МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ И ПОРОУПРУГОСТИ
© Т.Т. Гарипов, М.Ю. Заславский, Л.Х. Пергамент
Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 03-01 -00641)
При разработке нефтяных месторождений процесс фильтрации может привести к возникновению значительных градиентов порового давления. Это может вызывать целый ряд техногенных последствий, в частности, рост сейсмической активности. Если в среде присутствуют разломы, то градиенты порового давления могут привести к возникновению сдвиговых деформаций, инициирующих сползание пород вдоль границы разлома. Кроме того, возникающие локальные напряжения существенным образом влияют на процессы, протекающие в непосредственной близости к скважинам, в частности, на процессы гидроразрыва. В настоящей работе ряд процессов в насыщенных пористых средах, сопровождаемых изменением напряженно-деформированного состояния, рассматриваются в рамках квазистационарной модели Био, причем исследуется как стандартная модель, так и модель с двойной пористостью.
MATHEMATICAL MODELING
OF FILTRATION PROCESSES AND PORO-ELASTICITY
T.T. Garipov, M.Yu. Zaslavsky, A.Kh. Pergament
Keldysh Institute for Applied Mathematics Russia Academy of Science
The filtration processes may lead to the appearance of large gradients of pore pressure. It produces a set of main-caused results partially, the seismic activity may be increased. If there are cracks in the formation the pore pressure gradients may excite the shear strains inducing the slipping down processes along the crack. Besides local stress influences the processes near the wells essentially including the fluid-fracturing phenomenon. In this article the set of processes in the saturated porous media is considered according to the quasi-stationary Biot model if both the standard poro-elasticity problem and double-porosity one being examined.
Введение
В [1,2] было рассмотрено влияние процессов фильтрации на сейсмическую активность на примере Ромашкинского месторождения в Татарстане и месторождения Газли в Азербайджане. Данные наблюдения указывали на то, что при наличии большого числа скважин и при условии больших объемов перекачиваемых флюидов процессы фильтрации могут возбуждать сейсмическую активность. В [3] была сделана попытка описать указанные выше процессы на основе связанной модели Био [4]. Определению параметров для модели Био по данным наблюдения посвящены работы [5,6]. В отличие от [7], где определялась только величина относительного изменения объема и первый инвариант тензора напряжений, в работе [8] вычислены все компоненты, как тензора деформаций, так и тензора напряжений. Несвязанная модель, использованная в [7,8], не учитывает влияние напряженно-деформированного состояния на процесс фильтрации.
Связанная модель Био [4] позволяет рассматривать совместно задачи фильтрации и поро-упругости, однако, представляет собой весьма сложную задачу, особенно в трехмерном случае. Поэтому иногда используется модель, называемая частично связанной [9]. В работе Био [4] сформулирован аналог закона Гуна для пористых насыщенных сред, который связывает тензор напряжений со значениями тензора деформаций насыщенного пористого объема и порового давления. В стандартных коммерческих пакетах, для моделирования эволюции месторождения в процессе добычи, иногда используется непосредственно формула Терцаги [10], куда входит выражение для тензора деформаций скелета. Последнее несколько сомнительно в силу того, что деформации скелета ненаблюдаемы.
В настоящей работе рассмотрены трехмерные задачи в рамках как связанной модели Био, так и несвязанной. В последнем случае, была исследована среда с двойной проницаемостью и с двойной пористостью. Особенностью данного класса задач является геологическая неоднородность среды: среда может состоять из разновозрастных слоев сложной геометрии, резко различающихся по своим свойствам. Таким образом, для изучения процессов фильтрации в насыщенных пористых средах необходимо развитие специальных численных методов. На линиях и поверхностях разрыва коэффициентов необходимо обеспечить непрерывность соответствующих потоков. Это может быть достигнуто как посредством использования сеток, адаптированных к структуре среды, так и с помощью специальных методов аппроксимации функций на прямоугольных сетках. В данном случае используется метод осреднения (averaging) [11-14]. В [11] 1. Babuska предложил использовать метод конечных элементов на регулярных треугольных сетках, не адаптированных к среде, а также базисные функции, имеющие те же особенности, что и точное решение задачи. Те же базисные функции были использованы в работе S. Moskow и других [12], но уже для лебедевских сеток. В работах авторов данной статьи М.Ю. Заславского и А.Х. Пергамент была сформулирована общая концепция разностных методов для уравнений эллиптического типа с разрывными коэффициентами, объединяющая метод опорных операторов и алгоритмы осреднения averaging. Основная идея этой концепции состоит в построении выражения для интеграла энергии. Затем построение разностной схемы осуществляется посредством варьирования соответствующих функционалов. В работе показано, что решение исходной задачи может быть аппроксимировано с некоторой точностью элементом линейной оболочки, натянутой на базисные векторы, отражающие особенность решения: для элементов линейной оболочки на разрыве непрерывны как нормальная к границе составляющая потока, так и касательная составляющая градиента. Выражение для интеграла энергии является точным для элементов указанной выше оболочки. Для произвольных решений полученное выражение аппроксимирует интеграл энергии с некоторой точностью. Методы, используемые в указанных выше задачах, должны учитывать резкое изменение количественных характеристик при переходе от одного слоя к другому.
