МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2013, том 42, № 4, с. 298-305
^ МОДЕЛИРОВАНИЕ ^^^^^^^^^^^^^^
И ТЕХНОЛОГИЯ
УДК 51-73
МЕХАНИЗМ ФОРМИРОВАНИЯ ВОЛНОВОГО НАНОРЕЛЬЕФА ПРИ ЭРОЗИИ ПОВЕРХНОСТИ ИОННОЙ БОМБАРДИРОВКОЙ В РАМКАХ МОДЕЛИ БРЕДЛИ-ХАРПЕРА
© 2013 г. А. В. Метлицкая, А. Н. Куликов, А. С. Рудый
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова" E-mail: metlitskaya2010@yandex.ru Поступила в редакцию 05.10.2012 г.
Исследованы механизмы формирования волнового нанорельефа в рамках модели Бредли-Харпера при эрозии поверхности ионной бомбардировкой. Показано, что такой рельеф может появиться в результате ионной бомбардировки при потере устойчивости плоского профиля, которая возникает при малом значении "коэффициента диффузии" или большой интенсивности потока ионов. Если при этом выполнен ряд дополнительных условий, то от состояния равновесия бифурцирует семейство пространственно неоднородных решений, описывающих диссипативные структуры типа периодических бегущих волн. Для данной задачи получены условия существования диссипативных структур, которым соответствуют экспериментально наблюдаемые микро- и нановолны.
DOI: 10.7868/S0544126913030058
ВВЕДЕНИЕ
Для моделирования эволюции топографии поверхности, подвергнутой ионной бомбардировке, в настоящее время существует несколько математических моделей. Все эти модели базируются на основополагающих работах П. Зигмунда (см., например, [1]). Решения, которые получаются в рамках первой модели [2], имеют вид ударной волны. Эта волна получается при непосредственном интегрировании нелинейного уравнения первого порядка и описывает процесс понижения уровня поверхности при данном технологическом процессе. Данное уравнение с частными производными не позволяет моделировать процессы формирования установившихся наноструктур, к которым относится и волнообразный нанорельеф (ВНР). Поэтому появились и иные модели эволюции топографии поверхности под воздействием потока ионов.
Вторая модель ведет свое начало с работы [3], где было выведено уравнение, которое теперь принято называть уравнением Бредли-Харпера. Иногда это уравнение называют и уравнением Курамото-Сивашинского [4]. Третья модель носит название нелокальной модели эрозии и учитывает эффекты, связанные с нелокальностью процесса распыления [5].
В данной работе рассматривается случай распыления поверхности, имеющей цилиндрический изгиб, форма которого задается равенством
г = Н (?, х),
т.е. не зависит от у. Для моделирования эрозии поверхности воспользуемся второй из перечисленных моделей: уравнением Бредли-Харпера [3]. Если следовать работе [3], то в перенормированном виде для функции И(1, х) (смотри, например, [3, 4]) получаем уравнение эрозии поверхности ионной бомбардировкой следующего вида
dh dt
-а + a
dh
dx,
+ a.
dh dx.
+ a2
- b Ц + b dh tfh + b
dx
dx dx
2
dh)2 d2h - ^ d4h dx/ dx2 dx4
(1)
Здесь постоянная а характеризует скорость понижения поверхности, если следовать терминологии Дж. Картера [6]. Способам ее вычисления отчасти и посвящена основополагающая работа П. Зигмунда [1]. Остальные коэффициенты зависят от интенсивности ионного потока, а так-
же угла ©. Здесь © — это угол между направляющей потока ионов и нормалью к невозмущенной поверхности. Наконец, d > 0 — параметр, аналогичный коэффициенту поверхностной диффузии, но имеющий совершенной иной физический смысл [6].
