ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН Том 8, № 4, 2012, стр. 20-26
= ФИЗИКА
УДК 621.382.01
МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ НА ОСНОВЕ ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА
© 2012 г. Б.Г. Коноплев12, Н.К. Приступчик1, Е.А. Рындин2
Предложен метод моделирования преобразователей перемещения на основе туннельного эффекта, обеспечивающих высокую чувствительность интегральных МЭМС регистрации линейных ускорений. Основу метода составляет численное решение стационарного уравнения Шредингера для системы электрод-вакуум-электрод. Кроме того, обсуждаются вопросы применения квазиклассических методов моделирования квантового транспорта к моделированию туннельных преобразователей перемещения.
Ключевые слова: преобразователь перемещения, туннельный эффект, наносистема.
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТУННЕЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Уменьшение характеристических размеров микроэлектромеханических систем (МЭМС) регистрации линейных ускорений связано с необходимостью использования преобразователей перемещения, характеризующихся высокой чувствительностью в наномасштабе. Одним из эффективных путей повышения чувствительности акселерометров является использование преобразователей перемещения на основе туннельного эффекта [1].
Под туннельным преобразователем перемещения понимается система, состоящая из подвижного и неподвижного электродов, разделенных пространственным зазором, величина которого составляет единицы нанометров и обеспечивает протекание туннельного тока между электродами, включенными во внешнюю цепь. Изменение взаимного расположения электродов обеспечивается передачей движения в МЭМС под действием внешних сил и приводит к изменению плотности туннельного тока в текущий момент времени.
Целью настоящей работы является создание метода моделирования туннельных преобразователей перемещения микроэлектромеханических систем (МЭМС) с нанометровыми пространственными зазорами.
Туннельный эффект, лежащий в основе функционирования преобразователя перемещения, явля-
1 Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, 347928, Ростовская область, Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44; тел. 8 (8634) 37-17-67, e-mail: kbg@tti.sfedu.ru
2 Южный научный центр РАН, 344006, Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41; e-mail: rynenator@gmail.com
ется проявлением квантового транспорта, причем характер движения носителей заряда определяется электронной энергетической структурой системы электрод-вакуум-электрод.
На рисунке 1 приведена параметрическая модель туннельного преобразователя перемещения. Неподвижный и подвижный полупроводниковые электроды закреплены на изолирующей подложке и разделены пространственным зазором d. Перемещение подвижного электрода обеспечивается за счет упругой деформации подвеса, выполненного в виде консольной балки длины Ь, ширины w и толщины I. Ось чувствительности данного преобразователя проходит через центр симметрии неподвижного электрода и перпендикулярна плоскости подложки. Условимся считать неподвижный электрод эмиттером, а подвижный -коллектором.
В том случае, когда имеет место соотношение d % I < w и можно пренебречь краевыми эффектами, задача о построении электронной энергетической структуры преобразователя перемещения сводится к построению одномерного распределения потенциала системы коллектор-вакуум-эмиттер вдоль оси чувствительности.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ РЕЛЬЕФ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОД-ВАКУУМ-ЭЛЕКТРОД
Потенциальный рельеф системы, приведенной на рисунке 1, может быть представлен суперпозицией потенциальных энергий взаимодействия носителей заряда с эмиттером, коллектором, а также электростатическим полем в зазоре, обусловленным разностью потенциалов электродов.
д. Ф* 1 п 2 П;
(2)
игЬ (х) = Ф„
а
е1х + 7I-11 - Нх -2
а I
, (4)
ти, ограниченном поверхностями электродов, а также уравнения Пуассона в областях электродов:
иЬР (х) =
ди . ди
а
X
X
е
I - е( х - а
ди$х+-Ц, (5)
Рис. 1. Параметрическая модель туннельного преобразователя перемещения
Рассмотрим систему, состоящую из одного электрода и свободного пространства. Принимая энергию электрона в вакууме и границу раздела электрод-вакуум за начало отсчета, потенциальный рельеф можно выразить следующим образом [2]:
и(х) = Фш/ ■ (Н(х) - 1), (1)
где ф/ - работа выхода, Н(х) - функция Хэви-сайда.
Работа выхода определяется выражением [3]:
где ди - разность потенциалов электрода-эмиттера (неподвижный электрод на рис. 1) и электрода-коллектора (подвижный электрод на рис. 1).
Таким образом, суперпозиция правых частей выражений (4), (5), представляющая собой математическую модель системы электродов преобразователя перемещения без учёта влияния сил изображения, описывается выражением
и(х) = игЬ(х) + иЬр(х). (6)
Для того чтобы учесть влияние взаимодействия между туннелирующим электроном и электродом-эмиттером, которое в присутствии внешнего электростатического поля приводит к снижению работы выхода (эффект Шоттки), необходимо модифицировать выражение (4):
а
исЬ (х) = Ф„/
е
2 -1 р - е(х-2
>( х - 2 I
+
где | - сродство к электрону, Ф^ - ширина запрещенной зоны, Фг - температурный потенциал; п - концентрация электронов, п1 - собственная концентрация.