Как известно, для всех естественных пластов характерна развитая в той или иной степени трещиноватость. С помощью модели с двойной пористостью и двойной проницаемостью возможно описать трещиновато-пористую среду. Поскольку проницаемость в трещинах очень велика, то давление в них устанавливается гораздо быстрее, чем в порах, так что для описания таких процессов можно использовать квазистатическое уравнение. Кроме того, можно предположить, что объем трещин пренебрежимо мал, и, как следствие, можно пренебречь величиной флюидосодержания в трещинах. В результате получается модель, отличающаяся от модели Био для пористых сред дополнительным уравнением.
Механика деформируемых пористых тел
Пусть пористое тело однородно, поры заполнены слабо-сжимаемой жидкостью плотно-
, А.Х. Пергамент
ьтрации и поро-лерном случае. В работе Био [4] зывает тензор на и порового i месторождения м.О], куда входит п: в силу того, что
: й модели Био, ^аемостью и с • ая неоднороден. резко разли-^¿трации в насы-I. На линиях и ^ть соответствую-рос, адаптирован-функций на ig) [11-14]. В треугольных те особенности, ^■боте S. Moskow iMJO. Заславско-Иоов для уравне-опорных опе-^етоит в построе-(■иггвляется по-решение ис-кжтом линейной с атя элементов >щая потока, гется точным е выражение в указанных ■стек при пере-
иной степени Ьмемостью воз-iax очень ве-описания та-ио предположив величиной модели Био
гтью плотно-
Математическое моделирование процессов фильтрации и пороупругости
115
сти р = р0
1 +
Р-Ро
К
, гдер - поровое давление, K¡- коэффициент сжимаемости.
/ )
Под действием внешних сил частицы пористого насыщенного объема совершают перемещения «,•(*). Деформация скелета характеризуется тензором деформации
du¡ | duj Kdxj dx¡ у
. Уравнение равновесия имеет вид —— + g¡ = О, xik - тензор напряжения в
дхк
пористом теле, g¡ - объемная плотность внешних сил.
Согласно [4] работа, совершаемая над насыщенным пористым телом, может быть представлена в виде 8й = + р8/)йК, где и - свободная энергия деформированного тела.
Дальнейшее изложение опирается как на результаты [4], так и на результаты [3].
Здесь интегрирование распространяется на все пористое тело, /- относительное изменение объема жидкости в элементе пористого тела при деформации. Исключая из рассмотрения тепловые эффекты, связанные с деформированием, считаем, что работа идет на изменение упругой энергии системы, то есть 8Я = \bUdV.
Так что, если задаться некоторой функцией £/ = и(е1к, /), то = , р = Щг • Ограде,* оГ
ничиваясь линейной теорией принимаем, что с точностью до членов более высокого порядка малости
(2.1)
Здесь ц,у,а,р - некоторые постоянные, е~еи. Это обобщение на пористые тела известного выражения для свободной энергии [13].
Таким образом, выражение для тензора напряжений имеет вид
^¡к =2це1к +\>е&¡к -Р/5¡к, а для давления
р = а/-Ре.
Подставляя/ выраженное из (2.2) в (2.1), получаем тензор напряжений в виде = -СрЬш.
о
(2.2)
(2.3)
Здесь введены обозначения £ = —,
а
X = v-q3 = v-
Упругие модули деформации пористых тел
Выясним физический смысл феноменологических коэффициентов и их связь с
измеримыми модулями упругости. Так называемое дренажное деформирование происходит при постоянном давлении жидкости в порах. Для этого рассмотрим следующие способы деформирования насыщенных пористых тел с жидкостью. Недренажное деформирование имеет место при постоянной массе жидкости, содержащейся в пористом теле:
В дальнейшем полагаем р0=0. Разлагая произвольную деформацию на сдвиг и всесто-
2
роннее сжатие, получим модуль сжатия для дренажных условий Ка = X + — ц , т.е. модуль объемного сжатия пористого скелета. Одновременно получаем выражение для массы втекшего флюида
М-Мй =р0/ = О>0е.
Здесь М0 - масса флюида в единичном недеформированном объеме.
При недренажном деформировании не происходит перетекания через ограничивающую тело поверхность. Подобно телам с "закрытыми порами", в этом случае не происходит смещения жидких частиц относительно скелета, соответственно/= 0. Тогда модуль объемного сжатия для недренажных условий
+ + = = (3-1)
Преобразуем выражение для энергии из (2.1) к следующему вид
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.