Уравнение (1) моделирует случай цилиндрического изгиба [7] образца. Нетрудно видеть, что это уравнение имеет решение
к (г, х) = к0 -Ш (к0 е Я), (2)
которое задает так называемый "плоский" профиль поверхности. Положим
и (г, х) = к (г, х) - (Л0 - аг),
где и(^ х) — нормированное отклонение от плоского профиля.
В данной работе будет рассмотрен вопрос об условиях формирования неоднородного рельефа
Далее это уравнение будем рассматривать вместе с периодическими краевыми условиями [3, 4]
и (г, х + 2п) = и (г, х). (4)
Краевая задача (3), (4) всегда имеет решение и(^ х) = = С, где С — произвольная постоянная. Далее будем считать, что С = 0. Последнее замечание означает, что исследуется окрестность нулевого решения. При этом сведение задачи к изучению окрестности нулевого решения не уменьшает общности, так как речь идет лишь об изменении точки отсчета в выбранной системе координат. Уравнение (3) и краевые условия (4) дополним начальными условиями
в результате распыления поверхности потоком ионов. Тем самым особый интерес представляют решения и^, х) Ф 0, а также условия их возникновения и устойчивости в процессе ионной бомбардировки. Подстановка
к (г, х) = и (г, х) - аг + к0
в уравнение Бредли-Харпера позволяет получить уравнение для отклонений от плоского профиля распыляемой поверхности. В результате получаем нелинейное уравнение (уравнение возмущений плоского профиля):
(3)
и (0, х) = / (х). Полученная смешанная задача имеет решение, если/(х) е Н2. Последнее означает, что для этой функции выполнены следующие условия:
1)/х) е ^24[0,2п];
2) /(х) имеет период 2я.
Здесь через Ж24[0,2п] обозначено классическое пространство Соболева [8]. Напомним, что /(х) е
е Ж/[0,2п], р е N если у/(х) существуют обобщенные производные /'(х), ..., /(х) до порядка р включительно и эти производные интегрируемы на [0, 2я] с квадратом
ди = а (ди| + а дг \дх.
ди дх.
+ ап
ди дх,
- ь дЛ + Ьх ди^ + ь2 (ди)2 - л А.
дх дх дх \дх! дх дх
2п
(/(у) (х) е Ь2 (0,2п)), т.е. |(/(у) (х)) йх < <ю.
0
Из теорем вложения Соболева [8] вытекает,
что если/(х) е Н2, то /(х) имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно.
Пространство начальных условий /(х) е Н24 формирует фазовое пространство для решений смешанной задачи. Последнее, как известно,
означает следующее. Пусть /(х) е Н24, тогда решение и(^ х) е Н24 при любом фиксированном t = ^ > 0. Отметим дополнительно, что в данном случае уравнение (3) входит в класс параболических уравнений, которые рассмотрены в работе [9]. В этой работе доказана корректная разрешимость смешанной задачи для уравнения (3). Для данной смешанной задачи справедливо также следующее замечание [10]. Если /(х) еН2, то решение и(^ х) при всех t > 0, как уже отмечалось ранее, входит в
фазовое пространство, но имеет непрерывные
частные производные любого порядка р.
дхр
1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО ПРОФИЛЯ
Исследуем краевую задачу (3), (4) в линеаризованном в нуле виде. Это приводит к рассмотрению краевой задачи
д" = а ди - Ь Щ - л д_и,
дг дх дх
дх
(5)
и (г, х + 2п) = и (г, х). (6)
Для исследования устойчивости нулевого решения краевой задачи (5), (6) найдем все ее решения следующего вида
и (г, х) = ехр (кг) v(х).
Здесь функция v ( х) удовлетворяет краевым условиям
v (t, х + 2п) = v (t, х). Для определения соответствующего X g C (или R), а также функции v (х), получим следующую краевую задачу
Av = Xv, v(х + 2п) = v(х). (7)
Здесь A — линейный дифференциальный оператор, определенный равенством
Av = av — bv" — dv(IV).
