ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 4, с. 3-13
УДК 550.831.017
МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ
© 2015 г. А. И. Кобрунов
Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта E-mail: aikobrunov@gmail.com Поступила в редакцию 04.12.2013 г.
Посвящается светлой памяти моего наставника академика Владимира Николаевича Страхова
Развивается метод решения обратных задач гравиметрии, основанный на функциональных представлениях, следующих из вариационных принципов в равномерной метрике относительно гео-плотностных моделей. Получены функциональные представления как для линейной задачи — изучение локального распределения плотности, так и нелинейной — изучение системы структурных моделей. Для расчета геоплотностных моделей на введенных функциональных представлениях для частных случаев выведены явные формулы с использованием спектральных представлений нахождения решений; в общем случае сконструированы сходящиеся итерационные процессы, доставляющие решение, как для моделей распределения плотности, так и моделей структурного типа. Установлена связь между функциональными представлениями, реализующими вариационный принцип в равномерной метрике, и линейными интегральными представлениями, соответствующими оптимизации в квадратичной норме, и другими известными моделями плотности.
Ключевые слова: гравиметрия, обратные задачи, вариационный принцип, равномерная оптимизация, квадратичные функционалы, линейные задачи, структурные задачи, линейные интегральные представления, функциональные представления, спектральные представления решений, итерационные процессы, параметр релаксации, эквивалентные решения.
БО1: 10.7868/80002333715030072
ВВЕДЕНИЕ
Вариационные принципы, сформулированные относительно параметров геоплотностной модели геологической среды при решении обратной задачи гравиметрии, обеспечивают единственность ее решения, согласование параметризаций модели поля и модели среды и, самое главное, удобный и корректный способ выражения постоянно дополняемой и корректируемой априорной информации в многошаговом процессе геологической интерпретации гравиметрических данных. Это обеспечивается за счет того, что сформулированному вариационному принципу, дополненному уравнениями, связывающими геоплотностную модель и наблюдаемые компоненты гравитационного поля в выбранной его параметризации (поточечно заданного, заданного в подобластях или заданной системы функционалов от значений поля), соответствует уравнение Эйлера, служащее аналитическим представлением для искомого решения обратной задачи. Наиболее известным таким представлением служат развитые В.Н. Страховым [Страхов, 1990; 1991] в
90—91 годах линейные интегральные представления для решений обратной задачи гравиметрии.
Метод линейных интегральных представлений основан на минимизации квадратичного функционала относительно искомого распределения плотности. Полученные представления имеют особый аналитический мир, связанный с пространством гармонических функций, и состоят в выражении решения в виде линейной комбинации произведений заданных весовых и системы гармонических функций [Кобрунов, 2012]. Для моделей сред, содержащих внутренние фрагменты, их изучение и локализация с помощью аппроксимации гармоническими функциями оказывается затруднительной, поскольку гармонические функции не позволяют аппроксимировать распределения плотности, имеющие локальные экстремумы внутри изучаемой области.
Тем не менее, развитие методов решения обратных задач гравиметрии, основанных на вариационных принципах, несомненно обладают преимуществами в сравнении с другими постановками, например, уже потому, что влечет автоматическое
согласование параметризацией моделей среды и заданных компонент поля посредством функций и множителей Лагранжа. Это развитие имеет своей целью, во-первых, распространение применимости вариационных принципов и на нелинейные задачи, что существенно расширит круг приложений. Во-вторых, выйдя за рамки квадратичных функционалов, обеспечит "управление свойствами" искомого решения в форме параметров минимизируемых функционалов, добившись, тем самым, наследования в представлениях не специфических аналитических (например, гармонических), а содержательно-геологических свойств, продиктованных реально имеющимися данными об априорных моделях. Это особо важно в связи с пониманием интерпретационного процесса как многошагового, с последовательно уточняемой и дополнительно появляющейся априорной информацией об изучаемой геоплотностной модели, для чего необходим аппарат ее адекватного выражения в форме параметров минимизируемого функционала в соответствующем вариационном принципе.
