ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 437, № 1, с. 9-15
МАТЕМАТИКА
УДК 532.5
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ РАЗРЫВА МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
© 2011 г. П. Е. Карабут, В. В. Остапенко
Представлено академиком В.П. Дымниковым 06.05.2010 г. Поступило 14.10.2010 г.
Задача о распаде разрыва для гиперболических систем законов сохранения [1—5] является одной из наиболее распространенных при получении и качественном анализе автомодельных обобщенных решений, на которых тестируются разнообразные численные методы. Однако однозначная разрешимость этой задачи для начального разрыва произвольной амплитуды доказана для достаточно узкого класса гиперболических систем, таких как системы законов сохранения газовой динамики [2] или первого приближения теории однослойной мелкой воды [3—5]. В [1] для произвольной сильно нелинейной гиперболической системы теорема об однозначной разрешимости задачи о распаде разрыва доказана для начального разрыва достаточно малой амплитуды. В [3] приведено обобщение этой теоремы на случай строго гиперболической системы, имеющей линейно вырожденные характеристические поля. Основной недостаток этой теоремы заключается в том, что она не дает явного алгоритма для построения соответствующего автомодельного решения.
В настоящей работе предлагается метод последовательных приближений для построения решения задачи о распаде разрыва малой амплитуды. В линейном приближении этого метода получается задачи Коши для линейной гиперболической системы. Ее решение представляет собой линии разрыва, разделенные областями, в которых решение является постоянным. Основное внимание уделяется первому и второму приближениям этого метода, в рамках которых разрывы, получаемые в линейном приближении, разделяются на устойчивые ударные волны и волны разрежения. В качестве конкретного примера проведен анализ качественно различных режимов течения, возникающих при решении задачи о разрушении
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Новосибирский государственный университет
плотины для модели двухслойной мелкой воды со свободной границей.
1. Рассмотрим квазилинейную систему законов сохранения
и + Ц и )х = 0,
(1)
где и(х, 0 — искомая, а 1(и) — заданная гладкая вектор-функции, зависящие от п компонент. Предположим, что система (1) является строго гиперболической [5], т.е. матрица А(и) = Ги имеет п различных действительных собственных значений А,;(и). В этом случае невырожденными являются матрицы Я(и) = (г1, г2,..., гп) и Ди) = (I1, I2, ..., 1п)г, составленные из правых г' = г'(и) и левых 1' = 1(и) собственных векторов матрицы А(и), где Аг; = \р1, 1'Л = А.,1'.
Рассмотрим для системы (1) задачу о распаде разрыва малой амплитуды, т.е. задачу Коши со следующими кусочно-постоянными начальными данными
, пч I и, X < 0, \ г Л и(х, 0) = < |и - и | = 2 б < 1,
Iиг, х > 0,
' г
и, и = сопб1.
(2)
В работах [1—5] доказана теорема о том, что при достаточно малом б задача о распаде разрыва (1), (2) имеет единственное автомодельное решение, состоящее из ударных волн, волн разрежения и контактных разрывов, разделенных областями, в которых решение является постоянным. В настоящей работе предлагается приближенный метод нахождения этого решения, связанный с построением его разложения по параметру 6.
2. Первое приближение решения задачи (1), (2) по параметру 6 будем искать в виде и1(х, 1) = и0 + + 6У1(х, 1), где в качестве начального приближения
I г
возьмем постоянную функцию и0 = —-— . Подставляя разложение и1 в систему (1) и начальные условия (2), в первом приближении по параметру
6 получим, что функция у1 представляет собой решение линейной системы
-1 + ^ = 0,
д t dx
Ao = A( Uo), удовлетворяющее начальным условиям
re, x < 0,
(3)
vi(x, 0) =
-e,
x > 0,
(4)
e =
u - U
2б
^ leí = 1.
