ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2010, том 48, № 5, с. 749-756
УДК 536.423.5.541.5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРОНТОВЫХ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ СКОРОСТИ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА © 2010 г. О. Ф. Шленский, Н. Б. Щербак, Н. Н. Лясникова
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва Поступила в редакцию 21.04.2009 г.
Предложено использовать уравнение теплопроводности гиперболического типа для математического моделирования фронтовых процессов горения энергоемких конденсированных систем (КС). В аналитической форме установлена связь скорости распространения тепловой волны со скоростью движения фронта, тепловым эффектом реакции терморазложения и величиной подводимого к поверхности теплового потока. Получены численные решения уравнения теплопроводности гиперболического типа для неустановившегося режима воспламенения энергоемких материалов. Рассмотрено соответствие расчетных зависимостей и экспериментальных данных по горению энергоемких соединений.
ВВЕДЕНИЕ
Экспериментальные исследования показали, что наряду с режимами медленного горения энергоемких КС со скоростями движения фронта горения в несколько миллиметров в секунду существуют высокоскоростные режимы горения со скоростями 1—2 км/с. При этом температура во фронте горения невелика (300—500°С) и горение не сопровождается существенным ростом давления, т.е. горение не переходит в детонацию. Существование таких режимов соответствует диффузионной (по теплу) области горения КС [1—3].
При математическом моделировании процессов горения КС в систему уравнений, описывающих движение фронта горения, включают уравнения тепло- и массопереноса [1]. Их совместное решение позволяет установить связь скорости и0 распространения фронта горения и тепловой волны нелетучих КС с их теплофизическими характеристиками:
Щ =-2-. (1)
0 рс(Т - ТО) ±р/0
Здесь q — тепловой поток, подводимый к поверхности полупространства; р — плотность; с — средняя теплоемкость; О — тепловой эффект реакций терморазложения; / — коэффициент степени полноты реакции разложения; Т — температура поверхности; Т0 — начальная температура.
Уравнение (1) представляет собой уравнение теплового баланса, в котором и0 равна скорости тепловой волны иТ0. Знак "+" соответствует эндотермическим, знак "—" — экзотермическим реакциям разложения.
Расчеты и0 не вызывают особенных затруднений, если все превращения во фронте горения протекают с поглощением тепла. Но в том случае, когда температура Т0 велика или реакции терморазложения протекают с большим тепловыделением, разность чисел в знаменателе может оказаться незначительной или стремиться к нулю. В таком случае значение и0 превышает величину скорости распространения тепла в КС или неограниченно возрастает, что лишено физического смысла.
Цель данной работы — устранение несоответствия результата расчета скорости движения фронта физическим представлениям и установление связи скорости тепловой волны со скоростью распространения тепла (СРТ) на основании уравнения теплопроводности гиперболического типа.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим возможность использования при математическом моделировании теплового процесса движения фронта разложения гиперболического уравнения теплопроводности [4, 5]:
дТ . 1 д2Т л д2Т , Р/тг. ср— + —2—2 = К—2 + Ь (Т).
дг Ж2 дг2 ду2
(2)
Здесь X — теплопроводность; Ш(Т) = — функция тепловыделения, которую обычно представляют с использованием уравнения Аррениу-са; м>т — скорость реакции тепловыделения; Ж — скорость распространения тепла (скорость потока фононов). С целью упрощения перекрестные производные функции Ш(Т) не учитываются. Уравне-
ние (2) записано в неподвижной системе координат с координатной осью у.
При установившейся скорости движения тепловой волны иТ частные производные можно заменить полными в системе координат, движущейся вместе с фронтом. В этой системе координат с координатной осью х, как показано в [5], получаем уравнение, описывающее изменение температуры во фронте:
йТ , 2 X й (йТ\
иТС р--+ иТ-2- - =
йх Ж йх\йх!
=хА () + дт),
(3)
^д^и + \Fmdx.
(4)
дТ
Величина X—|х=0 представляет собой тепло-
дх
вой поток, подводимый к поверхности при х = 0. Интеграл функции тепловыделения связан со скоростью движения тепловой волны в соответствии с уравнением сохранения энергии реагирующего вещества в этой волне:
]>( Т) йх = р/Оит.
Подставляя это значение в уравнение (4) получаем уравнение, из которого далее можно определить скорость тепловой волны ит:
Ж2
иТ - q = 0,
(5)
иТ =
Ж
2q
{-Ое + л/Ох + 4q7 Ж2),
Величину Qъ связывает с тепловым потоком на поверхности соотношение (1), используя которое, получим
^2 ( ' " Л
иТ =
Ж2
2и0
1 + 4
ио -1 Ж2
(6)
У
Согласно (6) при Qъ, не равном нулю, значение ит не достигает скорости распространения тепла и тепловой эффект реакции учитывается только при определении и0. Если расчетное значение и0 достигнет величины Ж, то линейная скорость движения фронта разложения не превысит
иТ =
Ж
(45 -1) = 0.618 ж.
(7)
с граничными условиями: Т = Т при х = 0, Т = Т0 при х = да.
