ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2009, том 43, № 4, с. 371-378
УДК 53.072:621.315.592
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ СЕГРЕГАЦИИ ПРИМЕСИ В КРИСТАЛЛАХ, ВЫРАЩИВАЕМЫХ В УСЛОВИЯХ ЛАМИНАРНОЙ КОНВЕКЦИИ
© 2009 г. Н. А. Балдина, Б. В. Васекин, В. А. Гончаров
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
goach_va@mail.ru Поступила в редакцию 14.08.2008 г.; после доработки 29.01.2009 г.
Построена математическая модель процесса выращивания полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена. При моделировании известного космического эксперимента исследован характер конвективных течений и их влияние на продольное и поперечное распределение примеси в процессе роста кристалла. В результате численных расчетов показана возможность образования большой поперечной неоднородности распределения примеси, наблюдавшейся в ряде космических экспериментов.
ВВЕДЕНИЕ
Получение кристаллов полупроводников, однородных по электрофизическим свойствам, является важной технологической задачей. Неоднородность электрофизических свойств кристалла чаще всего определяется неоднородностью распределения легирующей добавки, как в направлении выращивания (продольные неоднородности), так и в поперечном направлении (радиальные, или поперечные неоднородности).
Для теоретического представления о величине продольной сегрегации примеси пользуются моделью Бартона-Прима-Слихтера (БПС) или моделью Пфанна для направленной кристаллизации в конечном объеме [1, 2]. Модель БПС сегрегации примеси основана на приближении неподвижного диффузионного слоя: считается, что внутри него примесь распределяется только посредством механизма диффузии, тогда как вне этого слоя посредством интенсивной конвекции происходит полное перемешивание расплава. Продольное распределение примеси в этом случае описывается убывающей экспоненциальной функцией внутри пограничного слоя и является постоянным в расплаве вне пограничного слоя. На основе модели БПС можно получить выражение для эффективного коэффициента сегрегации, который связывает концентрации примеси в кристалле и в расплаве:
* С
* = С =
1
1 + [ 1/ *0 — 1 ] ехр (-и ЬВЮ )'
Модель Пфанна позволяет получить распределение концентрации примеси С3 = С5(1) вдоль оси кристалла конечного объема:
см = С (1 - I)
* - 1
где параметр I означает кристаллизовавшуюся часть всего объема расплава. Применение модели Пфанна не требует громоздких вычислений, и она хорошо зарекомендовала себя на практике.
Для описания поперечного распределения примеси требуется знать реальную картину объемных конвективных течений вблизи фронта кристаллизации, поскольку основной причиной образования поперечных неоднородностей является влияние конвективной ячейки на диффузионный слой. Скорости конвективных течений здесь значительно ниже, чем в центре области, но именно под влиянием конвекции формируется неравномерный профиль поперечного распределения примеси у фронта кристаллизации. Модели БПС и Пфанна являются одномерными и предназначены только для определения продольного распределения примеси в кристалле. Для исследования поперечной сегрегации примеси в выращиваемом кристалле необходимо решение двумерных и трехмерных задач, учитывающих взаимодействие конвективной ячейки и диффузии в пограничных слоях, а также перемещение фронта кристаллизации. Это приводит к необходимости численно решать нестационарную задачу Стефана совместно с полной системой уравнений Навье-Стокса в расплаве, расположив несколько слоев сетки в диффузионном пограничном слое [3].
В работе [4] авторами была разработана численная схема решения уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Благодаря специальному расщеплению и так называемым разнесенным сеткам численная схема сочетает удачные стороны двух основных способов расчета конвекции - в переменных скорость-давление и в переменных вихрь-функция тока. Задача решается в естественных переменных скорость-давление, однако на центральном этапе расщепления вместо уравнения
Пуассона с условиями Неймана решается уравнение Пуассона с условиями Дирихле для разностного аналога функции тока, что требует меньше вычислительных затрат на шаге по времени. Кроме того, консервативность численной схемы позволяет получать точное решение задачи на сравнительно небольшом числе узлов.
В работе [5] автор разработал метод решения нестационарной двухфазной задачи Стефана для моделирования процесса направленной кристаллизации. В расплаве применяется численная схема [4], в кристалле решается уравнение теплопроводности, на фронте кристаллизации ставятся известные условия Стефана. Достоинством метода является одновременное вычисление изменения теплового поля и скорости роста кристалла на каждом временном слое, что позволяет точно определить скорость выращивания и форму фронта кристаллизации.
