ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 3, с. 84-97
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ^^^^^^^^ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
УДК 519.6
МЕТОД ДОМИНАНТ В ЗАДАЧЕ УПОРЯДОЧЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ТРЕХТОЧЕЧНО ЗАДАННЫХ ОБЪЕКТОВ*
© 2012 г. И. Ф. Шахнов
Москва, ВЦ РАН Поступила в редакцию 02.11.11 г.
Предлагается и исследуется метод упорядочения по предпочтению (ранжирования) объектов, предназначенных для одноразового (однократного) использования, когда возможные результаты их применения представлены в виде пессимистических, оптимистических и наиболее правдоподобных оценок. Метод основан на аппроксимации бинарного отношения предпочтения по вероятности бинарным отношением предпочтения по специально введенной характеристике — доминанте, построенной на базе трех вышеуказанных оценок. Верификация предложенного подхода проведена путем статистического моделирования (метод Монте-Карло). Показано, что описанный метод в большинстве случаев обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации.
Введение. Упорядочение объектов по степени проявления у них тех или иных интересующих пользователя свойств — одна из важных задач, которые необходимо уметь решать при математическом моделировании различных аспектов функционирования сложных систем. Однако такие факторы, как определенная неадекватность используемых моделей, неполнота необходимых исходных данных и их неточность, погрешности в вычислениях при осуществлении математического моделирования и т.п., приводят к тому, что оценки для рассматриваемых аспектов могут быть найдены лишь с определенной погрешностью, т.е. они будут иметь вид некоторых интервалов их возможных значений. Так возникает проблема упорядочения интервально заданных объектов рассмотрения. Типичным примером здесь могут служить задачи многокритериальной оценки различных вариантов развития сложных систем. При решении таких задач необходимо принимать во внимание предполагаемые значения большого числа технико-экономических и других показателей. При этом оценки вариантов развития по ряду показателей часто известны лишь приблизительно и носят интервальный характер.
Общепринятыми приемами решения задач многокритериальной оценки являются построение множества Парето и использование различного рода сводных показателей ("свертки" показателей). И в том и в другом случае многокритериальный анализ начинается с упорядочения рассматриваемых вариантов развития по каждому из используемых (чаще всего интервально заданных) показателей в отдельности. Получаемые в итоге сводные показатели часто имеют опять-таки интервальный характер, т.е. снова приходится решать проблему упорядочения интервально заданных объектов. Кроме того, нельзя не упомянуть о той важной роли методов упорядочения интервальных величин, которую они играют при установлении степени коррелированности различных свойств у анализируемых многомерных объектов.
В целом задача упорядочения (ранжирования) интервально заданных объектов относится к области задач принятия решений в условиях неопределенности, причиной появления которой могут быть самые разнообразные факторы [1, 2]. Применительно к нашей задаче можно указать два возможных подхода к описанию имеющейся неопределенности и ее устранению. При первом подходе в рассмотрение вводятся так называемые стохастические матрицы результатов попарных сравнений анализируемых объектов. Второй подход основан на исследовании и использовании специфических свойств интервально заданных объектов.
Примерами первого подхода могут служить работы [3, 4]. Предложенные в них модели упорядочения описаны ниже в разд. 3. Сюда же относятся стохастические методы анализа достижимости выдвинутых качественных или количественных целей (обзор работ этого направления дан в [5, 6]). Второй подход, по-видимому, впервые начал применяться в [7]. В настоящее время в рамках этого подхода предложен ряд других моделей. Так, модели, описанные в [8, 9], основаны на
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-00851).
методах решения задач линейного программирования, когда имеющаяся неопределенность формально представляется в виде "невязок" в правых частях рассматриваемых линейных неравенств. Дальнейшим существенным продвижением явились методы центрального луча [10], симметрически-лексикографической оптимизации [11] и модели упорядочения интервальных величин [12].
Следует отметить, что при планировании развития сложных систем и анализе их возможных вариантов приходится, как правило, иметь дело с прогнозными данными относительно основных характеристик планируемых систем и их элементов. Такие данные большей частью выражаются в виде пессимистических, оптимистических и наиболее правдоподобных прогнозных оценок, т.е. представляют собой интервальные трехточечно заданные объекты. При этом многие из данных могут быть получены только на основе экспертных оценок, часто опять-таки носящих характер интервальных оценок.