В результате интегрирования уравнения (3) по координате в пределах от х = 0 (на поверхности полупространства) до х = да имеем
2 X дТ
иТф(Т - Т0) + иТ—~2 — \х =0 =
Ж дх
где = ср(Т — Т0) — /рО. Отсюда следует, что только в частном случае при бесконечно большом ^уравнение (5) тождественно уравнению (1).
Решением квадратного уравнения (5) относительно иТ является
где перед знаком радикала удержан знак "+", так как отрицательная скорость иТ не имеет физического смысла. Отметим, что при = 0, как и следовало ожидать, скорость тепловой волны ит = Ж.
Очевидно, что при увеличении начальной температуры КС или с уменьшением коэффициента /в случае ^ 0 и0 ^ да, иТ ^ Ж. Таким образом, указанные выше противоречия снимаются, так
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Сопоставим полученный результат с экспериментальными данными по горению бихромата аммония [3]. В указанной работе с высокой степенью точности проведены измерения скорости распространения тепловой волны датчиками температуры. Твердофазная реакция разложения этого вещества идет с выделением тепла
(N^2^02 ^ СГ2О2 + N2 + 4Н2О + О, где О = 1182 кДж/кг.
При термическом инициировании образцов бихромата аммония скорость горения не превышает нескольких миллиметров в секунду. При этом наблюдается сильное диспергирование вещества, выброс частиц неразложившегося вещества и сильное вспенивание, что снижает значение /О, входящее в и количество тепла, выделившегося в результате экзотермической реакции, меньше тепла, затрачиваемого на нагрев вещества от Т0 до Т (/~ 0.1) по данным работы [3].
Если предпринять меры для снижения диспергирования, тепловой эффект реакции будет более полным и при этом знаменатель в уравнении (1) приблизится к нулю, что дает неограниченное увеличение скорости движения фронта. Был поставлен эксперимент, в котором диспергирование предотвращали созданием ударной нагрузки [3]. В таком опыте скорость движения фронта тепловой волны и резко возрастала и составляла 1.3 ± ± 0.2 км/с. Если принять скорость распространения тепла в бихромате аммония равной скорости звука и приблизительно равной скорости распространения импульса напряжения сжатия (2.2 ± 0.2 км/с), измеренной в той же работе пьезодачтиками, то соотношение этих скоростей составит иТ = 0.591 Ж, что удовлетворительно соответствует установлен-
как иТФ да.
от
0
0
ному значению иТ = 0.618 Ж при точности опытных данных 9—15%.
Повышение температуры бихромата аммония во фронте тепловой волны не превысило в опытах 300°С, что исключает возникновение детонации.
Скорость иТ связана со скоростью реакции
2
терморазложения: = —Т, где а — температуро-
а
проводность [1]. При ит = 1.3 км/с и а = 10-3 см2/с значение составит 1.68 х 1013 1/с. Такое высокое значение скорости реакции соответствует пренебрежимо малым значениям энергии активации Е процесса терморазложения [3], что может быть учтено, например, модифицированным уравнением Аррениуса
мт = ¿оехр(-£(1 - (Т/Т/ХЛТУ1),
где к0, п — параметры; т1 — температура достижимого перегрева (для бихромата аммония т1 = = 573 К).
Уменьшение энергии активации в значительной степени связано с деформацией зародышей при ударе и с уменьшением работы образования гомогенных зародышей в результате химической реакции с выделением тепла вблизи температуры достижимого перегрева Т1 , благодаря чему частота нуклеации возрастает.
Переход от режима медленного горения к режиму высокотемпературного движения фронта реакции отмечался в опытах с гремучей ртутью [3]. При повышении начальной температуры от 170 до 380°С скорость горения возрастает от 0.66 м/с (при давлении 175 мм рт. ст.) до 1.235 км/с. Это соответствует скорости реакции терморазложения = 1.52 х 1013 1/с. Такие же высокие скорости реакции характерны для горения азидов (времена вспышки частиц размером около 0.1 мм — 10-7 с).
Учет конечной скорости распространения тепла позволяет дать объяснение специфике медленного горения летучих энергоемких соединений при температуре, не превышающей температуру кипения, в частности, тротила и нитроглицерина (НГЦ) [1, 3]. Для летучих веществ характерным является возможность движения двух волн: тепловой волны, связанной с экзотермическими реакциями разложения, и волны горения, обусловленной испарением и фазовым переходом (при температуре кипения на поверхности), — волны убыли массы. Скорость движения тепловой волны определяется уравнением
йСт п
ит 0—т - мт = 0. йх
Здесь ст — концентрация химически реагирующего вещества, разложение которого идет в объеме с выделением тепла; — скорость ее измене-
ния во времени, = йст без учета фазового пре-
йг
вращения.
Отсюда скорость движения тепловой волны
ит о(1 - с„) = ^А>тйх,
где сп — концентрация реагирующего вещества на поверхности.
Линейная скорость движения фронта горения летучих КС за счет убыли массы дополняется скоростью испарения и(п> с поверхности выкипания и объемного испарения вещества в готовые зародыши газовой фазы, образовавшиеся в результате реакции раз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.