Его область определения состоит из достаточно гладких функций, имеющих период 2я. Подстановкой проверяется, что краевая задача (7) имеет нетривиальные решения, если:
v (х) = vn (х) = exp (шх), Xn = ain + bn2 - dn4, n e Z,
где Z — множество целых чисел. При этом
ReXn = bn2 - dn4, ImXn = ian. Уместно отметить, что X0 = 0 при всех значениях коэффициентов. Следовательно, для устойчивости плоского профиля должны быть выполнены неравенства
bn - dn4 < 0, n = ± 1,±2,... Последнее неравенство выполнено при всех n Ф 0, если
b - d < 0, (b < d). (8) При b > d плоский профиль теряет устойчивость. Наконец равенство
b = d
выделяет критический случай в задаче об устойчивости однородных состояний равновесия линейной краевой задачи (5), (6). При выполнении равенства b = d краевая задача (7) имеет собственные числа
X 0 = 0, X ±1 = ±ia.
Собственным значениям Х0 = 0, Х±1 = ±1а соответствуют собственные функции
е0 (х) = 1, е±1 (х) = ехр (±1х). При остальных к выполнены неравенства ЯеXк <-у0 < 0 (к = ±2;±3;...). Простые вычисления показывают, что у0 = 12d. Действительно, в нашем случае
Яе X к = йк2 - йк4 = йк2 (1 - к2),
но при к2 > 4 справедливо неравенство 1 — к2 < —3, dk2 > 4d.
Пусть Ь = d. Тогда краевая задача (5), (6) имеет периодические решения
и (?, х) = С1 ехр (¡Ш + ¡х), и ( х) = С2 ехр (-¡Ш - ¡х) относительно переменной ? с периодом 2я/а.
2. АНАЛИЗ ЗАДАЧИ В НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ. БИФУРКАЦИИ НЕОДНОРОДНОГО РЕЛЬЕФА
В этом разделе рассмотрим уже нелинейную краевую задачу (3), (4), когда
Ь = й (1 + уе),
где у = ±1, а е — малый положительный параметр (е е (0, е0), е0 — достаточно малое положительное число). При таких вариантах выбора коэффициентов уравнения (3) изучим вопрос о возможности локальных бифуркаций неоднородных диссипа-тивных структур, принадлежащие малой окрестности нулевого состояния равновесия краевой задачи (3), (4). Окрестность понимается в смысле нормы фазового пространства решений. Здесь его
следует выбрать как пространство Соболева Н24.
Перепишем нелинейную краевую задачу (3), (4) в следующем виде
ди
= А {&)и + F {u), dt
и (t, х + 2п) = и (t, х).
(9) (10)
Здесь A(s) линейный дифференциальный оператор, определенный равенством
ди
Наконец,
А (s)u = a--d (1 + ys) 2
дх дх
д2и - d д4и
дх
Fw=1||) +b (ди)J, f2 (и)=a2(ди) + b2(ди) [д? I-
F (и) = Fi (и) + F2 (и),
дщ Г д и
ди\2 Гд2и
Положим А0и = А(0)и. У линейного диф- Х±1 = 1а. Для остальных Хп выполнено неравен-ференциального оператора А0 три собствен- ство ЯеХи < —у0, где, как указывалось ранее, у0 = ных значения лежат на мнимой оси Х0 = 0, = 12d.
Будем искать решение нелинейной краевой задачи (9), (10), для которой справедливо представление
и (7, s, б, х) = у () + б1^2« (7, 5, х) + гы2 (7, s, х) + б^2м3 (7, 5, х) + О (б2), (11)
где ж = е? — медленное время, а функции (7,5,х) (] = 1, 2, 3) достаточно гладко зависят от своих аргументов. Эти функции имеют по х период 2я, а также периодичны по I с периодом 2я/а. Если подставить равенство (11) в нелинейную краевую задачу (9), (10) и приравнять выражения при е1/2, е, е3/2 соответств
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.