ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2012, том 48, № 2, с. 51-66
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КРЕДИТА
© 2012 г. А.В. Жевняк
(Рязань)
С помощью новой техники дисконтирования на основе специального класса функций (дисконт-функций) построены математические модели распространенных кредитных схем, проведен сравнительный анализ их доходности/затратности для кредитора/заемщика. Дан критический анализ действующей методики ЦБ РФ определения эффективной процентной ставки кредита как меры его доходности для кредитора или затратности для заемщика. Показана возможность применения дисконт-функций для анализа доходности облигаций.
Ключевые слова: расчет, кредит, кредитор, заемщик, доходность, эффективная процентная ставка, ЭПС, IRR, реинвестирование, дисконтирование.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КРЕДИТА
Пусть S - номинальная сумма займа; {Rj, j = 1,..., n} - денежный поток обслуживания кредита (в уплату основного долга и начисленных процентов), поступающий кредитору от заемщика; Rj - член потока, выплачиваемый в конце расчетного периода j (постнумерандо); n - срок кредита, исчисляемый числом расчетных периодов (например, дней, недель, месяцев, кварталов,
n
лет); Rn = /Rj. При кредите каждый член потока Rj(S, Sm, n) является определенной функцией
j=1
суммы займа S, процентной ставки расчетного периода Sm, срока кредита n и предопределяется выбранной схемой обслуживания займа. Примем, что Sm = S/m, где 8 - номинальная (годовая) процентная ставка кредита, m - число платежей обслуживания в году, а в качестве дополнительных выплат будем учитывать только единовременный комиссионный сбор в размере1 aS, взимаемый в начале первого расчетного периода одновременно с предоставлением займа. (Следует заметить, что все дальнейшие выкладки могут быть адаптированы и к случаю распределенных во времени комиссионных сборов, когда ставка комиссии a = a(j) = aj.)
На практике наибольшее распространение получили четыре вида кредита, отличающиеся по схеме обслуживания долга:
- кредит с равномерным гашением основного долга и начислением процентов на остаток ссудной задолженности, который называют также кредитом с амортизацией долга, кредитом с дифференцированными платежами или классическим (для краткости мы будем именовать его ординарным кредитом);
- кредит с регулярной уплатой процентов, начисляемых на сумму основного долга, и единовременным погашением основного долга в конце срока (по аналогии с купонной облигацией такой кредит мы будем называть купонным);
1 Единовременный комиссионный сбор практикуется банками в основном для физических лиц и частично для малого и среднего бизнеса. При кредитовании крупных корпоративных клиентов эта операция применяется достаточно редко. Вместо комиссии для крупных корпоративных клиентов используются другие инструменты - требование наличия неснижаемого остатка на расчетном счете, активные обороты по счету, причем часто в объеме, соизмеримом с суммой займа. Такие обременения главным образом имеют целью снижение кредитного риска (защита от дефолта заемщика).
51
4*
- кредит с единовременной уплатой основного долга и начисленных процентов в конце срока (шаровый кредит);
- кредит с одинаковыми по величине платежами обслуживания в виде постоянной ренты (аннуитетный кредит).
Далее все показатели рассматриваемых конкретных кредитов будем нумеровать (помещая соответствующий номер в верхнем индексе) в том порядке, в котором они перечислены выше.
Обычно в потоке платежей обслуживания кредита, поступающих со стороны заемщика в адрес кредитора, выделяются две составляющие, направляемые соответственно на погашение основного долга и в уплату процентов за пользование займом {Gj(S, öm, n), j = 1,..., n} и {Pj(S, öm, n), j = 1,., n} соответственно. Эти потоки взаимосвязаны (например, в случае, когда уменьшение текущей ссудной задолженности за счет частичного погашения основного долга снижает и сумму начисляемых в следующем периоде процентов). Конкретный вид функций Gj(S, öm, n) и Pj(S, öm, n) зависит от принятой схемы обслуживания кредита, причем во всех случаях должно
n
выполняться условие возвратности займа /Gj(S, öm, n) = S.
j=1
Для ординарного кредита при j = 1,., n с учетом P- = Dj-18m, Dj = S(1 -j/n) получим
G<*> = S/n, P<*> = S(n + 1- j) öm /n, R?> = S[1 +(n + 1- j) öm)]/n,
где Dj - ссудная задолженность (точнее, остаток основного долга) в конце расчетного периода j; для купонного -
,0, j = 1,..., n -1; SSm, j = 1,..., n -1;
Gf = * , J Pf = SSm, j =1,., n; Rf = * ""
[5, j = n; [S+Som, j = n,
для шарового
i0 j = 1 n-1- 0, j = 1,..., n-1;
G(3)= J 1>--->п v> p(3)= I '
j [5, j = n; j [5[(1 + 8m)n -1], j = n;
[0, j =1,..., n-1;
R j3) = I
j [5(1+ dm)n, j = n.
