ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 1, с. 62-73
УДК 66.098
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ РЕАКТОРА ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ГИДРОЛИЗА ЛАКТОЗЫ ЛАКТАЗОЙ
© 2009 г. О. А. Олафадехан, Д. С. Арабике, А. М. Адеено
Университет г. Лагос, Нигерия
olafadehan@yahoo.com Поступила в редакцию 01.01.2007 г.
Предложена математическая модель процесса гидролиза лактозы с использованием иммобилизованного фермента в трубчатом реакторе. Модель учитывает продольное и радиальное перемешивание реагентов, химическую реакцию и внешнедиффузионное сопротивление переносу массы, но не учитывает внутридиффузионное сопротивление. Проведено упрощение полной модели до модели идеального вытеснения для гидролиза лактозы лактазой в неподвижном слое. Полученные уравнения модели идеального вытеснения решены методом Рунге-Кутта-Гилла с использованием различных видов кинетики процесса гидролиза лактозы. Адекватность модели проверяли по экспериментальным данным, полученным на лабораторной насадочной колонне, в которой бета-галактозидаза Kluyveromyces fragШs была иммобилизована на сферических гранулах хитозана. Сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными по степени конверсии на выходе из реактора показало, что модель идеального вытеснения, включающая кинетику Михаэлиса-Ментена с ингибиро-ванием конкурирующего продукта (галактозы), пригодна для интерпретации экспериментальных данных и моделирования процесса гидролиза лактозы в неподвижном слое, когда сопротивление переносу массы снижается в 34.5 раза.
ВВЕДЕНИЕ
Ферментативный гидролиз лактозы является важным биотехнологическим процессом в пищевой промышленности. Гидролиз лактозы может быть выполнен с использованием иммобилизованного фермента благодаря его стабильности в широких диапазонах pH и температуры, возможности быстро остановить реакцию путем удаления фермента из реакционного раствора, низкой стоимости, легкости разделения, высокой чистоты и возможности повторного использования. Гидролиз лактозы с использованием свободного фермента не используется, поскольку этот процесс более дорогой, а конечные продукты могут быть загрязнены инородным протеином. Кроме того, иммобилизованный фермент может использоваться в течение более длинного периода времени, чем раствор фермента, что определяет его использование в непрерывных процессах.
Коммерческие ферменты, используемые для гидролиза лактозы - это бета-галактозидазы разного происхождения [1-3]. Было проведено много исследований с бета-галактозидазами, полученными из Escherichia coli, хотя их использование непригодно для продуктов, предназначенных для потребления человеком [4-8]. Дрожжи и грибковые ферменты представляют наибольший коммерческий интерес, поскольку они удовлетворяют спецификациям, рекомендованным для пищевых ферментов. Дрож-
жевые ферменты типа Kluyveromyces fragilis и Kluyveromyces lactis обычно используются для продуктов с нейтральными значениями pH [9], например молока и сладкой сыворотки. Грибковые ферменты типа Aspergillus Нигера и Aspergillus oryzae обычно используются для гидролиза лактозы из продуктов с кислотными значениями pH, например сыворотки.
Тип реактора, используемый почти исключительно в коммерческих применениях для гидролиза лактозы - это реактор со слоем насадки, поскольку он легко автоматизируется, имеет высокую эффективность, улучшает конверсию субстрата и требует небольшого текущего технического обслуживания. Кроме того, он удобнее, чем проточный реактор с мешалкой, особенно при ингибировании конкурирующего продукта [10].
Большое количество публикаций по насадоч-ным реакторам с иммобилизованным ферментом описывают различные математические модели, которые учитывают уравнения массопереноса в соответствии с рабочими условиями, такими как гидродинамические условия, внешне-и/или внутри-диффузионное сопротивление переносу массы и кинетика реакции. Эти модели используют только простое уравнение Михаэлиса-Ментена без учета ингибирования продуктов в кинетике реакции [11], без сравнительного анализа с другими механизмами реакции.
Цель настоящей работы - разработка полной математической модели процесса гидролиза лактозы лактазой в реакторе с неподвижным слоем катализатора и необходимого численного метода решения, которое позволит проводить анализ процесса в условиях идеального вытеснения.
кинетика Михаэлиса-Ментена с ингибирова-нием конкурирующего продукта:
(-г,) =
V
(6)
+ с,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В работе [12] было получено уравнение неразрывности для изотермической реакции, проходящей в реакторе с неподвижным слоем, который содержит иммобилизованный фермент:
дс дг
+ в
= в
д2С дС
—и> -с+
'д2с
дг
дг
1 дс
г дг
(1)
- (-г,).
При этом были сделаны следующие допущения:
- продольная и радиальная диффузия выражаются законом Фика;
- активность фермента равномерна в частице и однородна по реактору (т.е. термическое денатурирование фермента незначительно);
- трубка реактора имеет достаточно частиц в единице объема для адекватного представления континуума;
- используются очень мелкие частицы, чтобы исключить внутреннюю диффузию;
- способ иммобилизации лучше всего представляется физической адсорбцией на носителе.
Обычно радиальным перемешиванием можно пренебречь по сравнению с осевым, когда отношение диаметра колонны к ее длине очень мало (как в настоящей работе). Поэтому для изотермического реактора с насадкой, работающего в стационарном режиме и условиях идеального вытеснения, в котором продольное и радиальное перемешивание незначительно, уравнение (1) преобразуется к виду
дС,
и, ^ + (-г,) = О
(2)
со следующим начальным условием:
С, =С,0 аг г = 0.
