ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 5, с. 514-523
УДК 66.01:532
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ МНОГОФАЗНОЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ ПО ПРОНИЦАЕМОМУ КАНАЛУ
© 2007 г. Р. И. Ибятов, Л. П. Холпанов*, Ф. Г. Ахмадиев, И. Г. Бекбулатов
Казанский государственный архитектурно-строительный университет *Институт проблем химической физики РАН, Москва Я .Ibjatov@ksaba.ru Поступила в редакцию 14.02.2006 г.
Предложена математическая модель движения гетерогенной среды со сложной реологией по криволинейному проницаемому каналу с учетом изменения концентрации взвешенных частиц в потоке и образования слоя осадка на стенках. Получено уравнение для расчетов изменения средней концентрации дисперсной фазы и толщины слоев осадка. Предложен алгоритм этих численных расчетов. Представлены также результаты численных расчетов профиля скорости, давления, концентрации и слоя осадка с учетом начального участка канала.
Течение жидких сред в различных каналах и трубах с проницаемыми стенками широко используют в процессах химической технологии, где функционируют, например, патронные и динамические фильтры, фильтры-сгустители, трубчатые мембранные элементы. Исследованию гидродинамики таких течений посвящено значительное число теоретических и экспериментальных работ. Литературный обзор [1] показывает, что большинство этих работ связаны с изучением течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей по каналам и трубам с проницаемыми стенками. Течение сред со сложной реологией в таких каналах и трубах, с учетом наличия взвешенных частиц, исследовано недостаточно полно.
При течении жидких сред по проницаемым каналам направление и (или) скорость фильтрационного движения на разных стенках могут быть различными. Такие особенности течения будут вызывать деформацию эпюра продольной скорости основного потока, т.е. течение в канале будет несимметричным. Такое же положение наблюдается при течении жидких сред между двумя соос-ными цилиндрами. Симметрия относительно оси цилиндров сохранится, однако поток между двумя стенками будет несимметричным. В связи с этим методы расчета течений гетерогенных сред по проницаемым каналам и трубам отличаются. В работе [1], на основе метода поверхностей равных расходов [2], была построена математическая модель осесимметричного течения гетерогенной среды со сложной реологией по проницаемой трубе постоянного сечения с учетом изменения концентрации взвешенных частиц в потоке и образования слоя осадка на стенке трубы. В данной работе эти результаты развиваются
для течения гетерогенных сред по проницаемым каналам.
Рассмотрим ламинарное и установившееся течения гетерогенной среды с твердой фазой по проницаемым каналам и трубам с кольцевым сечением. Реологическое уравнение состояния неоднородной среды описывает степенная модель Оствальда де Виля. Течение рассматривается в ортогональной системе координат, у которой одна из координатных поверхностей х2 = const совпадает со стенкой канала, а координатные поверхности х1 = = const составляют семейство нормалей к ней. Геометрия задачи представлена на рис. 1. Предположим, что соотношения | V*|/U* ~ h/1 ~ £ - малая
величина, где V * и U * - средние величины скоростей поперечной и продольной соответственно. Тогда, после проведения анализа значимости слагаемых, уравнения сохранения массы и движения
Рис. 1. Схема течения.
дисперсной смеси для случая многофазного течения можно записать в виде [3]:
Э(и2иър,и,) Э(н 1Н3р,У!)
дх1 дх2
р (U:дUi + Z:дU:
р1 ^Н1 д х 1 Н2 дх.
=
Н1 х 1
= 0, / = 1,0; (1)
и V1 дн 1
2 Н1 Н2 х 2 0
н дх +т 1- X р 1 1 + р1р1;
1 = 2
р1
и2г дН 1 н1 н2 х2
«1 дР v
н2дХ2 у р 12'
1 = 2
р1?2;
(2)
(3)
иди . V1дU1 . и,У,дН 1
рг\Н ^ х. н2д х2
0
_ адР + у р +
нхдх1 у 1
1 = 1 1 * 1
н1 н2 х2 ргр1, , = 2,0;
_ (4)
- р
и2
н1
а, дР
н1 н2 х2
^д Р , V Т7 , „ "С
Н2 д!2+ У Р12 + р,р2
= 2, 0,
1=1 1
(5)
где
т1 =
Н2 Н 2 Н зд х2
X
X
НН3 т
Н1 д (и
Н2дх2V Н1
п -1
Н1 д (и
Н 2д х2 V Н1
д( Н2 Н 3р и) д( Н1 H3рV)
иди
х 1
VдU
р\Н 1 д х1 Н2д х2
х 2
UV д Н1 Н1 Н2 х2
дР = о
х 2
= о,
= -± дР + т
Нхдх1 11
(6)
(7)
(8)
где коэффициент консистенции т и средняя плотность среды р являются функциями, зависящими от концентрации взвешенных частиц.
Для решения данной задачи используем метод поверхностей равных расходов [2]. Введем в поле течения поверхности равных расходов (линии или
трубки тока) ук, где к = 1, N, форма которых определяется геометрией сечения канала. Поверхности равных расходов у1 (хх) и yN (хх) совпадают с поверхностями, ограничивающими область течения (рис. 1). Сведем задачу о развитии течения среды к численному определению положений поверхностей равных расходов и скоростей на них.
В отсутствие массообменных процессов изменения расхода сплошной фазы Фк между введенными поверхностями определяются следующим образом:
Ук
фк(х1) = Н1 £1 1
а12ин2 с
2
к = 2, N, (9)
Ук-1
где 2 = Н3(х3к - х3н) - ширина области течения.