Настоящая статья является продолжением работы [13], положившей начало исследованию задачи ранжирования интервальных трехточечно заданных величин, возможные значения которых характеризуются с помощью треугольных функций плотности вероятности. Так же, как и в [13], речь идет о ранжировании интервальных объектов однократного применения на основе бинарного отношения предпочтения по вероятности. В той же работе [13] было показано, что бинарное отношение предпочтения по вероятности для треугольных функций плотности вероятности может быть аппроксимировано с весьма высокой точностью бинарным отношением по медиане. Это означает, что в качестве искомого ранжирования рассматриваемых объектов по вероятности в данном случае может быть использовано ранжирование исследуемых объектов по медиане, что сильно упрощает задачу и в методологическом, и в вычислительном отношении.
В настоящей работе исследуется возможность дальнейшего упрощения данной задачи за счет аппроксимации бинарного отношения предпочтения по медиане бинарным отношением предпочтения по специально введенной величине — доминанте. В качестве доминанты здесь выступает линеаризованная форма представления зависимости медианы от основных параметров треугольной функции плотности вероятности распределения возможных значений интервального трехточечно заданного объекта. Существенно, что введенное таким образом новое отношение предпочтения позволяет установить факт предпочтения одного интервального объекта по сравнению с другим, зная лишь такие простейшие исходные данные для этих объектов, как их средние и наиболее вероятные значения — моды (т.е. данные, известные по определению в случае трехточечно заданных объектов), не прибегая к вычислению медиан. Это, конечно, снижает трудоемкость получения искомого упорядочения. Кроме того, введенное отношение в ряде случаев позволяет установить факт предпочтения одного интервального объекта по сравнению с другим на основании простого качественного (в том числе визуального) анализа вышеуказанных данных.
Верификация допустимости получаемой в итоге аппроксимации бинарного отношения предпочтения по вероятности бинарным отношением предпочтения по доминанте была выполнена путем статистического моделирования (методом Монте-Карло). Проведенные вычислительные эксперименты показали вполне приемлемую точность предложенной аппроксимации.
1. Постановка задачи. Рассматривается множество O альтернативных объектов Oi, I = 1, п. Обозначим через xi степень проявления интересующего пользователя свойства Xу объекта Oi, I = 1, п. Предполагается, что более предпочтительны большие значения x
01 у в] ^ > х].
По условиям задачи конкретные значения x¡, присущие объектам Oi, не известны; известны только диапазоны (интервалы) I предполагаемых значений xi, т.е. для xi заданы интервальные оценки
= [а, Ь], Х( е Iа 1 < х( < Ь,
а также известны их наиболее вероятные значения (моды) ci, I = 1, п. Требуется на основании этих данных упорядочить по предпочтительности (ранжировать) объекты 01,...0п, т.е. расположить анализируемые объекты в порядке убывания их предпочтительности
0т > 0 ь вк >... Ь вг. (1.1)
Запись 01 > 0] означает, что для данной пары объектов 0Ь 0; установлено бинарное отношение предпочтения "быть не хуже": объект Oi "не хуже" объекта Oj.
Для решения рассматриваемой задачи, прежде всего, необходимо ответить на два вопроса. Во-первых, сколь часто пользователь собирается применять каждый из объектов О, I = 1, п, в своей дальнейшей практической деятельности и, во-вторых, какими свойствами должны обладать бинарные отношения чтобы на их основе могло быть достаточно просто построено искомое упорядочение (1.1)? В плане будущего их использования укажем на два возможных типа объектов.
1. Объекты массового (или многократного) применения, для которых уже накоплена необходимая статистика и определены соответствующие вероятностные характеристики и их свойства (матожидание, дисперсия и т.д.). Ранжирование рассматриваемых объектов в этом случае может быть произведено на основе подобных вероятностных характеристик и их комбинаций.
2. Объекты, представляющие собой либо сугубо уникальные явления, либо объекты однократного применения. Оценки степени проявления интересующих пользователя свойств для уникальных и впервые создаваемых объектов не могут быть получены с помощью традиционных теоретико-вероятностных методов по причине отсутствия соответствующих статистических данных. К тому же типу будем относить объекты, сравнительно хорошо изученные, но которые предполагается использовать только один раз. Традиционные статистические характеристики таких объектов могут быть известны, но их применение оправдано лишь при массовом применении сравниваемых объектов. Пользователю же необходимо установить сравнительную предпочтительность рассматриваемых объектов при условии однократного применения каждого из них. Объекты, относящиеся к первому или второму случаю, будем называть просто объектами однократного (одноразового) применения.
Круг объектов, подпадающих под введенное понятие "объекты однократного применения", весьма широк. К ним относятся, прежде всего, мероприятия, выполняемые в режиме терминальн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.