Скорости реакции, учитывающие различные виды кинетики гидролиза лактозы, имеют следующий вид:
нулевой порядок: (-г,) = к0, (3)
первый порядок: (-г,) = к1С,ь (4)
кинетика Михаэлиса-Ментена
без ингибирования: (-г,) =
У шах С,1 (5)
*М + С,1
Такой вид кинетики Михаэлиса-Ментена с инги-бированием конкурирующего продукта (галактозы) дан в работе [13]. Однако концентрация продукта СР стехиометрически связана с концентрацией субстрата С, и изменяется с продольным расстоянием в реакторе, т.е. СР = С3о - С,. Потребление субстрата на поверхности раздела должно компенсироваться переносом из объема жидкости. Предполагается, что никакие эффекты распределения не существуют [14], поскольку субстрат не имеет результирующего заряда, чтобы модифицировать распределение между жидкостью и твердым телом на поверхности раздела. Следовательно, мы имеем
М = кЬа(СБ - С3)
(7)
где кь - коэффициент массопереноса, а = 6(1 - еь)/ёР площадь поверхности частиц на единицу объема насадки.
Комбинируя независимо уравнения (3)-(6) с (7), получаем
для кинетики нулевого порядка у = 1 -
ко
кьаС,
, (8)
для кинетики первого порядка у
кга
к1 + кьа
, (9)
для кинетики Михаэлиса-Ментена без ингибирования
У
с, - ф - Км + 7оФ+*м-С7+4*мС,
2 С,
(10)
для кинетики Михаэлиса-Ментена с ингибиро-ванием конкурирующего продукта
У =
а1 С, - а2 + аС"1 (11)
2 С,
где
С '
I Vшах I »
У = Т^' ф = 1—, ф = 1—,
С, кга кга
а1 = * + 1' а2 = Ф' + Км (К + 1],
С
аз = *м1К°+1|' а4 =
К
М
К,
Подставляя уравнение (7) в (2), имеем дCs + кф (= 0.
где 81 = кф^и: - модифицированное число Стэнто-на, безразмерный коэффициент массопереноса. Следовательно, основное уравнение (13) для модели идеального вытеснения, которое учитывает сопротивление массопереносу, должно быть решено с Выбирается набор безразмерных переменных, уравнениями (8)-(11) независимо для каждого типа
дг
и
(12)
которые имеют значения, лежащие между 0 и 1. Эти переменные определяются как
с5 = с и 2 = г.
с
Бв
При замене переменных в уравнении (12), имеем ¿С*
йХ
+ 81 Сб (1- у) = 0.
(13)
кинетики, чтобы рассмотреть изменение у. Полученные уравнения имеют следующий вид:
йСБ
для кинетики нулевого порядка —--+ Ф1 = 0, (14)
йх
йСБ -
длякинетики первого порядка —— + Ф2Сб = 0, (15)
для кинетики Михаэлиса-Ментена без ингиби-рования
йСБ йХ
+ 81
ч 2
CsвCs + ф + Км - ^(ф + Км - Сб) + 4КмС8оС,
2 С
Sв
= 0,
(16)
для кинетики Михаэлиса-Ментена с ингибированием конкурирующего продукта
йСБ йХ
+ 81
CsвCs(2 - а) + «2^(«2 - «1 CsвC) +4Сб^Саз - а4Сб^С)
2С
Sв
= 0,
(17)
81^ 81к где Ф1 = -—Ф2 = 1
kLaCSв
к 1 + кф
для кинетики нулевого порядка
йСБ
йХ
+ Фз = 0,
(18)
йСБ
С+_ФС_ = 0
йХ Ф6 + Сб
(20)
для кинетики Михаэлиса-Ментена с ингибированием конкурирующего продукта
С + Ф7 Сб = 0 йХ ф8 + ф9 сБ
(21)
где
Ф=
и С в,
Ф4 =
Lk1
и;
_ Lv тах
Ф5 = иТс~'
и fCSв
Для случая, когда пренебрегают внешнедиффу-зионным сопротивлением переносу массы, уравнение модели идеального вытеснения для каждого типа кинетики, имеет следующий вид:
К
Фб = ^; Ф7 =
L V т
с
Sв
и с б:
Ф8 = Км
— + — CSв К
Ф9 = 1 -
К
м
к/
для кинетики первого порядка —— + Ф4 С б = 0, (19)
для кинетики Михаэлиса-Ментена без ингиби-рования
Поэтому концентрации субстрата и продукта Ср = СЛ - СБ) = СБаХБ изменяются с продольным расстоянием в реакторе для модели идеального вытеснения согласно кинетическим уравнениям. Следовательно, численные решения для уравнений (14)-(21) ищутся независимо при начальном условии: СБ = 1 при Х = 0. Математическая модель для условий идеального вытеснения - это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть проинтегрировано с большим или меньшим трудом в зависимости от кинетики рассматриваемой реакции. Однако уравнения (14)-(21) интегрируют численно модифицированным методом Рунге-Кутта четвертого порядка, известным как метод Рунге-Кутта-Гилла. Этот метод обладает высокой точностью и понижает потребность в памяти по сравнению с предыдущим методом. Его алгоритм дается ниже [15]:
Таблица 1. Физические параметры системы в зависимости от и^ при разных начальных концентрациях субстрата
и^ см/с кь, см/с С,0 = 0.073 моль/дм3, р^, = 1.025 г/см3 С,0 = 0.146 моль/дм3, Рь, = 1.05 г/см3 С,0 = 0.219 моль/дм3, р1г, = 1.075 г/см3 С,0 = 0.292 моль/дм3, р^ = 1.10 г/см3
Яе Бс Яе Бс Яе Бс Яе Бс
0.034 0.0396
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.