ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 2, с. 214-221
УДК 517.958; 66.021.1:532.5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ ДВУХФАЗНЫХ СМЕСЕЙ В ЦЕНТРОБЕЖНОМ СГУСТИТЕЛЕ
© 2014 г. Ф. Г. Ахмадиев, |Н. Н. Зиннатуллин
Казанский государственный архитектурно-строительный университет Поступила в редакцию 31.03.2013 г.
Изучена гидродинамическая обстановка в центробежном сгустителе, представляющим собой цилиндрическую трубу, разделенную продольными перегородками на определенное количество секторов. Для описания процесса разделения двухфазной смеси использованы уравнения механики гетерогенных сред, которые записаны в цилиндрической системе координат с учетом особенностей течения. Задача решается полуаналитически. Проведены численные расчеты по построенной математической модели процесса разделения.
Б01: 10.7868/8004035711402002Х
ВВЕДЕНИЕ
Процессы разделения гетерогенных систем составляют основу многих технологических процессов. Для их разделения применяются различные сепараторы, отстойники, фильтры, центрифуги, в частности, центробежный сгуститель [1]. Гидродинамическая обстановка в аппарате определяет основные закономерности процессов разделения, и ее изучение является основой при построении методов его расчета.
Целью настоящей работы является математическое моделирование процесса разделения двухфазных сред в центробежном сгустителе и в подобных аппаратах.
Рабочая среда в процессах разделения представляет собой гетерогенные смеси, и для описания их гидродинамики можно успешно использовать методы механики многофазных сред. Например, в работах [2—4] уравнения механики многофазных сред использованы для расчета процессов разделения двухфазных систем в конкретных аппаратах.
Уравнения сохранения двухфазных сред в областях произвольной формы в безразмерном виде в специальной системе координат х, связанной с областью течения, в безразмерном виде могут быть записаны в виде [5]
1
VI ?Р± +_
¡1 дt Н1И2И3
Уа д (рН 2 НзУХ1)
¡1
дх1
+ V, д (нНзУх2) + Уз д(НН2Ухз)"
¡2 дх2 ¡3 дх3
I = 1,2,
= 0,
(1)
(Яе1 е 2] )р
1х,
'-2]
(.а д!-
V н]дх]J
(е 21 )2 1 д (Н]Н2Н3))
е ]1 Н]Н1Н2Н3
дх1
]2
_1_д (Н]НН3)
Н]НН2Н3 дх2
2 , ( ТТ ТТ ТТ \ _]3
1
1
д (Н]Н1Н2 )
е 1 Н ]Н1Н2Н3
дх3
Ы!V^^ + ^ р^х - /12х, е ]1 ¿1 Н]Нкдх] Бг/1 х Л2]
(Яе2 82])р2
'-2]
Ун У
21
.01 д! V Н]дх]J
+ Р2^2х, + У .^х,^
Бг2
V,
21
Р£р1 (У^гаё01) = —1
1
Реб 21НН2Н3
(2)
(3)
Ы2_д_Г НН Х1+ НН ^ 301 (4)
5х1 ^ Н1 5х1) дх2 ^ Н2 дх2)
+ (в 23 )2М НН д01
дх3 ^ Н3 дх3
р2Ср2 ((ёгаё02 )=реец нНН
( \2 д (е 21) — х дх1
Н 2Н
2Нх2 д02 ) + А_{ НН х2
Н1 дх1) дх2 ^ Н2 дх2 , ] = 1,3,
д02 1+ (5)
+ (В23^ Н^X2 д02
дх3 ^ Н3 дх3
Рис. 1. Принципиальная схема центробежного сгустителя.
к1 Т1
~ * к1 2^1 ,
(6)
а1 + а 2 = 1.
Решение уравнений (1)—(6) при описании различных технологических процессов вызывает большие трудности. В конкретных случаях за счет специального выбора ортогональной криволинейной системы координат, связанной с областью течения, движение двухфазной среды можно свести "близким" к простейшим, что позволяет рассчитывать единым подходом целый класс гидродинамических процессов химической технологии. При этом в уравнениях (1)—(6) некоторые безразмерные параметры бк;-, Яе;-, Бг, Ре оказываются малыми (большими), что свойственно для широкого класса течений. Это позволяет существенно упростить систему уравнений (1)—(6) после оценки порядка членов соответствующих уравнений и использовать их для расчета ряда гидродинамических процессов, например, [2, 3, 6, 7].
