ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 4, с. 406-416
УДК 66.011:622.279.5/6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ © 2010 г. О. М. Соковнин, Н. В. Загоскина, С. Н. Загоскин
Вятский государственный университет osokovnin@mail.ru Поступила в редакцию 19.02.2009 г.
Предложена идентификация циклических химико-технологических процессов линейными дифференциальными уравнениями высоких порядков. На основе разработанного подхода выполнена идентификация процесса циклического газлифтного извлечения углеводородов из обводненных скважин нефтегазоконденсатных месторождений. Получены аналитические решения уравнений математической модели, которые обладают устойчивостью и хорошо коррелируют с экспериментальными данными.
ВВЕДЕНИЕ
Для многих химико-технологических процессов характерен циклический режим, при котором одни и те же состояния (параметры) системы возникают через равные промежутки времени. Так как все процессы в природе и технике конечны во времени и большинство из них имеют некую повторяемость, то дальнейшие рассуждения справедливы как для периодических, так и непрерывных процессов (с математической точки зрения можно считать, что величина периода Т последних много больше, чем у первых).
Как правило, реальные химико-технологические системы имеют сложные внутреннюю структуру и физические связи между своими элементами, причем достоверная информация об этих связях и их влиянии на конечный результат зачастую весьма ограничена. В этих условиях математическое моделирование в классическом виде (составление уравнений, описывающих физико-химические процессы в аппарате, их аналитическое или численное решение и нахождение искомых зависимостей между исследуемыми параметрами) сопряжено со значительным риском получения неадекватных практике результатов именно из-за неполноты имеющихся сведений о структуре и физических особенностях процесса.
Корректировка математического описания уже действующего процесса на практике производится введением в уравнения модели поправочных коэффициентов, полученных опытным путем и справедливых в определенном интервале изменения его технологических параметров. Можно утверждать, что таким образом получено большинство из реально используемых на производстве расчетных зависимостей.
Одним из вариантов решения проблемы является использование т.н. сопряженного физического и математического моделирования, когда моделируемый процесс представляется в виде совокупности
элементарных явлений, обладающих иерархией масштабов [1]. При этом особенности каждого из элементарных явлений исследуются на относительно малых физических моделях, и постулируется параметрическое взаимодействие явлений разных масштабов, что позволяет решить задачу масштабного перехода при математическом описании промышленных аппаратов.
В обоих рассмотренных случаях (корректировка математической модели эмпирическими поправочными коэффициентами либо использование сопряженного физического и математического моделирования) используется по сути один и тот же методический прием — установление соответствия модели и реального процесса (системы) на основе его экспериментально измеренных характеристик. При этом, как правило, достаточно точно и достоверно можно определить лишь ряд воздействующих на входе параметров, а также полученные на выходе реакции (отклики) на эти воздействия. Математически это эквивалентно заданию характеризующих процесс внешних воздействующих функций ¥ъ ¥2, ..., ¥п и соответствующих им реакций — функций отклика
/ъ/ъ ■■■ , fm.
Абстрагируясь от природы конкретного химико-технологического процесса, можно говорить о наличии математического закона, ставящего в соответствие ряду входных воздействующих функций определенные функции на выходе (т. н. модель "черного ящика"). Совокупность математических действий, в результате выполнения которых данным функциям приводится в соответствие ряд других функций, принято называть оператором. Это понятие включает в себя все известные операции: дифференцирование, интегрирование, решение уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), описывающих искомую связь функций воздействия и отклика [2]. Использование операторов, как правило, упрощает математическое описание процесса,
повышает точность получаемого решения в исследуемом диапазоне изменения значений входных и выходных параметров. Заметим, что полученные таким образом уравнения связи, в общем, не тождественны уравнениям математической модели процесса в "классическом" смысле, поскольку, как уже говорилось, не учитывают в полной мере физической стороны явлений, происходящих внутри системы (аппарата).
Описанный подход к математическому моделированию требует, помимо знания входных и выходных характеристик процесса, выбора операторов и определения значений входящих в них коэффициентов, т.е. решения задачи идентификации [3]. Если часть этой задачи — определение коэффициентов — более стандартизировано и выполняется по известным алгоритмам, то выбор оператора, т.е. вида уравнений математической модели, является наиболее эвристическим и ответственным этапом при использовании данного подхода.
Целью настоящей работы является разработка метода идентификации циклических химико-технологических процессов, характеризующихся совокупностью функций воздействия и отклика, линейными дифференциальными уравнениями высоких порядков.
ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К СОЗДАНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЦИКЛИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Исходными данными при моделировании циклического процесса математическими операторами служит информация о поведении функций воздействия и отклика за достаточно длительный период времени (по крайней мере, кратно превышающий период самих функций).
