ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2013
УДК 629.7.054.011
© 2013 г. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Барулина М.А.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОУПРУГОГО
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ПОГРЕШНОСТИ МАСШТАБНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОГО ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ДАТЧИКА1
Построены и исследованы математические и конечно-элементные модели термоупругого напряженно-деформированного состояния системы "катушка — волоконная бухта" высокоточного волоконно-оптического гироскопического датчика. Рассмотрена идеализированная и реальные конструкции системы "катушка — волоконная бухта". В результате решения контактных термоупругих задач для этих систем получены качественные и количественные оценки их напряженно-деформированного состояния, прочности и погрешностей масштабного коэффициента. Проведен сравнительный анализ систем и выработаны рекомендации по повышению точности датчика.
Постановка задач. Волоконно-оптический гироскопический датчик инерциальной информации об угловом положении и движении подвижных объектов (волоконно-оптический гироскоп (ВОГ)) в настоящее время один из широко применяющихся и перспективных приборов наряду с микромеханическими, волновыми и другими типами датчиков.
Теория и практика ВОГ достаточно хорошо разработана [1—9]. Анализ информации за последние несколько лет [4—9] показал, что основные усилия разработчиков и исследователей ВОГ направлены на существенное повышение точностных характеристик датчика. Так, для достижения инерциальной точности ВОГ < 0,01 град/ч, относительная погрешность масштабного коэффициента, согласно [1, 4—9], должна быть 5 < 0,01%.
Вместе с тем современные высокоточные и надежные ВОГ должны функционировать в условиях достаточно жестких температурных воздействий [3, 7—10]. Например, температуры окружающей среды могут изменяться в широком диапазоне (—50—ь60)°, причем эти изменения могут быть нестационарными. Такие тепловые воздействия приводят к сложному изменению термоупругого напряженно-деформированного состояния (НДС) датчика, изменениям масштабного коэффициента (МК) и, в конечном итоге, к погрешностям и нарушениям нормального функционирования прибора.
Основные элементы ВОГ — это катушка (в простейшем случае кольцо) с намотанной на нее волоконной нитью в виде бухты цилиндрической (или близкой к ней) формы.
Идеализированная (а) и возможные реальные конструкции системы "катушка — волоконная бухта" представлены на рис. 1: б — первая конструкция [6] системы "катушка (кольцо) — волоконная бухта" с симметричными закреплениями катушки в трех зонах по внутреннему радиусу; в — вторая конструкция [5] системы "катушка (с
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (Проект10-08-00119а).
Рис. 1
бортиками) — волоконная бухта" со сплошным закреплением катушки по фланцам внутреннего радиуса; г — третья конструкция [9] системы "катушка (с двумя несущими каркасами) — волоконная бухта" с закреплением в нижней и боковой части; 1 — катушка, 2 — волоконная бухта.
Цель настоящей работы — разработка путей повышения точности ВОГ на основе анализа термоупругого НДС системы "катушка — волоконная бухта" и термоупругой погрешности масштабного коэффициента.
Для достижения цели ставятся и решаются связанные задачи.
1. Построение и исследование математических и конечно-элементных моделей термоупругого НДС идеализированной и реальных систем "катушка — волоконная бухта" и математической модели термоупругой погрешности масштабного коэффициента.
2. Решение контактных термоупругих задач для систем "катушка — волоконная бухта", получение качественных и количественных оценок их НДС, прочности и погрешностей масштабного коэффициента датчика. Проведение сравнительного анализа этих систем и выработка рекомендаций по повышению точности датчика.
Математическая модель термоупругого НДС идеализированной системы "катушка — волоконная бухта" и модель термоупругой погрешности масштабного коэффициента ВОГ. Система идеализируется в виде соосных контактирующих разнородных цилиндрических колец, внутреннее из которых представляет катушку ВОГ, а наружное — упорядоченную упругую структуру с интегральными характеристиками, соответствующую волокну, свернутому в бухту на катушке (рис. 1, а).
Заданы геометрические параметры: r1, r2, r3, h — радиусы и ширина колец; r, 9 — полярные координаты; r1 < r < r2 — внутреннее кольцо; r2 < r < r3 — наружное кольцо. Введем безразмерную координату р = r/r3: для внутреннего кольца р1 = r1/r3 < р < r2/r3 = р2; для наружного кольца (волокно) р2 = r2/r3 < р < 1.
Внутреннее кольцо имеет характеристики: Ek — модуль упругости Юнга; vk — коэффициент Пуассона; ak — коэффициент линейного температурного расширения. Наружное кольцо — упорядоченная упругая структура волоконной бухты с интегральными характеристиками: EV — модуль упругости; vV — коэффициент Пуассона; aV — коэффициент линейного температурного расширения. Материал катушки карбон, сплав Д16Т и др. с модулем упругости Ek > EV. Превышение температуры над номинальной AT = const.
Разрешающие соотношения (математическая модель) для рассматриваемой осесси-метричной контактной термоупругой задачи на основе работы [10].
