научная статья по теме МЕТОД R-АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ДЕТАЛЬНОЙ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ И МАГНИТОМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМОК Геофизика

Текст научной статьи на тему «МЕТОД R-АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ДЕТАЛЬНОЙ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ И МАГНИТОМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМОК»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2009, № 4, с. 17-30

УДК 550.831+838

МЕТОД R-АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ДЕТАЛЬНОЙ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ И МАГНИТОМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМОК

© 2009 г. И. Э. Степанова

Институт физики Земли РАН им. О.Ю. Шмидта, г. Москва E-mail: tet@ifz.ru Поступила в редакцию 31.03.2008 г.

В статье рассматривается применение метода R-аппроксимаций, основанного на применении интегрального преобразования Радона в рамках метода линейных интегральных представлений при обработке данных детальной гравиметрической и магнитной съемок. Приводятся результаты для нескольких полигонов, расположенных в разных частях России и в Крыму (Украина). Метод позволяет с достаточно высокой точностью находить распределение элементов аномальных полей, строить аналитические продолжения полей, осуществлять линейные трансформации.

PACS: 91.10.By, 91.25.Rt

В целом ряде работ В.Н. Страхова и автора [Страхов, Степанова, 1997; Страхов, Степанова, 1999 а; б; Страхов, Степанова, 2000; Страхов, Степанова, 2002 а; б; Степанова, 2004] метод линейных интегральных представлений представляется как один из эффективных методов интерпретации данных гравимагниторазведки. Ранее [Страхов, Степанова, 2002 а; б; Степанова, 2004; Страхов, Керимов, 1999] были рассмотрены соответственно метод 8-аппроксимаций, основанный на представлении гармонической функции в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, и метод Б-аппроксима-ций, базирующийся на представлении функции интегралом Фурье. Оба указанных метода являются вариантами метода интегральных представлений, и с их помощью можно эффективно интерпретировать данные гравимагниторазведки. Приводимый ниже метод И-аппроксимаций основан на интегральном преобразовании Радона. Данный метод может применяться как в сочетании с первыми двумя методами, так и отдельно, особенно в тех случаях, когда заданы профили гравитационного и магнитного полей. В статье приводятся результаты применения метода И-аппроксимаций при обработке данных детальной гравиразведки и сравнительная характеристика метода §- и И-аппроксимаций.

МЕТОД

Как известно [Хелгасон, 1983; Гельфанд, 2000], для функции Дх) е £(Лп), где £(Лп) - пространство быстро убывающих на бесконечности непрерывно дифференцируемых функций - пространство Шварца - (точнее говоря, для непрерывно дифференцируемых функций, имеющих порядок убыва-

ния O (1 + = 1 x2) 1) существует преобразование Радона:

f (ш, p) = J f (x)dm (x), (1)

(ш, x) = p

где ш - единичный вектор, dm(x) - мера на прямой (ш, x) = p.

В двумерном случае формула (1) принимает вид:

f (ш, p) = J f (-tsin5 + x1cosф, tcos5 + x2sinф), i (2) ш = (cos ф, sinф), x = (x x2).

Запишем формулу обращения преобразования Радона

Д(х) = У-1)/21 | Д(ш, (х, ш))dш

Ч"-1 -

где постоянная у = (2га)1 - "/2 Заметим, что функция

ДШ(х) = Д (ш, (х, есть плоская волна в направлении ш, другими словами, она постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной ш. Здесь

Ь<„"-1)/2 - оператор Лапласа порядка (п - 1)/2.

В случае нечетных п она принимает вид:

Д (х) = 2(2 п) -"(-)" 1 х

,n -1

х

„-11 dpn

-J(ш, p)

dш.

p = (x, ш)

S

Установим связь между преобразованием Радона и ограниченного плоскостью х3 = 0 (далее упоминаемой как плоскость "П") [Кошляков, 1962]:

"-мерным преобразованием Фурье:

/(и) = | /(х)е' и)йх, и е Я".

(3)

II

р1 (%1^2 ) й% 1 й%2

Действительно, если 5 е Я и ю - единичный вектор, то

/ (5ю) = | йт | / (х) е-"(х'ю) йш (х), (4)

У( М) =

(х, ю) = т

следовательно,

7(Х1- %1 )2 + (Х2- %2)2 + X 3

Р 2 ( % 1 > %2 ) й% 1 ¿2 .[л/(XI- %1 )2 + (Х2-%2)2 + х3]

М = (х1у x2' х3)• х = (X1' х2)• % = (%1,%2,%3) • % = (%1-%2).

