ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2004, том 30, № 7, с. 493-499
УДК 524.7
МЕТОД ДВУХТОЧЕЧНОЙ УСЛОВНОЙ ЛУЧЕВОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ГАЛАКТИК
© 2004 г. Ю. В. Барышев, Ю. Л. Бухмастова*
Астрономический институт Санкт-Петербургского государственного университета
Поступила в редакцию 21.04.2003 г. После доработки 15.12.2003 г.
Предложен новый метод оценки фрактальной размерности пространственного распределения галактик — метод выделенных цилиндров. На примере построения двухточечной условной лучевой концентрации для галактик с известными красными смещениями из базы данных LEDA показаны возможности данного метода. Оценка фрактальной размерности выборки галактик LEDA и EDR SDSS дает величину D = 2.1 ± 0.1 для длин цилиндров 200 Мпк. Главным достоинством предложенного метода является то, что для обзоров галактик в форме конических секторов и небольших площадок на небесной сфере он позволяет анализировать масштабы, сравнимые с глубиной каталога.
Ключевые слова: галактики, группы и скопления галактик, межгалактический газ, пространственное распределение галактик, фрактальная размерность.
THE METHOD OF A TWO-POINT CONDITIONAL COLUMN DENSITY FOR ESTIMATING THE FRACTAL DIMENSION OF THE GALAXY DISTRIBUTION, by Yu. V. Baryshev and Yu. L. Bukhmastova. We suggest a new method for estimating the fractal dimension of the spatial distribution of galaxies, the method of isolated cylinders. The capabilities of this method are shown by constructing a two-point conditional column density for galaxies with known redshifts from the LEDA database. The fractal dimension of the sample of LEDA and EDR SDSS galaxies has been estimated to be D = 2.1 ± 0.1 for cylinder lengths of 200 Mpc. The major advantage of the suggested method is that it allows scales comparable to the catalog depth to be analyzed for galaxy surveys in the shape of conical sectors and small sky fields.
Key words: galaxies, groups and clusters of galaxies, intergalactic gas, spatial galaxy distribution, fractal dimension.
ВВЕДЕНИЕ
Статистический анализ пространственного распределения галактик проводится различными методами, обзор которых имеется в монографиях Мартинеца и Саара (2002) и Габриэлли и др. (2004), где, в частности, рассмотрены стохастические точечные фрактальные процессы.
Стандартным методом анализа фрактальных структур галактик является метод условной концентрации, предложенный в работе Пиетронеро (1987) и примененный к имеющимся обзорам красных смещений галактик в работе Силос-Лабини и др. (1998). Данный метод, примененный к разным выборкам, дает фрактальную размерность распределения галактик в пространстве О от 1.6
Электронный адрес: bukh@astro.spbu.ru
до 2.2. Для реализации этого метода требуется последовательно выделять сферические объемы из исходной выборки галактик и вести подсчет объектов в этих сферических объемах. Поскольку реальные обзоры галактик часто имеют форму в виде узких конических секторов, то метод условной концентрации оказывается ограниченным величиной радиуса максимальной сферы, которая полностью помещается в объем данного обзора.
В настоящей работе предлагается новый метод оценки фрактальной размерности — метод выделенных цилиндров, который обладает перед методом условной концентрации тем преимуществом, что не требует привлечения сферического объема выборки, а может использоваться для узких пространственных слоев, поскольку в нем используется информация о распределении объектов вдоль отрезков, соединяющих пары точек структуры.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ
Плотность стохастических фрактальных структур
Понятие плотности жидкости (газа), обычно используемое в гидродинамике, содержит предположение о том, что существует значение плотности, не зависящее от величины элемента объема "У. Тогда можно определить плотность д(х) в точке х и рассматривать ее как обычную непрерывную функцию положения в пространстве. В задаче анализа флуктуаций величина д(х) может быть реализацией стохастического процесса, для которого определены обычные моменты — среднее, дисперсия и т.д. В частности, это может быть и дискретный процесс, содержащий конечное число точек, например пуассоновский процесс с концентрацией частиц п(х).
В случае фрактальных структур понятия плотности числа частиц в точке не существует, так как в каждом элементе объема структуры содержится иерархия кластеров и значение концентрации существенно зависит от величины элемента объема "У (Мандельброт, 1982). Для описания непрерывной иерархии скучивания, являющейся новой характеристикой процесса, необходимо ввести новую независимую переменную — радиус области г, в которой производится подсчет частиц. При этом число частиц самоподобной структуры растет по степенному закону
N (г) = Бгп,
(1)
где Б — фрактальная размерность, Б = Щ/гЯ определяется числом объектов N0 внутри масштаба нулевого уровня г0. Для характеристики плотности фрактальных структур рассматриваются функции пу (г) = N (г)/У (г) и п3 (г) = (dN/dг)/S (г), где У (г) = (4п/3)г3, S (г) = 4пг2.
Рассмотрим дискретный стохастический процесс, реализации которого представляют совокупности частиц, расположенных в случайно выпавших положениях {х}, г = 1,...^, так что реализованная плотность числа частиц п(х) дается выражением
N
п(х) = ^2 $(х - хг).
