка краевой задачи отличается от классической постановки для тела постоянного состава лишь тем, что граница пространственной области параметрически зависит от времени. Однако имеется и более глубокое отличие, которое состоит в зависимости упругого потенциала от тензорного поля дисторсии, для определения которого требуются дополнительные условия. Формулировка этих условий зависит от

п

к

440

МАНЖИРОВ, ЛЫЧЕВ

геометрической структуры присоединяемых элементов, т.е. от вида расслоения материального многообразия. Если рост тела происходит за счет непрерывного притока к телу предварительно напряженных материальных поверхностей, то это условие может быть сформулировано в виде

= ^. (4)

Рк • гИ •д К- (Н, X ) • Рк

И д Н И = К ■

0(у)

Здесь Pк = (Е — пк ® пк) — проектор на касательную плоскость к границе О(у). Записанное соотношение выражает тот факт, что слои присоединяются с заданным натягом, определяемым поверхностным тензором натяга

Уравнение для определения ^ при условии, что наращивание происходит в результате непрерывного присоединения предварительно напряженных поверхностей, может быть получено из соотношений теории материальных поверхностей [12]. При этом уравнение равновесия материальной границы О (у) имеет вид

У, • ^ + К = пх

|0(у)>

2Т, = 2Т(Р,, X), (5)

где ^Т, — тензор натяжения, двумерный аналог тензора напряжений Коши, У^ = Pк • Ук — поверхностный набла-оператор, Ь — поверхностная плотность внешних сил, действующих на О, Fs — градиент деформации поверхности

Р, = У^г, z: Оо ^О = О(у),

причем О0 с Е3 — образ отсчетной конфигурации

С

поверхности ку, которая полагается натуральной.

Напряжения ^ могут найдены по натяжению ^Т, с помощью оператора вложения 1п, т.е. ^ = = 1п[] [12].

Поскольку поверхностная дивергенция поля 2Г ,

удовлетворяет соотношению (У5 • ^) • пк = ^ : L, L = —У^пк, то проекция уравнения (5) на нормаль пк определяет уравнение

2Г, : Ь + Ь,

Ю(у)'

(6)

Если предположить, что касательная нагрузка на поверхности роста отсутствует, то условие (6) определяет действие нормальной нагрузки, которую оказывает материальная поверхность на пространственное тело. Такое взаимодействие можно охарактеризовать как гладкий контакт растущего тела и материальной поверхности, т.е. последняя может скользить без трения по телу.

Для замкнутой постановки краевой задачи следует указать краевое условие на границе дО(у) поверхности О(у):

^(у)

= Г,

и1 а2о(у) = и,

д!О(у)ид2 О(у) = дО(у).

Здесь п — внешняя единичная нормаль к кривой дО(у), лежащая в касательной плоскости к О(у), f — линейная плотность сил, распределенных на кривой 51О(у), u — заданные смещения точек на кривой д2О(у).

Полная система уравнений математической теории наращиваемых тел в случае, когда трехмерное тело растет за счет присоединения предварительно

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком