ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ — t rii'j'.sHU • -м,./, ... - ,к • , И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА - л >t- i.-ioi-i 'jr.,
Том 144,№ 2 « *!Л>. v,. г-bJTfci , ■!'•. •
август, 2005 ^ , ,Р '' - - : 1 •■>'•■> • *-• 1 .
I Г'«!"». Ml . а- ) *■"" "lil'li1.! ' : \ ■> • >'»!,., >
>V>(- • ■ !
' vi>I*i. ' , ,пиц • •.•.sJ'if-itO IAv*I я -I ' -K.S4.,. • ПчК Й1Ч.' i ч :
*» 1- -"i :if ■■ т. ->>. i „я;
©2005 г. Н.В.Алексеева*
МЕХАНИЗМ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ ПРИ НЕЛИНЕЙНОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
Рассматривается простая модельная система, в которой существуют устойчивые двумерные солитоны. Такой системой является нелинейное уравнение Шреяингера с затуханием и параметрической накачкой, где солитоны стабилизируются при достаточно большом коэффициенте диссипации. С помощью сведения исходного дифферен- \с циального уравнения в частных производных к конечномерной динамической системе исследуется механизм стабилизации. Из рассмотрения конечномерной системы делается вывод о том, что стабилизация наступает благодаря возникновению отрицательной обратной связи в результате подчинения фазы солитона, привязанной к фазе накачки, его амплитуде и ширине. •„ ' '' *f ' ''
Ключевые слова: резонанс Фарадея, нелинейное уравнение Шреяингера с затуханием и накачкой, осциллоны, стабильность.
. ------: i.-iV-V-l^Ol ytj.il«-">зв>у. 'itS*sJ»Mrt<rev;n$ 4. ' » '■
1. Когда горизонтальный слой жидкости подвергается колебаниям в вертикальном направлении, на его поверхности образуется одно- или двумерная периодическая структура. Это явление известно со времен знаменитого эксперимента Фарадея [1], а недавно было обнаружено, что вертикальные колебания способны также поддерживать локализованные двумерные состояния. Такие локализованные в пространстве и осциллирующие во времени структуры - обычно называемые осциллонами - наблюдались на поверхности гранулированных сред [2], ньютоновых [3], [4] и неньютоновых [5] жидкостей. Впоследствии устойчивые осциллоны были воспроизведены при численном моделировании в рамках различных моделей, включая амплитудные уравнения [4], [6], непрерывные по пространству системы дискретных отображений [7], полунепрерывные [8] и гидродинамические [9] теории. Хотя образование осциллонов и наблюдалось в этих численных экспериментах, они (эксперименты) не могли раскрыть суть механизма, делающего осциллоны невосприимчивыми к нелинейному коллапсу и дисперсионному рас-плыванию. То обстоятельство, что стабильные осциллоны возникают в различных физических средах и в математических моделях самой разной природы, наводит на мысль,
* Department of Mathematics, University of Cape Town, South Africa. E-mail: nora@figaro.mth.uct.ac.za
что этот механизм является достаточно простым и общим. Он должен вступать в действие всякий раз, когда имеется баланс дисперсии и нелинейности, с одной стороны, и затухания и параметрической накачки, - с другой.
Для того чтобы выделить основные компоненты этого механизма, недавно была предложена простая модель нелинейной распределенной системы, в которой возможен параметрический резонанс [10]. Эта модель представляет собой двумерную решетку диффузионно связанных маятников с затуханием и вертикально колеблющейся точкой подвеса. В настоящей работе мы рассматриваем возмущенное нелинейное уравнение Шре-дингера, которое описывает медленно меняющиеся амплитуды близких к синхронным колебаний маятников. Стационарные солитонные решения этого амплитудного уравнения соответствуют осциллонам на решетке. Наша цель состоит в том, чтобы понять, как комбинация затухания и параметрического возбуждения может подавлять коллапс, характерный для (невозмущенного) двумерного нелинейного уравнения Шредингера. Это, в свою очередь, прольет свет на механизм стабилизации осциллонов в колебательных средах, находящихся под действием резонансных возмущений. V " -5 1 ъ.< ш
2. Рассматриваемое нами уравнение представляет собой нелинейное уравнение Шредингера с дополнительными членами в правой части, описывающими затухание и параметрическую накачку:
» < > Г' 'V' 1 1-11 ^ / V л. ;. ■
тг
... + +2\ф\гф~ф = кф*~»7^.;;;./;„,;„ (1)
Здесь V2 = д2/дх2 + д2/ду2. Помимо решетки маятников, уравнение (1) является амплитудным уравнением для широкого класса близких к консервативным двумерных колебательных систем с параметрическим усилением. В физике это уравнение использовалось в качестве феноменологической модели нелинейного фарадеевского резонанса в сплошных средах [4], [11]. Независимо оно возникло и при описании оптических параметрических осцилляторов (см. работу [12] и цитируемую в ней литературу).