г=1
Если стохастический процесс является фрактальным, то для его описания необходимо рассмотреть дополнительную "фрактальную" переменную г, характеризующую степень сингулярности фрактальной структуры. Пусть Nv(ха,г) обозначает число
частиц в шаре радиуса г с центром в точке ха, принадлежащей структуре:
^ (ха,г) = ! п(х)"3х,
(3)
0
и Ns(хг, г) — число частиц в оболочке (г, г + Аг) с центром в точке структуры ха:
т+Ат
73„
N3 (ха ,г)= У п(х)д3 X.
(4)
При переходе от одной реализации к другой эти величины испытывают флуктуации, после усреднения которых по множеству реализаций остается зависимость от масштаба г. В случае эргодиче-ских процессов усреднение по реализациям можно заменить усреднением по множеству точек одной реализации. Согласно Пиетронеро (1987) условная концентрация стохастического фрактального процесса определяется в виде
/ЛГ5(Хд,Г)\
= \~4ят2ДГ/
N
1
1
N ^ 4пг2Аг
г=1
(5)
т+Ат
/ п{х>"'х =
РВ
4п
г
-(3-Я)
а объемная условная концентрация
(ха, г)
^ (г) =
\ (4тг/3>
(6)
1
N
N 3 Г т
П(Х)Г13Х =
3В
4п
г
-(3-Я)
(2)
где (-)Ха означает усреднение, проводимое при условии, что центры шаров находятся в точках, занятых частицами реализации (отсюда название "условная"), а последние равенства в (5) и (6) относятся к идеальным фрактальным структурам (1), для которых щ(г) = (3/Б)п(г). Показатель степени в условной концентрации
7 = 3 - Б (7)
называется фрактальной коразмерностью структуры.
Принципиально важным свойством условной концентрации является то, что для процессов с конечным масштабом фрактальности, после которого распределение частиц становится однородным, статистики (5) и (6) выходят на постоянное значение, что соответствует равенству Б = 3 для однородных структур. Таким образом, метод условной концентрации является мощным инструментом поиска границы перехода от режима фрактальной кластеризации к однородности.
т
х
х
а
X
3
х
а
Двухточечная условная лучевая концентрация
Рассмотренные выше условные плотности стохастических фрактальных процессов являются одноточечными, так как центр шара, в котором ведется подсчет частиц, помещается в одну точку {а} с координатами {ха}. В некоторых задачах космологии, например связанных с гравитационным линзированием (см., например, Барышев, Езова, 1997), возникает необходимость использования двухточечных условных концентраций, когда фиксируются две частицы {а, Ь} с координатами {ха, хь}. Переход от одноточечных к двухточечным условным плотностям в анализе фрактальных структур аналогичен переходу от двухточечных к трехточечным корреляционным функциям в анализе обычных стохастических процессов.
Для характеристики распределения частиц вдоль цилиндра, ось которого соединяет две точки структуры {а, Ь} С {хг, г = 1,..., Ж}, введем понятие двухточечной условной лучевой концентрации ПаЬ(т) стохастического фрактального процесса. Согласно космологическому принципу Мандель-брота частицы а и Ь статистически равноправны, следовательно, одноточечная условная концентрация частиц для каждой из точек дается выражением (5), которое пропорционально вероятности появления частицы на расстоянии т от фиксированной точки структуры. В случае двух независимых фиксированных точек структуры, находящихся на расстоянии гаЬ = |ха — хь\ друг от друга, событие С, состоящее в появлении частицы на расстоянии га отточки а и независимого появления частицы на расстоянии гь от точки Ь фрактальной структуры, дается объединением событий С = А У В, относящихся к каждой из фиксированных точек а и Ь. Отметим, что предположение о независимости событий А и В является первым простейшим шагом и может быть обобщено на зависимые события. Однако, как показало практическое применение метода цилиндров к реальным фрактальным структурам, предположение о независимости является достаточно хорошим приближением.
Рассмотрим случай, когда фрактальная структура находится на фоне дополнительного однородного пуассоновского процесса. Тогда двухточечная условная лучевая концентрация может быть представлена в виде суммы одноточечных условных концентраций на пуассоновском фоне:
ПаЬ (г) = Па(г) + Пь(гаь — т)+С =
РВ
4п
г°-3 1 аь
т
Гаь
Э-3
+ 1 —
аь
Э-3
+ Со
и радиус шара аь — с центром во второй точке, а постоянная В определяется из условия нормировки, учитывающего вклад однородного фона, задаваемого постоянными с и т0. Отметим, что в данной формуле элементы объема распределены вдоль отрезка аЬ ив этом смысле т является одномерной декартовой координатой.
В качестве оценки паь(т) может быть использована следующая статистика:
/ Жс(ха, хь,Т,Н, Д Г)\
ПаЬ^г) = { -зу^-^ = (9)
Nь
1
1
Жаь пЬ2Дт
пН2Дт т+Ат Н
{а,ь}
н(х)2пЬ йН йт,
(8)
где расстояние измеряется вдоль отрезка прямой, соединяющей частицы а и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.