№ 6
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2013
УДК 621.315:316.99
© 2013 г. БОРОНИН В.Н., КОРОВКИН Н.В., КРИВОШЕЕВ С.И., ШИШИГИН С.Л., МИНЕВИЧ Т.Г., НЕТРЕБА К.И.1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЗЕМЛЯЮЩИХ УСТРОЙСТВ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИМПУЛЬСНЫХ ТОКОВ
Рассмотрены различные подходы к созданию математических моделей (ММ) заземляющих устройств (ЗУ) при действии импульсных токов. Сформулированы основные требования к этим подходам с точки зрения их перспективности для создания системы диагностики и моделирования свойств ЗУ. Подробно представлен разработанный авторами новый подход к созданию ММ ЗУ, наилучший по предложенным критериям.
При решении задач молниезащиты энергетических объектов внимание уделяется вопросам проектирования эффективных заземляющих устройств (ЗУ) и их надежной эксплуатации. Надежное электроснабжение потребителей ставит как актуальную задачу снижения числа аварийных отключений воздушных линий электропередачи (ЛЭП), 75—80% которых связаны с грозовой активностью [1—3]. Вероятность перекрытия с опоры на фазный провод ЛЭП при фиксированных параметрах молниевого разряда определяются электромагнитными параметрами ЗУ опоры при действии импульса тока. Аналогично, при набегании волны перенапряжения с ЛЭП на подстанцию (защищаемый объект (ЗО) на рис. 1), защищенную ограничителем перенапряжения (ОПН), эффективность действия последнего также определяется электромагнитными параметрами ЗУ. Рассмотрим эту ситуацию подробнее.
Пусть вольт-амперная характеристика ОПН имеет вид, условно представленный на рис. 1а, где и(?) — падающая (набегающая с ЛЭП на ЗО) волна; ЯЗУ — сопротивление ЗУ импульсному току, вызванному набегающей волной перенапряжения. В качестве модели ЗУ выбран резистор, как это принято в большинстве выполняемых при анализе таких ситуаций электромагнитных расчетов.
В предположении малой проводимости грунта, в котором расположено ЗУ следует
считать, что > ЯЗУ, иОПН ^ иЗУ (см. рис. 1а) и, следовательно, напряжение падающей волны будет практически полностью приложено к ОПН, что и вызовет его срабатывание при и(?) > и0. Изменение сопротивления ОПН породит отраженную волну (ы^ на рис. 1б) и ограничит напряжения на ЗО. Схема для расчета перенапряжения на ЗО дана на рис. 1в, где ^ — волновое сопротивление системы "провод, по которому набе-
в
гает волна, — земля'
Для иллюстрации важности правильного выбора математических моделей (ММ) ЗУ при оценке уровня перенапряжения на ЗО выполним эквивалентирование ЗУ последовательно включенными ЛЗУ и ЬЗУ. Тогда, при быстропротекающих процессах неравенство иОПН ^ МЗУ несправедливо, поскольку напряжение на индуктивности ЗУ пропорциональное может превышать ыОПН или быть сравнимым с ним. Соответственно, срабатывание ОПН сместится во времени (см. рис. 1г, где Т > т) и
1Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (СПбГПУ).
Рис. 1. Действие волны напряжения на ЗО
перенапряжение пройдет на ЗО. Схема для расчета перенапряжения на ЗО для этого случая представлена на рис. 1д.
Таким образом, рассмотрение простейшей задачи показывает, что выбор той или иной модели ЗУ имеет принципиальное значение. Критерием истинности здесь может быть эксперимент. В предположении о линейности электромагнитных параметров ЗУ связь напряжения и(0 и тока ¡(^ описывается интегралом Дюамеля [4]:
г
) = у^)и(0) + |у(Г - х)и(х)йх, (1)
0
где ¡(1), и(1) — экспериментально определенные напряжение и ток ЗУ; у(1) — переходная проводимость ЗУ, подлежащая определению.
Анализ рассмотренной ситуации показывает важность детального учета схемы заземляющего устройства на этапе проектирования и необходимость отслеживать возможные изменения свойств заземлителей в реальном времени. Формально, моделирование свойств ЗУ с помощью схем замещения можно рассматривать как воспроизведение его частотных свойств, моделирование которых детально рассмотрено в настоящей статье на основе частотных характеристик ЗУ, получаемых экспериментально.
Алгоритм построения ММ ЗУ, позволяющей анализировать импульсные режимы работы в системах грозозащиты, состоит из следующих этапов:
— на основе эксперимента при импульсном воздействии определяются напряжение и(0 и ток ¡(0 ЗУ;
— по известным функциям и(0 и ¡(0 рассчитывается переходное сопротивление z(t) ЗУ, представляемое как двухполюсник, численно равное напряжению ЗУ при действии единичного тока или переходную проводимость у(0 при действии на ЗУ единичного напряжения;
— осуществляется структурный и параметрический синтез RLC эквивалентной схемы замещения ЗУ в виде пассивного двухполюсника по функциям z(t) или у(^.
Далее рассмотрены три подхода к реализации этого алгоритма, оценены их достоинства и недостатки.