+ 1 1

:• (10)

7(5ю) = |7(ю, т)е '5тйт.

(5)

Мы выбрали систему координат так, чтобы плоскость простого и двойного слоев задавалась ~ уравнением х3 = О.Тогда производная по х3 потенци-

Это означает, что "-мерное преобразование Фурье ала У, взятая с обратным знаком, будет иметь вид: есть композиция одномерного преобразования Фурье и преобразования Радона.

Введем среднее функции / по сферам с центром в фиксированной точке х

ЭУ

Эх3

1 г

р(X' т) = 4П 1 /(х + тю)йю.

(6)

ю = 1

(м) = Ц

+ ^ + «

11

Р1 (%)хз

[7(х1- %1 )2 + (х2- %2)2 + х 2]3

Р2 (% )(2х2-(х1-%1 )2-(х2-%2 )2 )) (11)

1

Пусть / (х, р) = —|ю| =1 Ш/(ю, р + <ю, х»йю

[7(х1- %1 )2 + (х2- %2)2 + х 2]5

М = (х1, х2, хз), %= (%1,%2).

среднее Ш/ по плоскостям, равноотстоящим от т°ч- Функции р1, р2 неизвестны. Пусть компоненты

ки X, т. е. по плоскостям, касающимся сферы радиу- поля заданы в конечном множестве точек М, ' = 1, са р с центром в точке 1. Тогда '

/(х) = К(х, 0) = -2ПК(ю, 0).

Аналогично определяется среднее функции Ш/ по прямым, касающимся окружности с центром в точ- 02'. Тогда получим: ке х = (х1, х2) радиуса р на плоскости:

2, ..., N М1 = (х(;), х{2>, х3!) ). Обозначим подынте-(7) гральную функцию в первом слагаемом в (11) в точке М I через 01 '), а во втором слагаемом - через

(0

2п

К(х, р) = 2П | Ш/(ф, р + х 1ео8ф + х2 8шф)йф. (8)

0

Тогда функция / определяется из следующего выражения:

ЭУ( М,- ) дх3

= / ' =

(12)

/ (х) = 1

1 К (х, р)

р

йр,

(9)

= 11 (Р1 (%) 01 >(%) + Р2(% )е2°(% ))%• ' = 1, 2, ..., N. Применим к обеим частям равенства преобразова-

где последний интеграл понимается в смысле глав- ние Радона. Получим ного значения.

Интегральное представление (9) мы будем использовать для нахождения пространственного распределения элементов гравитационного поля и для локализации источников гравитационного поля.

А именно, запишем основную формулу теории гармонических функций для полупространства,

Ух3(ю, р) = |[р1 (ю, д)01')(ю, р - д) +

(13)

+ р2(ю, д)02 (ю, р - д)]йд,

Я

+

0

так как преобразование Радона свертки функций Величины (точнее говоря, функции) <2, <2 2) равно свертке от произведения преобразований Ра- мы можем найти : дона соответствующих функций.

х3 ,,

dt =

3 , ш = (С08 ф, 8Шф).

х3 + р2 - 2рх1С0%ф - 2рх2$лпф + (х1 С08ф + х28Шф)2

I

(2х2 - ((х1 + 18Шф - р С08 ф)2 + (х2 - tС08 ф - р 8Шф)2) , [д/(х1 + 18Шф - р С08 ф)2 + (х2 - tС08 ф - р 8Шф)2 + х3]

д (—-2-—-Д ш = (ф, втф).

дхДх3 + р -2рх1 С08ф-2рх2^\пф + (х1 С08ф + х28тф) ->

dt =

(14)

+ ^

I

Здесь ш^ + ш2п = р - прямая, по которой производится интегрирование.

ЭУ

Если теперь записать для -<т— (Ы1) его выраже-

дх3

ние с помощью формулы обращения преобразования Радона, мы получим:

-дУ3(м) =

2п

0 0

1 Г Г 1 Г Л (¡) '

= -пI dpI dфр I [Р1(ш, д)(01 )р(ш, р - д) +

ч(¡)

+ р2 (ш, д)(02 )р(ш, р - д)]dд

2п

= I Ч] I ^

ч(¡)

(<2У)р(ш, р - д)

р

2 (ш, р ) = I

( 62)р (ш, р - д) dp р

= 8

х3(д - гС08ф)

2 2 2' (х3 + (д - гС08ф) )

На практике компоненты поля бывают заданы с некоторой погрешностью, поэтому входной информацией являются значения /¡, 8. С помощью решения вариационной задачи (в общем виде вариационная постановка описывается в [Страхов, Степанова, 1997]:

+ 2п

р1 (ш, р) + П(Р) = II dд!(р?(ш, д) + р2(ш, g))dpdф =

0 0

(16)

I ^

ч( О

(<22 ) р ( ш, р - д ) р

Р2(ш, д) \dд.