Разработанные численные методы применяются в настоящей работе для моделирования условий известного космического эксперимента по кристаллизации германия, легированного кремнием и сурьмой [6], в котором в расплаве имела место слабая ламинарная конвекция. Наблюдавшаяся в данном эксперименте поперечная неоднородность распределения кремния и сурьмы была неожиданно велика (содержание 81 на противоположных краях сечения отличалось в 7 раз, 8Ь - в 3 раза) и значительно превосходила величину неоднородности в контрольных наземных образцах, которая составляла не более 10 процентов. Следует отметить, что аналогичные результаты были получены также в экспериментах [7-9] и др. Поскольку предполагалось, что влияние конвекции в космосе будет пренебрежимо мало и распределение примесей окажется однородным, то неожиданные результаты перечисленных экспериментов стали предметом постоянного анализа в теоретических исследованиях и компьютерном моделировании [10-14]. Тем не менее, до настоящего времени не удавалось подтвердить возможность возникновения столь большой величины поперечной неоднородности распределения примеси при слабой ламинарной конвекции. В связи с этим возникла необходимость формулировки уточненной физико-математической модели для описания течений и процессов роста в сложных условиях.
Так, при моделировании эксперимента [6] в работе [15] распределение примеси определялось численным решением уравнения диффузии, в котором для конвективных скоростей использовались аналитические выражения для случая полубесконечной области. Количественного совпадения расчетов с результатами эксперимента не было достигнуто -расчетная величина поперечной неоднородности не превосходила 40%. Авторы указали, что распределение примеси определяется многими факторами, и для получения количественного совпадения необхо-
димы более подробные параметрические расчеты, в том числе при различных значениях скорости роста.
Авторы эксперимента [6] в своих теоретических работах [16, 17] также не получили количественного подтверждения возможности образования столь большой поперечной неоднородности распределения примеси. В их работах было отмечено, что для количественного описания процессов оттеснения примеси растущим кристаллом и ее распределения вблизи фронта кристаллизации необходимо решение нестационарной задачи Стефана при расположении нескольких слоев сетки в диффузионном пограничном слое.
Подход к моделированию условий космического эксперимента [6], который применяется в настоящей работе, избегает серьезных упрощений при переходе от постановки физико-математической модели к реализации вычислительных алгоритмов и учитывает данные в работах [15-17] рекомендации -решение полной нестационарной задачи Стефана, расположив достаточное количество слоев сетки в диффузионном пограничном слое и анализ влияния скорости выращивания. При моделировании космического эксперимента в данной работе рассчитываются поля конвективных течений, исследуется их влияние на диффузионный пограничный слой. Величина продольной сегрегации примеси, полученная в результате численных расчетов, сопоставляется с рассчитанной согласно модели Пфанна. Подробно исследуется неоднородность распределения примеси в поперечном сечении кристалла. Анализируется влияние различных скоростей выращивания на величину максимальной поперечной сегрегации примеси. Результаты расчетов сопоставляются с экспериментальными данными.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На космическом аппарате "Аро11о-Союз" были проведены эксперименты МА-150 [6] и МА-060 [7] по выращиванию легированных кристаллов германия методом Бриджмена. В эксперименте МА-150 кристаллы выращивались из расплава, легированного 1 ат. % 81 и 0.001 ат. % 8Ь, средняя величина микроускорения составляла ~ 4.5 х 103 g0.
Рассмотрим кристаллизацию системы ве(8Ь) методом Бриджмена в условиях, близких к эксперименту МА-150. Моделирование процесса кристаллизации основано на решении нелинейной системы уравнений гидродинамики и нестационарной двухфазной задачи Стефана. Все приведенные ниже уравнения записаны в безразмерном виде в ортогональных координатах (г, ¿) в соответствии с данными табл. 1 и 2. Заметим, что величина остаточного микроускорения содержится в выражении для характерной скорости V = ТрдТц^Е и определяет значения безразмерных чисел подобия Рейнольдса Ие, Пекле Ре и Стефана 81.
Для определения скоростей конвективного движения и распределения тепла в расплаве (рис. 1) решаем уравнения движения Навье-Стокса в приближении Буссинеска
дУ 1 гу2>
тт- + (у • V)V = - Ур + Тег + —V V, д г и 1 Ие
уравнение теплопроводности
дТ + V • УТ = . .. 1 . й[\2тайТ д г Ие • Рг
и уравнение неразрывности
йы V = 0.
(1)
(2)
(3)
дТ 1
= —агуегааТ. дг Ре
(4)
Т = 0,
^ дТ
XЬ д п
дТ дп
+ 81 • vg.
(5)
Срр0Х5 д-
дп
д Т
а 8 йт = срр0хг -т— ру ь д п
а 8 ат + б,
кр.>
Таблица 1. Физико-химические параметры системы Се (8Ъ) при температуре плавления германия ТПл = 1214 К
Сущность приближения Буссинеска состоит в том, что плотность считается переменной и зависящей от температуры только в массовой силе уравнения движения (1), а для прочих слагаемых уравнения (1) и для остальных уравнений плотность принимается постоянной. Приближение является общепринятым для расплавов полупроводников
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.