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ В ОТСЕКЕ ЦЕНТРИФУГИ
Рассматривается ламинарное установившееся течение двухфазной системы в одном отсеке центробежного сгустителя (центрифуги) непрерывного действия [1], который эффективно может быть использован для разделения двухфазных смесей.
При работе этого аппарата исходная смесь поступает в рабочую часть вращающейся с угловой скоростью ю цилиндрической трубы, разделенной продольными перегородками, и течет вдоль трубы в отсеках между ними (рис. 1, 2).
Под действием центробежных сил дисперсная фаза осаждается к стенке трубы, и у стенки течет слой осадка, средний слой представляет собой неразделенную гетерогенную смесь, в верхнем слое течет осветленная несущая жидкость. На выходе из аппарата на уровне границы раздела осадка и осветленной жидкости устанавливается разделительная коаксиально расположенная цилиндрическая вставка. Разделенная на две части смесь (осадок и осветленная жидкость) выходит из сгустителя через соответствующие камеры.
Наличие продольных перегородок в сгустителе создает плавное ламинарное течение за счет увеличения смоченного периметра и исключает вращательное движение смеси относительно стенок аппарата.
Установка в сгустителе цилиндрической вставки вдоль потока позволяет организовать отбор осадка и осветленной жидкости без нарушения плавного режима течения и повторного смешения разделенных фаз. Все эти факторы особенно важны при разделении высокодисперсных гетерогенных систем и когда разность плотностей фаз системы мала. Таким образом, подобное аппаратурное оформление сгустителя позволяет повысить степень разделения (очистки) гетерогенных сред по сравнению с подобными аппаратами, например, [8].
В области течения разделяемых материалов в одном отсеке (рис. 2) выполняются соотношения е21 = (Я2 - Я1)/Ь < 1, е31 = Л20 0/Ь < 1. Тогда исходная система уравнений, описывающая установившееся течение материалов в одном отсеке аппарата, при Яе;- б21 <§ 1 и ¥щ ~ 0 на основании уравнений (1)—(6) в цилиндрической системе координат х1 = г, х2 = г, х3 = 9 записывается в виде
4- (V )+дт=о'
rdr dz
dz rdr
dV
w' и
dr
r2 sel se
■ Pg =
2 n
—г1 + Р'ю r = 0,
dr
dP
= 0,
r 50
4 (a1rV1r ) + f (afa ) = 0, rdr dz
-a
dP +1 д
dz r dr
И (a 2)
.dVk
dr
, 1 d ( ¡ xdViz) ,, o n
+ 7 дёГ(a 2 ^ J- fi2z + aipogz =0,
dPi j. o 2 A
-ai^r - fi2r + aiPiю r = 0, dr
dPi n
-a, —i = 0, i rS0
4 (a2rV2r ) + f (a2V2z ) = 0, rdr dz
-a 2dPi + fi2z + a 2p 0°gz = 0, dz
dPi , r o 2 A
-a+ fi2r + a2P2® r = 0, dr
(7.1) 0, (7.2)
(7.3)
(7.4) (8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(9.1)
(9.2)
(9.3)
dPi n -a 2—i = 0.
2 r 50
(9.4)
Здесь уравнения (7.1)—(7.4) при i = 10 и i = 20 описывают, соответственно, движение осветленной жидкости и осадка как некоторой жидкости с эффективными параметрами, а уравнения (8.1)—(8.4)
и (9.1)—(9.4) течение смеси; fi2 = f (a2)(Vi - V2);
gz = g sin p (в — угол наклона аппарата к горизонтали). Граничные условия для системы (7.1)— (7.4), (8.1)—(8.4) и (9.1)—(9.4) имеют вид
dV
i0z
dr
= 0,
Pi0 — Ртм
при r — Ri
(i a 2ост )Vi0r — aiVir, Vi0z — Viz, Pi0 — Pi, (
i0 dr ' ^ 2/ dr
aiVir = (i - a20) V20r, Viz = V>0z, Pi = P20,
dVi0z / \5Viz s
= ^ (a2)-riL при r = Si,
Hi (a 2)
И 20 "
dV,
20z
при r = S2;
(10.1)
(10.2)
(10.3)
dr dr
V20r = 0, V20z = Vi (z) = V(z, 0) при r = R2; (10.4)
Vi0z = Viz = V20z = Vi0r = Vr = V,0r = 0
при tí = +■
i0r _ rir
6o
(10.5)
2
где Я2 — радиус аппарата; 51 (z), 82 (z) — соответственно расстояние от оси трубы до свободной поверхности, до границы раздела осветленной жидкости и смеси, и до границы раздела смеси и осадка.