Как показано в [2, 5], это решение зависит только от автомодельной переменной = х и в общем случае
представляет собой п сильных разрывов, распространяющихся вдоль лучей х = ц/, = Х;(и0). Вне этих разрывов решение у^) принимает постоянные значения
М^) = ук1 = , ьцк +1),
к = 0, 1
к
, , ,п, ^0 = , И« +1 = +да, ш = (-®1, -®2, ..., -юк, юк + 1, ...,ю«),
e e e e ч r
ш = (Ю1, Ю2, ..., ю«) = L0e,
где R = R(u0), L0 = L(u0). В частности v1 = e, v« = —e.
3. Используя квазилинейность исходной гиперболической системы (1), получим условия, которые среди разрывов, возникающих при решении линейной задачи (3), (4), выделяют те, которые в первом приближении переходят в устойчивые ударные волны и центрированные волны разрежения. Обозначим через uk значение решения задачи (1), (2) в области его постоянства между волнами индекса k и k + 1, а через [f (u)]k = =f (uk -1) — f (uk) — скачок функции f (u) при переходе через линию разрыва индекса k. Будем предполагать, что имеют место разложения
к к 2 к 3 к 4ч
U = U0 + 6v1 + 6 v2 + 6 v3 + O(6 ),
к = 1, 2, ..., n - 1, используя которые получим
[Хк(u)]к = ^к(ик-1) - h(ик) = = бФк+б2 Фк+63 Ф3+о(б4),
(5)
(6)
где
Фк = уХ, Фк = VX° [ v2 ]к + 2 [ ] к,
Ук = ^к( U0) = VXkpk, ¥к( и) = VXk (и) гк( и), VX° = VX (U0), V2Xk = VVXtH), рк = гк(и0).
Явный вид функции фк приводить не будем.
Теорема 1. При условиях (5) выполнение неравенства фк > 0 (фк < 0) необходимо и достаточно, для того чтобы разрыву индекса к, получаемому в линейном приближении, при достаточно малом 6 соответствовала устойчивая ударная волна (центрированная волна разрежения) индекса к квазилинейной задачи (1), (2).
Доказательство с учетом разложения (6) следует из того, что на устойчивом разрыве индекса к, переходящем в ударную волну, с точностью до 0(б2) выполнено неравенство
[Хк (и)] к = бУХ°[ VI ]к = бУ4Ло[ ю ]к =
= рк[®к]к = 2б^к«к > 0
а при выполнении на разрыве противоположного неравенства он является неустойчивым и переходит в волну разрежения.
В теореме 1 не рассмотрен случай фк = 0, который возможен при условии ук = 0, означающем, что характеристическое поле индекса к при и = и0 является линейно вырожденным [1]. Если при этом
«к Ф 0, то тогда в первом приближении по параметру е разрыв индекса к является контактным. Если же «к = 0, то в первом приближении волна индекса к отсутствует.
4. Обозначим через А1 множество индексов линий разрывов х = для которых выполнено неравенство Ф^ > 0, через А2 — неравенство фк < 0, через А3 — условия фк = 0, «к Ф 0 и через А4 — равенство «к = 0. Линия разрыва индекса к е А1 переходит в ударную волну исходной задачи (1), (2). Будем предполагать, что для скоростей Лк этих ударных волн имеет место разложение
Бк = Бк + 6^ + б2 Бк + 0(63), Бкх = цк. (7)
Подставляя в условия Гюгонио ^к[и]к = [!(и)]к системы (1) разложения (5), (7) и приравнивая после этого коэффициенты при б2, получим
[]кБ2+(л - ЦкЕ)(А - -1) = 1 [Мо/оч
2 (8)
к е А1,
где В0 = ^(ие).
Из условия постоянства в центрированной волне понижения (к е А2) при переходе через контактный (к е А3) и вырожденный (к е А4) разрывы соответствующих наборов из (п — 1)-го независи-
мого первого интеграла во втором приближении по параметру б получим
s'(V2 - vk-1) = 1 [Vi,
i = 1, 2, ..., k - 1, k + 1, ..., n,
k e A2 u A3 u A4,
(9)
5
u(%^) - U0 = Jr(u(n))dn.