Подход 1. Определение переходной проводимости по известным функциям и(^ и с использованием дискретной формы записи интеграла Дюамеля (1):
> +1
= X
П tm +1
um + 1 - u
{ y(tn +1 - x)dx -
m = 1
- X (Um + 1 - Um )yn - m + 1 - ynu2 + X (um + 1 - Um )yn - m + 1> m = 1 m = 2
где tn = (n — l)h; n = 1, N +1; N — число временных интервалов длиной h.
В предположении, что производная напряжения неизменна в пределах одного интервала un = const, рекуррентная формула для определения дискретных значений переходной проводимости yn = y(tn) имеет вид:
y1 =
h. Щ
Уп =
n
in + 1 — X yn - m + 1 (um m = 2
+1
- Um )
/u2, n = 2,N, h = u1 = 0 •
(2)
Реализация у(0 методами синтеза электрических цепей позволяет определить схему замещения и электромагнитные параметры ЗУ. Аналогично может быть записано и переходное сопротивление.
Трудности применения (2) связаны с обязательным предварительным сглаживанием экспериментальных данных с использованием, например, сплайнов. При этом (как и при других методах сглаживания) неизбежны не вполне обоснованные решения о моменте начала процесса и значениях переменных в этот момент. В ряде случаев (2) дает расходящуюся дискретную функцию уп при том, что сглаженные экспериментальные данные не имеют такой тенденции. Этот эффект может быть исключен усилением сглаживания, что ослабляет связь ММ с экспериментальными данными.
Дальнейшее построение ММ по (2) целесообразно проводить через задание в общем виде аппроксимации переходной характеристики цепи:
y (t) = A1 + A2e '/т или y (t) = A1 + A2e '/т + A3e '/Т2,
(3)
где константы А и т определяются методами регрессионного анализа. Дальнейшее увеличение сложности аппроксимационного выражения в данном подходе не целесообразно.
Далее, выполняя преобразование Лапласа функций (3), можно получить операторное сопротивление двухполюсника и провести синтез схемы замещения ЗУ. Гарантией "физичности" полученной ММ будет положительность параметров всех элементов этой схемы. К сожалению, в общем случае, данный подход не гарантирует получения "физичного" решения, поэтому в (3) рассмотрены простейшие аппроксимации, когда "физичность" достигается в большинстве случаев.
Подход 2 состоит в непосредственной аппроксимации экспериментальных зависимостей иэ(0 и ;'э(0 с помощью некоторой схемы (нескольких схем), параметры элементов которых выбираются таким образом, чтобы аппроксимация была наилучшей в некотором смысле. В качестве меры качества аппроксимации может рассматриваться функционал [5]:
m
t
I(p) = Л«э (t) - ia (t, p)dt, I(p) p e П > min, (4)
0
где i3(t) — ток ЗУ, определенный экспериментально, ia (t, p) — ток схемы замещения, моделирующей ЗУ при действии напряжения u3(t) определенного экспериментально; p — вектор параметров схемы замещения ЗУ; П — область, описывающая ограничения на параметры схемы замещения ЗУ; Т — время записи экспериментальных данных.
Формально, определение p из (4) может выполняться непосредственно по экспериментальным данным. Однако, как показывает опыт авторов, предварительное сглаживание данных существенно упрощает решение определения p из (4).
Поскольку задача минимизации (4), обычно, имеет множество локальных решений, для поиска глобального минимума целесообразно использование «мягких методов» оптимизации. Могут быть использованы различные модификации генетического алгоритма [6, 7] или алгоритм "пчелиного роя" [8, 9]. Эти методы дают возможность определять параметры схем замещения, содержащих до 12 элементов и воспроизводить переходную характеристику ЗУ с погрешностью, не превышающей погрешности эксперимента.
К недостаткам Подхода 2 относится сложность (неалгоритмизуемость) этапа выбора структуры схемы замещения ЗУ из множества вариантов. "Неудачно" выбранная структура схемы замещения не позволяет получить удовлетворительную аппроксимацию экспериментальных данных. Поэтому для автоматизации процесса построения схемы замещения желательно рассматривать одновременно некоторый набор схем, что затрудняет вычисления, лишь повышая вероятность получения удовлетворительного результата. Эти особенности Подхода 2 осложняют его использование для диагностических комплексов, работающих в режиме реального времени.
Подходы к получению ММ ЗУ, рассмотренные выше, обладают наряду с достоинствами и существенным для дальнейшего недостатком. Он заключается в необходимости участия в реализации этих подходов специалиста в области теоретической электротехники, способного принимать обоснованные решения, например, при появлении численной неустойчивости при применении соотношения (2) или при изменении структуры схемы замещения (4). Поэтому актуальна разработка инженерного метода математического моделирования электромагнитных параметров ЗУ, функционирующая в "автоматическом режиме", и ориентированного на широкий круг специалистов, занимающихся решением прикладных задач в электроэнергетике. Такой подход предложен авторами далее.
Подход 3. В основу автоматизированного подхода положен метод дискретных (синтетических) схем [4], в котором при использовании узлового базиса ММ двухполюсника имеет вид:
«n +1 = Gun +1 + J„, (5)
где G — эквивалентная проводимость, зависящая от параметров схемы и величины расчетного шага h; Jn — источник тока, зависящий от параметров схемы и от значений переменных состояния на предыдущем шаге при t = n h; in +1, un +1 — ток и напряжение на моделируемом устройстве в м
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.