Два стационарных радиально-симметричных солитонных решения уравнения (1) имеют вид
Ф± = А±е-^ЩА±г), -кп -.Л - - л л(2)
ч:-
где г2 = х2 + у2,
4 Л± = 1 ± л/и2 - 72, в+ = ^агсзт( 1 ), 9- - п - ^агсвтГ^ ),
... ........ ... 2 \п) п , 2 \"/ т :т",!
..хзмт
а 71(г) - колоколообразное (монотонно убывающее) решение уравнения а,,...1Г >г,
■к .> ллI■! ^тлиУ» к.'а-т'^час.хя якц^м здодовп о»иртчгуи*^ гзосе чз <• -.-г • ',"•'41 . ■
-в/куп л-яи Н.>г<ми*«а эн ; Пгг + -Пг-П + 2113 = 0 ок.- шО йэЗД
г
с граничными условиями Лг(0) = Л(оо) = 0. Это решение хорошо известно в литературе [13).1<к ;1^ я ...... . .(¿И гаттуи. ош'т-'ч
228 'i *>F f NT • H.B. АЛЕКСЕЕВА
Солитон ф+ существует для всех /г > 7, в то время как солитон ф~ существует только внутри клина 7 < /г < у/1 + 72. Уместно добавить здесь, что при /г < 7 решения с любыми начальными условиями затухают во времени и стремятся к нулю. Это следует из закона изменения числа частиц
дьЩ2 = 2У{Щ2Ух)+2\ф\2{1гът2х-ч), .. ч _ ''(4)
где х ~ фаза поля ф: ф = Если обозначить ' * "
М= [\ф\2<Ьс, " " ' ' ' ь
f. " '.!.. ■ (Ml.
то из уравнения (4) вытекает
•в ' ;•■'...«' TiS/-V ■ ;*!-•' •
^ДГ ^ 2(Л - 7)^, ' ' * 4 " ' ' "' '
>•7 ''>}'. ■ АУ. »р. ; ft- — ■ ■
откуда следует N(t) —► 0 при i —► оо. Нужно также заметить, что по другую сторону клина, т.е. при h > </l + 72, все решения с граничными условиями ф 0 при |х| оо являются неустойчивыми относительно нелокализованных возмущений (возмущений непрерывным спектром) [14]. " *'1
Известно [13], [15], что в отсутствие диссипации и накачки, т.е. при /г = 7 = 0, все локализованные начальные условия нелинейного уравнения Шредингера либо расплываются, либо коллапсируют (обращаются в бесконечность) за конечное время. Однако недавно было показано [1CI], что, в то время как солитон ф- остается неустойчивым для всех h и 7, солитон ф+ стабилизируется при достаточно сильных накачке и диссипации (наименьшее значение 7, при котором возможны устойчивые солитоны, равно 1.006). Наша цель - найти качественное объяснение механизма стабилизации.