(10)
Подставляя разложение и(£,) = и0 + 6У1(^) + 62у2(£,) + + 0(63) в уравнение (10) и учитывая, что при к е Л2 в центрированной волне шах|£, — ц| = 0(6), в пер-
вом и втором приближении по параметру б последовательно найдем
=
Р, ^2
= Г 2p0jp
U2 = Uo + (% - y)P + (% pUp,
где 8к = 1к(и0), 50 = 1и (и0). Поскольку при к е Л4 разрыв индекса к в линейном приближении отсутствует, т.е. [у1]к = 0, то в этом случае правые части уравнений (9) обращаются в нуль. С учетом
того, что у2 = v2 = 0, соотношения (8), (9) образуют замкнутую линейную систему из п(п — 1) + [Л1] скалярных уравнений, где [Л1] — количество элементов в множестве Л1, для нахождения скалярных Бк2, к е Л1, и векторных у2 , к = 1, 2,., п — 1, параметров второго приближения.
После решения системы (8), (9) с учетом знака
2
функции Фк, входящей в разложение (6), разделим множества контактных (к е Л3) и вырожденных (к е Л4) разрывов, возникающих в первом приближении, на ударные волны (к е Л31 иЛ41), для ко-
2
торых Фк > 0, волны разрежения (к е Л32 и Л42), для
2
которых Фк < 0, контактные разрывы (к е Л33 иЛ43),
2
получаемые при условиях Фк = 0, [и2]к Ф 0, и вырожденные разрывы (к е Л44), получаемые при условии [и2]к = 0. В результате множества Л3 и Л4 разобьются на следующие непересекающиеся подмножества Л3 = Л31 и Л32 и Л33 и Л4=Л41 и Л42 и Л43 и Л44.
5. Предположим, что к е Л2 иЛ32 иЛ42 и тем самым линия разрыва индекса к линейной задачи (3), (4) переходит в волну разрежения квазилинейной задачи (1), (2). Разложение решения внутри этой волны строится независимо от его разложения вне ее. Внешнее разложение влияет только на положение границ волны разрежения. Далее в этом разделе индекс к будем опускать, а для значений решения слева и справа от волны разрежения введем временные обозначения и0 = ик -1 и и1 = ик. Решение в центрированной волне разрежения определяется уравнениями и = г (и), = ^(и), где
г (и) = ^^ )), из которых с учетом того, что Ци,) = ц,
следует интегральное уравнение
где p =
Р = Р (Uo) = ^ = P , Р0 = Pu (Uo).
При к е Л32 и Л42 в центрированной волне шах|£, — ц| = 0(62). Если к е Л32, то ¥(и0) = у = 0 и интеграл в правой части уравнения (10) имеет при = ц корневую особенность, интегрируя которую, получим
VIZb R1, v2 = i^j R2
% - У1
^ U2 = Uo + 4% - yR1 + (% - y)R2, где Rx и R2 — некоторые конечные функции от u0. При к e ^42 из уравнения (10) с учетом того, что [vj = 0 ^ v1(%) = const, во втором приближении по параметру б найдем
% - У1-
V. =
^ и2 = и1 + - Ц1)Р = и0 + 6^ + - ц 1)р , где Ц1 = Ци^.
Для границ отрезка [2,0, 2,1], на котором существует волна разрежения, и для значений решения и0 и и1 слева и справа от нее будем использовать разложения = ц + бп1 + б2 п2 + 0(б3), и' = и0 + 6 VI +
+ б2 v2 + 0(б3). Подставляя эти разложения в уравнение = А,(и), во втором приближении по параметру 6 получим = У^0VI, п2 = У^0v2 +
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.