На первом этапе экспериментально полученные значения функций воздействия и отклика ..., ¥п и / /2,..., /т аппроксимируются аналитическими выражениями. Учитывая периодический характер этих функций, логически целесообразным является использование для их аппроксимации рядов Фурье, обеспечивающих представление с заданной точностью любой непрерывной кусочно-монотонной на рассматриваемом интервале (периоде Т) функции в виде тригонометрического ряда [4]
ния тригонометрических коэффициентов ряда определяются из выражений [4]
Д?) = ^ (Лк соб кш? + Вк кш),
к = 0
/(?) = ^ (ак соб кю? + Ьк бш кю?).
(1)
(2)
к = 0
Количество к членов ряда Фурье, используемых в представлении исходных функций, определяется требуемой точностью их аппроксимации. Значе-
А0 =— Г^(?)со8и Т *
(3)
Ак = -
Т
|^(?)СОБкшйг, (к> 1),
Вк =
Т Ы, (к > 0). (4)
Аналогичные формулы записываются и для коэффициентов ак, Ьк при разложении в ряды Фурье функций отклика.
Выбор оператора связи между функциями воздействия и отклика циклического процесса основывается на следующих соображениях. Во-первых, он должен быть достаточно простым, удобным для машинного счета, а также позволяющим в определенных случаях получать аналитические решения уравнений математической модели процесса. Во-вторых, предлагаемый оператор должен обладать возможно большей универсальностью, в частности, подобно рядам Фурье, повышающим точность аппроксимации функций при увеличении числа членов ряда, иметь возможность увеличения степени адекватности математической модели реальному процессу. Последнее реализуется, когда образующие оператор математические действия вносят аддитивный вклад в общее описание процесса, т.е., не "взаимодействуя" друг с другом, добавляют точность математической модели при увеличении числа составляющих оператора.
Указанным требованиям отвечает оператор, состоящий из обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, порядок которых зависит от числа гармоник, используемых в аппроксимации исходных функций, и количества самих функций воздействия и отклика, входящих в математическую модель. Общий вид получаемых уравнений в матричной форме для ряда соотношений между количеством функций воздействия и отклика представлен в табл. 1.
Применение математической модели из линейных дифференциальных уравнений обеспечивает большую устойчивость получающихся решений по сравнению с использованием нелинейных уравнений, возможность достижения требуемой степени точности, определяемой точностью аппроксимации исходных функций воздействия и отклика.
Значения коэффициентов а®, а() при составляющих операторов дифференцирования уравнений (5)—(8) могут быть рассчитаны с помощью метода неопределенных коэффициентов [5], для чего указанные уравнения записываются в скалярной фор-
0
0
0
да
да
Таблица 1. Уравнения связи между функциями воздействия и отклика
Количество воздействующих функций F¡
Количество функций отклика f
Вид уравнения
Примечания
I a« f = F1; (5)
j = о
dt
I a?Щ = Fi
i = о dt
т U)d%
, (6)
I
= F
-j = о dt ( n, m = 2 k )
A dfl I Ai — =
i = о dt
, (7)
IA
i = 0
d-i-f-1 di df .di.
, (8)
(n = k)
п, т — порядок дифференциального уравнения, к — число гармоник в разложении функций в ряд Фурье
A
A, =
„( 0"
1( 0
21
An
a(i> a(i>
11 12 a(0 a(0
21 22
а(П> 0
(i e [0,n -1]),
0 a
1
1
2
11
1
2
2
n
2
2
ме. Так, уравнения системы (6), отражающие связь одной функции воздействия с двумя функциями отклика, примут вид
a(0)f + а(1) f + а(2) df
+... + a(n) = Fx, (9) dt í dt2 dtn
2
(0)f , (i) df2 , (2)d f2 a 2 f2 + a2 , +a2 '~Г2 dt dt
+... + a
(n) dnf2_
dtn
= Fi. (10)
Матричное уравнение (8), связывающее две функции воздействия с двумя функциями отклика, в скалярной форме эквивалентно системе уравнений
aíl^./i + a(f + a(i) f + a12'
,(0)
(i) dfi + a(i) f
dt
dt
+... +
, (n-i) dn if , (n) dnf, j-,
+ai2-^r + ai.—— = F
i2 dtn-i ii dtn i
(0) a 2i
fi + a2f+a2ii) f + a $ f +... + dt dt
(11)
(n-i) dn f + a(n) df = f2
+ a22 i + aü
22 dtn-i
dtn
cosюt, sin®t, cos2®t, sin2®t^ и т.д. Например, из уравнения (9) с учетом выражений (1) и (2) имеем
(0) _ Л
a i a0 — A0,
*í (0) (i) и л (2) 2
cos ю t (a i ai + a i ю bi - 4 ai ю ai +
+ai)kn&nai) — Aicos юt, sinюt(a(0)bi -a(i)ю ai + 4a12)ю2bi +... +
(n)/ n n-i \ 7i • ,
+ ai k ю bi) — ^isin ю t,
(12)
Далее в левой части полученных дифференциальных урав
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.