Внутреннее кольцо (катушка) р: < р < р2. Напряжения
Деформации
srk = (оrk - vlkaek)/Elk + alkAT, sek = (aek - vlkark)/Elk + alkAT. (2)
Радиальное перемещение
Urk =S0kr3P- (3)
Наружное кольцо (волокно) p2 < p < 1. Напряжения
C
arV = C1V - 0,5a1vE1vAT
( p2 Л C (
1 I, o0v = Civ -C-0,5aivEivAT . P J P
1 + P. (4)
P
Деформации
srv = (arv -Viv^ev)/Eiv + aivAT, s0v = (aev -Vivorv)/Eiv + aivAT. (5)
Радиальное перемещение
Urv = S0vr3P. (6)
Граничные условия: по внутреннему радиусу катушка жестко закреплена
Р = Pi, Urk(pi) = 0; (7)
по наружному радиусу у волокна свободная поверхность:
Р = 1, Grv(l) = 0; (8)
в контакте катушки и волокна деформации и перемещения совпадают
Р = Р2> еrk(P2) = Crv(Р2)> Urk(P2) = urv(Р2) ^ S0k(P2) = е0v(Р2). (9)
В формулах (1)—(9) обозначено: C1k, C2k, C1V, C2V— постоянные, определяемые из граничных условий;
Elk , Vlk = , alk = ak(l + vk); Elv = ~Evj, Viv ; aiv = av(l + Vv) -
l-v k l-vk l-Vv l-Vv
модифицированные модули упругости, коэффициенты Пуассона и коэффициенты линейного термоупругого расширения для учета [10] ширины h колец.
Математическая модель (1)—(9) позволяет в первом приближении исследовать НДС системы "катушка — волоконная бухта".
Для оценки погрешности масштабного коэффициента ВОГ, обусловленной термоупругими деформациями системы "катушка — волоконная бухта" запишем основное соотношение [1—3], определяющее связь фазы Саньяка и измеряемой угловой скорости Q
a9c = 4nRL Q =R ■2nRN q = 8jlNr 2q, (10)
X c X c X c
где R = 0,5(r2 + r3) — средний радиус витка контура; L — длина волоконной нити; N — число витков; X, c — длина волны излучения и скорость света.
Термоупругая деформация системы "катушка — волоконная бухта" приведет к изменениям R и, значит, к изменениям масштабного коэффициента в (10). Тогда коэффициент из (10) запишем как
2 2
г / ч 8п N „2 2п N, л /11Ч
Км(Г2, Гз) =—-R =—-(r2 + Гз) . (11)
X c X c
Запишем абсолютную и относительную термоупругую погрешность масштабного коэффициента
AKM (Г2, гз) = дКм Ar2 + дКм Агз = ^ (Г2 + гз)(Дг2 + Агз)
дг2 дг3 ^ (12)
8% = Мм100% = 2(Аг2 +Агз)1ОО%.
km Г2 + гз
Из решения термоупругой задачи и изменения радиусов Аг2, Агз :
АГ2 = Ukfo), АгЗ = uv (1) • (13)
Из (12) и (13), формула для оценки относительной погрешности масштабного коэффициента, обусловленной термоупругими деформациями катушки и волокна (термоупругая погрешность масштабного коэффициента) будет
5% = 2 Ыгк(р2) + UrV (1) 100%. (14)
Г2 + Гз
Приближенную оценку прочности системы "катушка — волоконная бухта" можно провести на основании сравнения максимальных значений полученных напряжений и допустимых напряжений [ст]. Например, в большинстве случаев [1—10] допустимые напряжения для материалов рассматриваемых элементов ВОГ, [ст] > 0,1—0,5 ГПа.
Компьютерные эксперименты на математической модели (1)—(14) и анализ результатов. Для проведения компьютерных экспериментов разработан программный модуль "NDS—KAT—VOE'.
Расчеты проводили при следующих основных исходных данных: rx = 5,05 см; r2 = 5,35 см; r3 = 5,75 см; AT = const = 1°; Ek= 70 ГПа; vk= 0,3; ak= 2 • 10-5 °С-1; Ev = 20 ГПа; vV = 0,3; aV = 2 • 10-5 °С-1.
На рис. 2 показаны характеристики стДр), сте(р), sr(p), se(p), ur(p) напряженно-деформированного состояния системы "катушка — волоконная бухта" на математические модели (1)—(14) при номинальном и на порядок уменьшенном внутреннем радиусе кольца r{: а — тонкая "катушка", б — толстая "катушка".
Конструктивное выполнение катушки ("тонкая" с внутренним радиусом rx = 5,05 см и "толстая" с r1 = 0,505 см) существенно меняет характер зависимостей напряжений и деформаций от радиальной координаты р. При тонкой катушке эти зависимости носят примерно линейный характер. При толстой катушке эти зависимости принимают нелинейный характер, плавно изменяясь от максимальных до установившихся значений. Скачок напряжений на границе кольца и волоконной бухты объясняется их различными модулями упругости Ek > EV. Максимальные значения напряжений в системе имеют место в зоне крепления кольца по внутреннему радиусу r1 и не превосходят 0,002 ГПа, что существенно меньше принятых допустимых напряжений 0,1 ГПа. Условия прочности, при принятых параметрах и температурном возмущении, выполняются.
Зависимости перемещений ur(p) носят линейный характер при использовании тонкой и толстой катушки. Это видно и из (3), (6).
Однако, по величине перемещения термоупругая погрешность масштабного коэффициента (14) существенно разнится: для тонкой катушки u™x = 0,11 мкм;
UT* = 0,26 мкм; 8 = 0,0007%; для толстой катушки ы^ = 1,37 мкм; = 1,47 мкм; 5 = 0,005%.
В целом исследования математической модели (1)—(14) идеализированной системы "катушка — волоконная бухта" показали, что для уменьшения термоупругой погрешности масштабного коэффициента целесообразно применение тонких кольцевых катушек с уменьшенным наружным радиусом волоконной бухты.
ur, мкм 1,5
s„ s0 ar, ae, ГП
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.