В этой связи актуальной задачей служит развитие аппарата получения представления (функциональных представлений) решений обратной задачи гравиметрии как в линейном, так и нелинейном случае, реализующих вариационный принцип в равномерной метрике. Подобного вида вариационные принципы возникают в связи с задачами нахождения решений, обеспечивающих максимум функции взаимной корреляции с заданными моделями. Это очень важный класс вариационных критериев. Фрагментарно отдельные вопросы, связанные с развитием метода функциональных представлений, рассматривались и ранее [Новоселицкий, 1980; Кобрунов, 1981-1988], однако необходимо концентрированное и систематическое рассмотрение вопроса, лежащего в основе эффективных технологий интегрированного анализа гравиметрических данных.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В РАВНОМЕРНОЙ МЕТРИКЕ
Рассматриваются объемные плотностные модели в заданной области К нижнего полупространства, описываемые либо распределением плотности о(у), V = {х, у, г} е V с Е_ = {-да < х, у < да, 0 < г < да}, либо системой из ^-плотностных границ с уравнениями г = /1 (х, у), I = 1-Й, {х, у} е Е0 = = {-да < х, у < да} как функциями пространственных координат, разделяющих пласты заданной известной плотности I = 1-Й - 1, возможно, зависящей от горизонтальных координат 5 = {х, у}. Ключевую роль при выводе представлений для ре-
шений обратной задачи гравиметрии в методе функциональных представлений, так же как и в методе линейных интегральных представлений, играет функционал, минимизируемый на пространстве возможных решений обратной задачи. В методе линейных интегральных представлений В.Н. Страхова таким функционалом J [а] служит
квадратичный J [а] = ||Q(v)a(v)||^^ с весовой функцией Q(v), который естественным образом обобщается до ||Qa(v)||^^, где Q — линейный замкнутый оператор: L2 (V) ^ L2 (V). Задача состоит в его минимизации:
приводящей к появлению в качестве решений
трансформаций обратным к Q оператором Q-1 гармонических функций. Требование замкнутости Q имеет причиной то, что важен на самом деле не
сам оператор Q, а оператор к нему обратный Q-1, который, во-первых, должен существовать и, во-вторых, по возможности, быть ограниченным. Но их одновременная ограниченность — чрезмерно жесткое условие, выполненное лишь для весьма простых ситуаций — например, тогда, когда Q — функция, нигде не обращающаяся в ноль и играющая роль весового множителя.
В отличие от метода линейных интегральных представлений, в методе функциональных представлений базовым вариационным принципом служит минимизация трансформации искомого распределения в равномерной норме, или норма в пространстве C (V):
G [а] = \\Fa(v)\\ = sup|Fa(v)| ^ min, (2)
veV
где F — линейный замкнутый оператор, действующий из некоторого функционального пространства Xв C(V) и имеющий обратный. Примером такого оператора может служить расчет свертки по горизонтальным координатам с выбранной функцией, зависящей от априорных представлений о строении модели. Это совершенно иной, отличный от (1) — поточечный принцип оптимизации, близкий по своей сущности к требованиям максимизации функций взаимной корреляции между двумя объектами.
Для структурной модели среды формулировка вариационных принципов, приводящих к интегральным и функциональным представлениям, вводится по аналогии с (1) и (2).
Введем N линейных замкнутых операторов Fi, действующих из некоторого функционального пространства функций двух переменных, например L2(S), в пространство L2(S) n C(S). Здесь S — проекция области V, в которой распределены источники на плоскость E0. Аналогом вариационного принципа (1) для случая структурных моделей служит:
N
ХИАШЦ^). (3)
i1
Здесь Af(s) уклонение искомых границ f(s) от заданных к ним нулевых приближений f (s):Af(s) =
= f(s) - f'(s).
Аналогом вариационного принципа (2) для структурных моделей, приводящего к функциональным представлениям, служит:
||FAf(s)||cn(S) = sup \FiAfi(s)\ ^ min. (4)
i=1-N
seS
В отличие от линейных задач, представление для решения (3) также является интегральным, но не является линейным [Кобрунов, 1979]. Представление же для решения (4), несмотря на нелинейность ограничений, связанных с уравнениями для наблюдаемой компоненты гравитационного поля, линейно, но не интегрально [Кобрунов, 1988].
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИИ
Обратная задача гравиметрии как задача поиска распределения плотности в заданной области нижнего полупространства по вертикальной производной гравитационного потенциала uz(x0,y0,z0), заданного в точках {x0, y0, z0}, соответствует интегральному уравнению:
Ш_G(x, y, z)(z - Zp)dv ^ =
V [(( - x0)2 + (y - У0)2 + (z - z0)2] (5)
= Uz(X0, У0, Zq) Y '
которое обозначаем сокращенно
Av o(v) = u(v q) , (6)
где у — гравитационная постоянная; v0 — точки задания поля в правой части (5).
Определимся с тем, как следует рассматривать заданным поле при характеристике свойств решений обратных задач, соответствующих введенным вариационным принципам.
Считаем, что область ¿0 задания и., (х0, у0, г 0) целиком находится в верхнем полупространстве Е+ (г0 < 0) и и(у0), определенная на Б0, принадлежит области значений оператора (6). Обозначим Ои^, Ау) = {стИ е Х:Ауф) = и(^), vo е ¿0}. Это класс эквивалентности для (6), определенного на Б0. Очевидно, что два класса эквивалентности для одного и того же ¿0 либо совпадают, либо не пересекаются. Если ¿0 ^ Б2 то и ^и(Б02, Ау) с Ои(5"
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.