Основная трудность при решении системы уравнений (7)—(9) при граничных условиях (10) заключается в решении уравнений (7.2), (8.2). Из уравнений (7.3)-(7.4), (8.3)-(8.4), (9.3)-(9.4) сле-
др
дует, что перепады давления вдоль аппарата —- не
дz
зависят от г и 0. Причем выражения давления и перепада давления, определенные по этим уравнениям, имеют вид
Pi0 - Ртм + (i a2ост)po®
(r2 - Ri2)
dP
(11)
i0
- (i -a 2ост )poro2RiRi';
dz
Pi = Pатм + (i -«2ост }pl®2
(82 - Ri2) 2 (r2 -82)
рю
dPi = - (i - а 2ост }po®2RiRi' +
dz
+ [(i -а2ост}po -p]w28i8i;
(12)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ
(5? - R?) +
P?0 = Ратм + (1 а ?ост )р1®
pw
(5? -5?)
■ a?oP?w
(? -5?)
2 2
dpo /л - ?!
dz
(13)
= -(1 -а?ост)p1w RR1 +
+ [(1 -а 2ост )р1 -p]®28i8; + (р-а 20Р1 )w28282.
Далее, для решения уравнений (7.2), (8.2) представим их с учетом соотношений (11)—(13) при = const в виде
1 dfJVz
rdrV dr
dpi
.1 dV
r2 dQ2
■Ар,- = 0,
(14)
где Др;- = дз- + \ М, Р1 = «1Р1 + «2Р2, индекс
I означает 10, 1, 20, соответственно для каждой из трех зон. Здесь и в дальнейшем штрих означает производную соответствующих величин по г, также будем считать, что в пределах каждого слоя а,-по г не меняется.
Уравнение (14) представляет собой уравнение Пуассона. Его решение затруднительно вследствие наличия неизвестных границ зон 81 и 82, также различного типа граничных условий на границах области течения при г = Я1 и г = Я2. Поэтому для его решения будем использовать приближенный метод сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям [9].
Решение уравнения (14) реализует экстремум интеграла (функционала)
J =
Я
щ
dr
1 fdVz
56
- ?ApVz
rd6dr, (15)
Vz = £
cos
(?j - 1)Ж)
(16)
j=i
Если для скорости Ук в разложении (16) ограничиться первым приближением, то из (15) следует зависимость
Яо
J =
б« ((ф ? I dr
f ? Л п
V ?б 1 /
ф1
?
■ 4 Ар, — ф1
п
rdr. (17)
Неизвестная функция ф1 (г) выбирается из условия экстремума интеграла /. Тогда соответствующее дифференциальное уравнение, согласно условию Эйлера—Лагранжа, будет
A d (rdk I + r dr\ dr
n
Ф1
Ц - 4Ар^ = 0. (18)
I г п
Это известное уравнение Эйлера, решение которого имеет вид
/ п п \
4Ар;-
Ф1 (r) = ■
п
((/0« -1)
c1r
+ c?r 1 + r
(19)
J
Таким образом, получены зависимости для определения продольной составляющей скорости в каждой зоне
Vz (r, е) = -(-
nIn -(
(20)
лег dpi, X ' dz +P'gz
C1, ¡r
■ c?, r
Постоянные интегрирования с1{ и с2;- определяются по граничным условиям (10).
Далее из уравнений (8.3) и (9.2), (9.3) следует, что
Vr = V?r +а1а? (p« -p«) ®?r// (а?),
V?z = V1z +| -а? д1 + а?P?gz
I/ (а ? )•
(21.1) (21.2)
для которого исходное дифференциальное уравнение (14) является уравнением Эйлера—Лагранжа.
Согласно методу сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, пробные функции выбираются так, чтобы скорость Ук обратилась в нуль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.