Интегральное условие сохранения сплошной фазы для произвольного сечения запишем в виде:
УN
1 а1 и2Н2Сх2 + 1 (а1 IV 2Н1 )УСх1
У1
+
1<«11V 2Н1 )унСх1 =
Рассмотрим случай, когда влияние массовых сил на скорость движения составляющих фаз считается пренебрежительно малым. Тогда можно использовать квазигомогенную модель, что позволяет принять и = и 1 ® иг, V = V1 ® V, (, = 270), и попарно сложить соответствующие уравнения. В результате система уравнений (1)-(5) приобретает вид:
При раскрытии модуля скорости нужно учитывать направления фильтрации жидкости относительно оси х2. Аналогичным образом записывают балансовые соотношения для каждого слоя [ук -1, ук]. После их дифференцирования по х1 не трудно показать, что в отсутствие массообмена имеют место соотношения:
Ф2( х1) = -(а №Н1) у1,
Фк(х1) = 0, к = 3, N - 1,
ФN (х1) = -(а1 |^2Н1 )yN.
Уравнения для поверхностей равного расхода определим из (9). Для этого представим интеграл по одной из формул численного интегрирования и затем продифференцируем полученную разностную формулу по х1. Если использовать формулу трапеции, то уравнения для определения линии тока примут вид:
Ук -1
2Н 1Фк Ук - Ук -1САк , —
Сх1 Сх 1
Сх1'
к = 2, N;(10)
где Ак = (а1 и2Н2 )к - 1 + (а и2Н2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ том 41 < 5 2007
0
х
х
х
х
к
к
Уравнения движения (7) запишем на линиях тока. После выполнения соответствующих преобразований для вычисления скоростей на линиях ук получим следующие уравнения:
р UU k d Uк И1 dx1
_J_dPk _ p UkVкдИ, + Tk И1 dx1 ИjИ2 дx2 ь
(11)
к = 2, N - 1.
Слагаемое Г1 в правой части (11) содержит частные производные по поперечной координате. Для их вычисления сеточные решения представляют в виде разложения в ряд по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям [1, 2]. Граничные условия, а также систему базисных функций записывают после выбора геометрии канала.
Для разрешения системы уравнений (10) и (11) относительно ик, ук, Р' применяют процедуру прогонки [1]. С этой целью данную систему необходимо привести к виду:
d Uk dx1
Vk -1
dP
= U4- + h, к = 2, N -1;
dx1
(12)
dP
ak -г— + bk —— = c
dx 1 dx 1 dx 1
k
к = 2, N. (13)
мой среды с изменением средней концентрации по длине канала. При недостаточном касательном напряжении у стенки происходит фильтрование с образованием осадка. Причем такие разные режимы фильтрования могут быть на отдельных участках одного и того же канала [4]. Задачи течения неоднородной среды с образованием и без образования осадка ниже рассмотрены отдельно.
ФИЛЬТРОВАНИЕ СРЕДЫ БЕЗ ОБРАЗОВАНИЯ ОСАДКА
Построим уравнение изменения концентрации. Примем модель мгновенного перемешивания по толщине слоя и представим концентрацию твердых включений как функцию продольной координаты а2 = а2 (хх). Поскольку из-за фильтрации меняется расход сплошной фазы, для общего расхода среды можно записать:
*1
й (* 1) = й (х 1 н) + |(а! \Угн 1 )У1 dXl +
+
J(«1 |V|ZH 1) ydx1.
Выполнение процедуры прогонки с нахождением явных выражений прогоночных коэффициентов целесообразно выполнить после конкретизации геометрии канала. Отметим, что система (13) достаточна для определения производных ук и
перепада давления Р', поскольку положения поверхностей у1 (хх) и уы (хх) определяют из других соображений. При фильтровании среды без образования осадка они совпадают с поверхностями канала, а когда разделение происходит с образованием слоя загрязнения, их находят с помощью балансовых соотношений объема осадка. Так как система (13) состоит из N - 1 дифференциальных уравнений, одно уравнение освобождается для
определения градиента давления Р'.
В зависимости от режима фильтрования, в частности от величины касательного напряжения на стенке, для замыкания системы (12) и (13) нужны дополнительные уравнения и соответствующие граничные условия. В общем случае при фильтрации сплошной фазы через стенку дисперсные частицы задерживаются в рабочей зоне. В условиях высоких касательных напряжений на стенке, создаваемых течением суспензии, задержанные на поверхности частицы увлекаются потоком. В этом случае происходит фильтрование без образования осадка или сгущение разделяе-
Количество твердой фазы остается неизменным а2 (x1)Q(x1) = const. Продифференцировав два последних соотношения, найдем:
da _ (а11VZH1 )y] + (а1 |V|ZH1) dx1
= а2
>yN
yN
(14)
J
У1
UZH
22
Скорости оттока жидкости У|У1 и У|Удг определяют из одномерных уравнений фильтрации степенной жидкости, которые для каждой пористой стенки записывают отдельно:
дН1Нз утк _ Тп _ К„к дР„к = 0, Утк--
д *2 ' V ткН 2д *2 (15)
к = 1 и N.
Система уравнений (12)-(15) решается при следующих граничных и начальных условиях:
х2 = Ук ± dk: Ртк = Рв;
*2 = Ук: Ртк = Р, и = 0; (16)
Х1 = * 1 н : а2 = а2н, и = ин(*2),
где индекс к принимает значения 1 и N, которые указывают на разные стенки, внутренние поверхности которых совпадают с поверхностями рав-
x
1 н
x
x
1 н
ных расходов У1 и yN. Знаки ± уточняются после выбора геометрии канала и системы координат.
Рассмотрим несколько примеров течения суспензии с переменной концентрации по конкр
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.