для аннуитетного -
G f = (R - 55m )(1 + 5m )j-1, P f = R (4) - G f = R [1 - (1 + 5m ) j-1] + 55m(1 + 5m ) j-1,
Rf = R = 5/{o(5m, n),
n
где {0(5m, n) = /1/(1+ 5m)j = ((1 + 5m)n -1)/(5m(1+ 5m)n) - дисконт-функция нулевой степени
j=1
или коэффициент приведения единичной постоянной ренты.
n
Степенные дисконт-функции {k(5m, n) = / jk/(1 + 5m)j степени k и порядка n введены в на-
j=1
учный оборот в (Жевняк, 2010, с. 11-107). Они являются обобщением результатов Я. Бернулли (Jacob Bernoulli) в классической задаче о вычислении суммы одинаковых степеней последовательных натуральных чисел с натуральными же показателями и обладают рядом важных свойств, позволяющих существенно упростить аналитическое исследование финансовых операций. Часть этих свойств, необходимая для настоящей статьи, описана в Приложении, где также проведено сравнение кредитов по дисконтированной сумме процентных платежей и дисконтированной сумме платежей обслуживания.
2. ИНВЕСТИЦИОННАЯ ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА
Доходность финансовой операции является ее важнейшей характеристикой. В применении к кредиту можно говорить о его доходности для кредитора и затратности для заемщика. Вычис-
n
лив современную стоимость потока платежей обслуживания кредита R ns = /Rj/(1 + s)j, можно
j=1
найти сумму полных (с учетом взимаемой кредитором комиссии) дисконтированных или наращенных платежей заемщика в абсолютном и удельном выражении:
Z ns = + Rns, Z ns = Z ns S_1 = a + Rns, Rns = Rns
„ „ _ 7 (1) ^ Z ns = Z ns (1+ s )n = [aS + R ns ](1+ s )n, Z ns = Z ns S-! = a (1+ s )n + R„e (1+e)n,
где Z ns = Z ns /S и Z ns = Z ns /S - удельные (на единицу номинальной суммы займа) полные дисконтированные и наращенные платежи обслуживания кредита соответственно; Rj = Rj/S - текущие удельные платежи обслуживания кредита; s - ставка дисконта (реинвестирования). По аналогии
с инвестиционным анализом величина Z ns может быть названа индексом рентабельности кредита (PI, profitability index). Вычислив Z ns можно будет установить некоторую шкалу измерения доходности/затратности кредита для кредитора и заемщика соответственно. Еще одну шкалу доходности можно получить через удорожание кредита:
Uns = (Zns - S)/S = 7ns -1= ns + a -1. Приведенные в Приложении формулы для современной стоимости суммы платежей обслуживания Rnf в различных кредитных схемах позволяют вычислить по формуле (1) доходность кредита для кредитора или затратность кредита для заемщика по современной Znf или наращенной
Z ns стоимости, а также удорожание U ns. При этом возникает проблема выбора ставки дисконта (ставки реинвестирования текущих платежей), причем она может быть разной для кредитора и заемщика.
Для оценки доходности кредита могут применяться и другие подходы, приводящие к иным результатам, например эффективную процентную ставку (ЭПС). Для российских банков методика ее вычисления установлена ЦБ РФ в Положении № 254-П "О порядке формирования кредитными организациями резервов на возможные потери по ссудам, по ссудной и приравненной к ней задолженности", которая разъяснена в Письме ЦБ 175-Т от 26 декабря 2006 г. Согласно требованию ЦБ эффективная ставка должна учитывать все платежи, которые производит заемщик в процессе обслуживания кредита, и величину этой ставки, вычисленную по установленной методике, банк обязан с 1 июля 2007 г. сообщать заемщику. Банки, отказавшиеся от вычисления ЭПС, должны выделять в своем кредитном портфеле определенные группы кредитов и создавать по каждой из них отдельный резерв. По замыслу регулятора информация о величине ЭПС позволит потенциальному заемщику сравнивать предложения различных банков2, выбирая наиболее выгодные, и в конечном счете обострить конкуренцию среди кредиторов. Первый опыт самостоятельного освоения заемщиками банковской методики расчета ЭПС свидетельствует о весьма серьезных недоразумениях по поводу получаемых результатов (см., например, (Федоров, 2008, с. 79-81), а также многочисленные публикации в Интернете по вопросам личных финансов). Не в лучшем положении по толкованию результата вычисления эффективной ставки и корпоративные заемщики, хотя само вычисление ЭПС здесь и не должно вызывать особых проблем.
2 Следует отметить, что банки предоставляют заемщику информацию о величине ЭПС вместе с подписанием кредитного договора, когда заемщику уже поздно искать другого кредитора (формально он, конечно, может и расторгнуть договор, найдя в короткое время более выгодное для себя предложение, но на практике это сделать весьма непросто). Однако просвещенный заемщик сможет самостоятельно вычислить ЭПС по методике ЦБ еще до оформления сделки. Хочется верить, что со временем число таких соискателей займа будет расти, особенно в случаях, когда речь идет о значительных суммах и сроках заимствования (например, для строительства жилья по ипотеке).
Согласно методике ЦБ РФ, эффективная процентная ставка кредита ЭПС кредита г определяется из уравнения
n R
(1- a) 5 = /-J—, (2)
J=1(1+ r )J W
/
вытекает
где R nr = /Rj /(1+ r )J - современная стоимость потока платежей обслуживания {RJ, J = 1,..., n}
J=i 3
при ставке дисконта r. Из (2) при 0 < a < 1 с учетом основного свойства кредита3
= s (3)
=1 (1+ dm ) J
Rnr > S = /Rj(S, dm, n)/(1 + dm)J, откуда в силу монотонного убывания функции Rnr
J=1
при возрастании r следует r > om. Но при от
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.