= шт, р

Здесь интеграл по переменной р понимается в смысле главного значения. Его можно вычислить явно:

/1 (ш, р) = I

( 61) р (ш, р - д) dp р

/¡,8 =

2п

= -2ЛЧ] I^

ч( ¡)

( <2 1 ) р ( ш , р - д ) р

р1(ш, д) +

(17)

= 2

х2 - (д - гС08 ф)2

2 2 2' (х3 + (д - гС08ф) )

+

I ^

( <22° ) р(ш, р - д)' р

Р2(ш, д) ^д

0

+

0

получим, что искомые функции должны иметь вид [Страхов, Степанова, 1997]:

р(а)(ш, q) = р((ш, qД),

р2Я)(Ю, q,X) = р2(Ш, q,X),

N -(1) '

р"((ш, *Х) = £Х,.|( 6 ( ) ^ ( Ш р - ^^ )dp, (18)

i = ( -тс

N ~

N Л( 1') '

р~2 (Ш, ^Х) = -2П£Х1. dp.

1 = (

Таким образом, мы приходим к следующей си стеме линейных уравнений

АX = /§, X = ..., XN),

/ 8 = (/(,8, .••> /N,8),

(19)

элементы матрицы которой в нашем случае имеют вид:

2п -

= -Ц I" 1 (, 1 (Ш, q)I(,q)■

4 п

(20)

+12 .(Ш, q) 12 у(Ш, q)}dфdq, ( < 1 < N, ( < у < N.

В нашем случае коэффициенты а.у не могут быть вычислены явно, однако интеграл по ф можно посчитать точно. Действительно, знаменатель функ-ций,которые нужно интегрировать по углу ф, является произведением некоторых степеней квадратных трехчленов от ео8(ф - ф.) и ео8(ф - фу). Если переменную интегрирования обозначить через ф' = = ф - ф., а затем перейти к интегрированию функции комплексной переменной г по окружности единичного радиуса, то мы получим в знаменателе произведение степеней квадратных трехчленов вида:

х| а +Й 2 + 'у кг+Й

+ С;

у - ф у)

где £ = е у.

Мы вычисляли коэффициенты в формуле (20) с помощью кубатурных формул наивысшей степени точности [Крылов, 1966].

По найденным из решения системы (19)-(20) множителям X., . = 1, 2, ..., N, можно, далее, определить величины функционалов р, 5 = 1, 2, ..., 5 от элементов гравитационного поля.

В методе И-аппроксимаций носителем простого и двойного слоев могут быть поверхности (или их куски), кривые (и их части), трехмерные тела. Вы-

ше приведена основная аппроксимационная конструкция метода в случае, когда носитель как простого, так и двойного слоев представляет собой горизонтальную плоскость. При обработке данных интерпретации использовались носители, расположенные на одной и двух горизонтальных плоскостях.

Предложенный подход был апробирован на материалах детальных гравиметрических съемок для двух регионов, один - в Пермской области (полигон "Пермь"), второй - в Крыму (полигон "Крым"), а также на материалах детальной магнитной съемки в районе БАМа (полигон "БАМ"). Ранее (см. [Степанова, 2004] для данных полигонов применялся метод 8-аппроксимаций. Он хорошо зарекомендовал себя при обработке не слишком больших массивов данных в тех случаях, когда не требуется особенно высокая точность аппроксимации. Метод И-ап-проксимаций позволяет получить более высокое качество аппроксимации элементов аномальных полей за несколько большее (приблизительно на 20%) время. Расчеты проводились на компьютере Рейшш-ГУ (3.0 ГГц).

Полигон "Пермь"

Участок детальной гравиметрической съемки характеризуется сложным и расчлененным рельефом поверхности Земли с перепадом высот, достигающим 100 м. Размещение 2721 гравиметрических пунктов по полигону неравномерно,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Геофизика»