ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2013
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА, ДИАГНОСТИКА, ИСПЫТАНИЯ
УДК 534.01
© 2013 г. Бедный И.А.
МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ЗУБЧАТОГО КОЛЕСА ПО ПОКАЗАНИЯМ ОДНОГО ВИБРОДАТЧИКА
Предлагается расчетно-экспериментальный метод определения параметров вынужденных колебаний зубчатых колес редукторов, уточнения инерционно-жесткостных параметров и идентификации амплитуд сил возбуждения колебаний с использованием математической модели колебаний механизма. Апробация результатов расчета производится по результатам экспериментальных данных, полученных с использованием одного вибродатчика, расположенного на вращающемся зубчатом колесе.
Колебательный процесс в механизмах с зубчатыми передачами является одной из основных причин, влияющих на качество виброакустических характеристик механизма. С целью исследования амплитудно-частотных характеристик, спектров и форм колебаний механизма, а также амплитуд переменных внешних сил, проводятся измерительные работы с применением вибродатчиков и соответствующей аппаратуры.
Одним из методов исследования форм колебаний зубчатых колес редукторов является измерение параметров колебаний колес путем установки двух тангенциально расположенных вибродатчиков на максимально возможном расстоянии от оси вращения зубчатого колеса.
На рис. 1 показана схема установки двух вибродатчиков на зубчатом колесе. Стрелками показаны оси наибольшей чувствительности вибродатчиков. В случае относительно небольшой ширины зубчатого колеса обычно ограничиваются исследованием колебаний в системе трех координат x, у, ф, т.е. в плоскости колеса. Такая схема измерений позволяет определить раздельно амплитуды поворотных (крутильных) и линейных (поперечных) колебаний колеса: Aкр = (А: + A2)/2, Aп = (А: — A2)/2, где A1, A2 — измеренные амплитуды колебаний первого и второго вибродатчиков; Aкр, Aп — амплитуды крутильных и максимальных поперечных колебаний зубчатого колеса.
Вместе с тем определить направление оси максимальных поперечных колебаний и амплитуды колебаний колеса вдоль неподвижных осей X, У (рис. 1) не представляется возможным, так как угловое положение вибродатчиков при вращении колеса не фиксируется.
При проведении измерений по такой схеме наблюдали случаи аварийного отключения измерительного канала одного из вибродатчиков. В этом случае использование показаний одного действующего вибродатчика, установленного на вращающемся колесе, для разделения форм колебаний аппаратурным способом может стать неразрешимой проблемой.
3* 67
Рис. 1
4
Рис. 2
///
О
Тем не менее эту проблему можно решить с использованием математической модели вынужденных колебаний зубчатой передачи с апробацией полученного решения по результатам показаний одного вибродатчика. На рис. 2 показана динамическая модель зубчатой передачи реального двухступенчатого редуктора переборного типа, при испытаниях которого произошел отказ одного канала измерительного комплекса. Вследствие такой аварийной ситуации была получена одна амплитудно-частотная характеристика только с одного вибродатчика, установленного на зубчатом колесе 2.
Динамическая модель состоит из шести роторов, четыре из которых зубчатые колеса (1—4), шестнадцати элементов жесткости подшипников и двух элементов жесткости зубчатых зацеплений первой и второй ступеней редуктора. Роторы представлены в виде твердых тел, элементы жесткости подшипников и зубчатых зацеплений в виде безмассовых пружин; валы, соединяюшие зубчатые колеса 2 и 3, а также роторы привода и нагрузки с колесами 1 и 4 — в виде элементов с распределенными параметрами (в виде упругих балок круглого сечения). Потери на трение задавали во всех элементах жесткости. Возбуждение колебаний задавали переменными силами с частотой пересопряжения зубьев, приложенными к зубчатым колесам 1 и 2 по линии зацепления. Колебания каждого колеса рассматривали по трем координатам х, у, ф, а роторов привода и нагрузки — по поворотной координате ф. Математическая модель стационарных вынужденных колебаний динамической модели состояла из системы четырнадцати линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд роторов в их системах координат. В результате решения этой системы уравнений получается вектор амплитуд перемещений относительно неподвижной системы координат динамической модели.
Рассмотрим колебательное движение зубчатого колеса 2 с зубцовой частотой первой ступени редуктора. Оно складывается из двух независимых поперечных колебаний вдоль осей X, У и поворотного колебания относительно оси 2.
Вибродатчик, который вращается вместе с колесом, фиксирует в каждый момент времени геометрическую сумму поперечных смещений центра колеса и суммирует ее с тангенциальным смещением колеса на радиусе установки вибродатчика. Известно, что траектория суммарного колебания относительно двух ортогональных осей представляет собой эллипс [1, 2]. Измерительная аппаратура фиксирует максимальный сигнал вибродатчика, состоящий из максимальной суммарной амплитуды поперечных колебаний колеса, соответствующей большой полуоси этого эллипса, и амплитуды крутильных колебаний колеса с учетом фазовых соотношений этих форм колебаний.