В том случае, когда и(х) < 0, частица считается связанной в твёрдом теле, в противном случае, и(х) > 0, частица считается свободной.
Потенциальный рельеф, соответствующий системе вакуум-электрод, по аналогии с (1) может быть представлен следующим образом:
и2(х) = - Ф^е(х). (3)
Выражение (3) описывает симметричную по отношению к (1) функцию.
Потенциальный рельеф системы электрод-вакуум-электрод, соответствующей туннельному преобразователю перемещения, с учетом (1-3) описывается выражением
+ и с (х) + и с (х), (7)
где ис(х) - поправочная функция, выражающая взаимодействие электрона с поверхностью подвижного электрода; игс(х) - поправочная функция, выражающая взаимодействие электрона с поверхностью неподвижного электрода.
Поправочные функции и1с(х) и игс(х) имеют вид
-2 ' а
и ¡с (х ) = - V
игс (х ) = -0-
е
е
х + р
2
е
(8)
(е(х-а)
-1
(9)
х - р \ \ 2 где р - параметр, определяемый из соотношения
- V ■
~Фм>/
и характеризующий протяженность
поверхностного слоя, в котором электрон ещё счи-
1
тается связанным в твердом теле; V
4ге,
- коэф-
где а - расстояние между электродами.
Для того чтобы учесть взаимодействие электрона с электростатическим полем, обусловленным разностью потенциалов электродов преобразователя, необходимо построить суперпозицию правой части уравнения (4), решения уравнения Лапласа в облас-
фициент для системы физических величин (СИ).
Выражение, учитывающее взаимодействие носителей заряда с электродами, имеет вид
и(х) = исЬ(х) + иЬр(х). (10)
На рисунке 2 приведен график суперпозиции (10) с учетом (7)-(9).
-1,5 -2 -2,5
> -3
Г
-3,5 -4 -4,5
| Д[/=200МВ,Й( = 2нм|
v
-40 -30 -20 -10
О
X, нм
10 20 30 40
Рис. 2. Потенциальный рельеф системы с учетом взаимодействия носителей заряда с электродами
Таким образом, выражения (2)-(6) и (7)—(10) представляют собой идеализированную и уточненную модели энергетической структуры преобразователя перемещения, параметрами которых являются работа выхода разность потенциалов АП, приложенная к электродам преобразователя, а также расстояние между электродами С, определяющее конфигурацию преобразователя в текущий момент времени.
МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ТУННЕЛЬНОМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Известно, что плотность тока, обусловленная туннелированием носителей заряда из эмиттера в коллектор через наноразмерную структуру, может быть выражена следующим образом [4]:
ЛАП)
-ет к0 Т 2 г2'3
■X
X I ОеС 1п
1+ехр[Е - ВЖкоТ)]
1+ехр[Е - Ех - Аи)/(коТ)]
СЕх
прозрачности обусловливается формой потенциального рельефа, вид которой определяют работа выхода и расстояние между электродами.
На основании соотношения неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени АЕ • Аt > > Н постоянные времени, характеризующие инерционность процесса туннелирования электронов с неопределенностью по энергии порядка единиц электронвольт, составляют величину порядка 10-15 с. Поскольку изменение потенциальной энергии системы электродов преобразователя, обусловленное изменением конфигурации электродов, характеризуется значительно большими постоянными времени, движение носителей заряда в системе электродов преобразователя может быть описано стационарным уравнением Шредингера [2]:
'2 д2¥(х) 2т дх2
П(х) ¥ (х )= Е¥ (х), (12)
(11)
где к0 - постоянная Больцмана, Т- абсолютная температура, е - заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Н - приведенная постоянная Планка, ЕР - уровень Ферми, Ех - кинетическая энергия, связанная с движением электрона вдоль оси х, Аи - разность потенциалов эмиттера и коллектора, Оес - коэффициент прозрачности.
Таким образом, для вычисления плотности туннельного тока необходимо вычислить функцию прозрачности потенциального барьера Оес = Б(АЕ), где АЕ - разность между текущим и минимальным разрешенным значением полной энергии носителей заряда. Следует отметить, что коэффициент
где ¥(х) - волновая функция, П(х) - потенциальный рельеф, х - координата, Е - полная энергия частицы, т - масса электрона.
Аналитическое решение уравнения (12) возможно построить лишь в случае, когда потенциальный рельеф и(х) задан на множестве последовательных отрезков, на каждом из которых значение потенциальной энергии постоянно. Известно, что уже в случае потенциального барьера треугольной формы коэффициент прозрачности вычисляется приближенно [5].
Следует отметить, что для моделирования туннельного транспорта электронов в преобразователях перемещения с нанометровыми зазорами применение уравнения Фаулера-Нордгейма [2] некорректно, поскольку оно не учитывает взаимодействия туннелирующего электрона с поверхностью электрода коллектора, обусловливающего качественное изменение формы потенциального рельефа преобразователя в областях электродов (потенциальные ямы вблизи границ электрод-вакуум на рис. 2), что в ряде случаев заметно сказывается на величине
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.