,, 3. Мы используем вариационный подход. Уравнение (1) может быть получено из принципа наименьшего действия с лагранжианом, явно зависящим от времени:
- > -ч С = е2?* Rе J(iW - - \Ф\2 + \Ф\4 - Нф2)<Ьс. Х «Г (5)
Для того чтобы проследить эволюцию локализованных конфигураций, выберем коло-колообразную пробную функцию
ф = jAe-ie-(B+i°)r2 (6К
(этот анзац часто применяется при изучении явлений раздутий, возникающих в решениях; см., например, [16]), где А, В, в и а - вещественные функции переменной t. Вид подстановки достаточно произволен; пробную функцию можно уточнять и улучшать путем подгонки ее пространственного профиля и/или включения большего числа степеней свободы. Однако точность вариационного приближения не является здесь предметом первостепенной важности; наша цель заключается в том, чтобы выявить лишь основные принципы механизма стабилизации. Мы покажем, что для этого вполне достаточно гауссовой функции (6), зависящей от четырех параметров. Следовательно,
механизм стабилизации является сравнительно простым, грубым и нечувствительным к деталям аппроксимации. гл -пиЛ! { ••* •» А > Н' тг
После подстановки функции (6) в формулу (5) лагранжиан при
(SX)
£ = e27t-В
в 1 + 2 В cos2 ф
2 В А
~~2~~1 + "о cos(0 + Щ cos ф |
где tg ф = а/В. Соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа суть
(if) (51)
¡'а-'
À = 8 а А - 27 А + 4M sin (ф + Щcos ф - 2 h A sin[2 (ф + 0)] cos2 È = 8аВ\+ 2hB sin(ф + 26) cosJ> - 2hB sin[2(0 + 9)} cos2 ф,
9 =l + 4B-^A + 2h cos(ф/+ 29) cos ф - h cos[2(tf> + 0)] cos2 ф, à = 4a2 - 4В2 + AB- 2hEt cos(<A + 29) cos ф+
+ 2hBcos[2(<£ + в)]coi2ф. -i-'^rn №.. ,, ;
(8) (9) (10)
(Д)
Определенная уравнениями (8)-(11) четырехмерная динамическая система имеет две стационарные точки, представляющие два стационарных солитона:
■•■■г.. . й >. ■ !--Л'('> ,..(">' 43' Л . _ <1/1 а /12 \ о . _
>' ' А± = 2(1 ± y/h2^2), \ В±
.4":
1 7
9+ = - arcsin -,
,, . 2 Л
9^ =
1 • 7 - arcsin — ,
2 h
a± = 0.
В соответствии со свойствами устойчивости решений полного уравнения в частных производных (1) стационарная точка (А_, В-) неустойчива при всех Ли 7, тогда как точка (Л+, В+) неустойчива при малых 7, но стабилизируется при больших значениях коэффициента диссипации. (Область устойчивости дается неравенством/1 > у/1 + 74/4при 7 ^ у/2). Следовательно, четырехмодовое приближение правильно воспроизводит качественные черты бесконечномерной динамики в классе локализованных решений. Установим теперь два условия связи, понижающие число независимых степеней свободы до двух; эти связи, в конечном счете, дадут ключ к пониманию механизма стабилизации, " 'ЛСЛ ?! !,Г1 £ I. К '«.
4. Двумерная редукция возникает в пределе сильного затухания, т.е. при больших значениях 7. В этом пределе динамика должна происходить на больших временных масштабах; имея это в виду, введем "медленное" время Т = ¿/7. Разложим также решение
-1.
по степеням малого параметра 7
А = А0 + -Ах + • •
7
0 = J + V + -
47
ЬШ 'О'- "'M' .-.'ВЫ i't.T-
1 • -та 1 ', • ' . '. .•.!
В = Во + -В! + 7
1
а = -а 1 Н----.
7
230
•1. .лУГиПЛО /Л.1Н«- Н.В. АЛЕКСЕЕВА 13лТ"» Ь
Полагая /1 = 7 + 0/(27), где 0 ^ с ^ 1, мы гарантируем, что значение к лежит в интересующей нас области: 7 < /г < у/1 + 72. Подставляя эти разложения в уравнения (8)^(11) иприравнивая коэффициенты при одинаковых степенях7-1,получаем двумерную систему
<М0 _ 1т ~Ао
О*.' ' 1.
2-\
о
(12)
где
^ = + + ' ^ ,13,
•____ . ...
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.