Таким образом, чтобы решить задачу о разделении форм колебаний зубчатого колеса с использованием показаний одного вибродатчика, а также провести идентификацию значений амплитуд поперечной и крутильной форм колебаний и амплитуды силы возбуждения колебаний, необходимо провести следующие действия: определить расчетным путем с использованием математической модели механизма амплитуды и фазы поперечных и крутильных колебаний зубчатого колеса, на котором установлен вибродатчик; определить максимальную суммарную по двум ортогональным осям амплитуду поперечных колебаний зубчатого колеса; просуммировать максимальную амплитуду поперечных и амплитуду крутильных колебаний; сравнить полученный ре-
2
2
1
зультат с показанием вибродатчика и, в случае существенного несоответствия, оптимизировать параметры динамической модели механизма по критерию наименьшего расхождения результатов расчета с показаниями вибродатчика.
Текущее значение смещения центра колеса в системе координат X, Y
xt = x0cos (юг + ф1), yt = y0cos (ю t + Ф2),
где x0, y0 — амплитуды колебаний колеса вдоль неподвижных осей; фь ф2 — начальные фазы; ю — круговая частота пересопряжения зубьев. Суммарная амплитуда поперечных колебаний колеса
A (t) = VXf+y?. (1)
Экстремальное значение A(t), которое зависит от величины мгновенной фазы юt можно найти численным методом и двумя аналитическими.
1. Вычисление суммарной амплитуды по формуле (1), задавая текущее значение юt с выбранным шагом.
2. Определение значения большой полуоси эллипса как траектории движения центра колеса.
3. Исследование подкоренного выражения формулы (1) на экстремум, приравняв нулю первую производную от подкоренного выражения по времени.
В качестве примера приведем использование аналитического метода 3. Для этого запишем подкоренное выражение в развернутом виде и сгруппируем подобные члены
2 2 2 2 2 2 A (t) = cos юt(x0cos ф1 + y0cos Ф2) -
- 2sinюtcosюt(x0sinф1cosф1 + y0sinф2cosФ2) + (2)
.2 ,2.2 2.2 + sin ю t(x0sin Ф1 + J0sin Ф2).
Запишем выражения производных по времени для функций, содержащих параметр t
2 2 2 (cos юt), = -2юsinюtcosюt, (sinюtcosюt)' = ю(cos юt - sin юt),
2
(sin ю t)' = 2 ю sin ю tcos ю t.
Подставим значения производных в выражение (2) и приравняем его нулю. Сгруппируем подобные члены и запишем комбинации тригонометрических функций через двойной угол
2 2 2 2 sin2юt( x0cos2ф1 + y0cos2 ф2 ) + cos2юt( x0sin2 ф1 + ус^ш2ф2) = 0.
Отсюда
2 2 2 2
x0sin2 ф, + y0sin2 ф2 i x0sin2ф1 + y0sin2 ф2
tg 2 ю t = --2--^, юt = - 2 arctg -0-—1——2-^. (3)
x0cos2 ф1 + y0cos2ф2 2 x0cos2ф1 + y0cos2 ф2
Подставив выражение для юt из (3) в (1), получим экстремальное значение амплитуды поперечного смещения зубчатого колеса.
Следует вычислить экстремальные значения амплитуды по двум ортогональным направлениям, которые определяются фазами ф:, ф2 и (ф: + я/2), (ф2 + я/2), затем выбрать наибольшее значение. Угол наклона большой полуоси эллипса траектории центра зубчатого колеса в его системе координат (рис. 1)
9 = arctg (yt/xt) при A (t) = Amax.
Определив расчетным путем максимальную амплитуду поперечных колебаний зубчатого колеса и амплитуду крутильных колебаний, можно определить максимальную
Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики зубчатого колеса 2: 1 — эксперимент, 2 — расчет; A — амплитуда колебаний по ускорению, п/пш^ — значения нагрузочно-скоростного режима работы механизма
амплитуду колебаний колеса в тангенциальном направлении в месте установки вибродатчика, т.е. по оси максимальной чувствительности вибродатчика [1]
I 2 2
= Л/Ашах + Акр + 2АшахАкр С0^ Ф,
где — амплитуда в месте установки датчика; ф = фшах — фкр — разность фаз максимальных поперечных и крутильных колебаний; Aшax — амплитуда максимальных поперечных колебаний; Aкр — амплитуда крутильных колебаний колеса на радиусе установки вибродатчика; Aкр и фкр — принимаются из расчета математической модели.
Начальная фаза суммарного поперечного колебания фшах определяется по формуле [3, 4]
\osin ф1 + Уо ф2
^ Фшах = -.
x0cos Ф: + y0cos Ф2
Приведенный метод был применен для определения параметров вынужденных колебаний, а также для идентификации значений инерционно-жесткостных параметров и амплитуд возмущающих сил реального механизма. Результаты расчетов были апробированы путем сравнения с результатами измерений, полученными с использованием одного вибродатчика, установленного на вращающемся зубчатом колесе (рис. 2). Результаты апробации приведены на рис. 3, где показаны расчетная и экспериментальная амплитудно-частотные характеристики зубчатого колеса в направлении оси чувствительности вибродатчика.
Сравнение этих характеристик показывает достаточно хорошее совпадение в широком диапазоне режимов работы механизма.
Предложенный метод позволяет произвести разделение поперечных и крутильных форм колебаний зубчатого колеса, определить максимальную амплитуду поперечных колебаний и направление
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.