ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2009, № 4, с. 17-30
УДК 550.831+838
МЕТОД R-АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ДЕТАЛЬНОЙ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ И МАГНИТОМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМОК
© 2009 г. И. Э. Степанова
Институт физики Земли РАН им. О.Ю. Шмидта, г. Москва E-mail: tet@ifz.ru Поступила в редакцию 31.03.2008 г.
В статье рассматривается применение метода R-аппроксимаций, основанного на применении интегрального преобразования Радона в рамках метода линейных интегральных представлений при обработке данных детальной гравиметрической и магнитной съемок. Приводятся результаты для нескольких полигонов, расположенных в разных частях России и в Крыму (Украина). Метод позволяет с достаточно высокой точностью находить распределение элементов аномальных полей, строить аналитические продолжения полей, осуществлять линейные трансформации.
PACS: 91.10.By, 91.25.Rt
В целом ряде работ В.Н. Страхова и автора [Страхов, Степанова, 1997; Страхов, Степанова, 1999 а; б; Страхов, Степанова, 2000; Страхов, Степанова, 2002 а; б; Степанова, 2004] метод линейных интегральных представлений представляется как один из эффективных методов интерпретации данных гравимагниторазведки. Ранее [Страхов, Степанова, 2002 а; б; Степанова, 2004; Страхов, Керимов, 1999] были рассмотрены соответственно метод 8-аппроксимаций, основанный на представлении гармонической функции в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, и метод Б-аппроксима-ций, базирующийся на представлении функции интегралом Фурье. Оба указанных метода являются вариантами метода интегральных представлений, и с их помощью можно эффективно интерпретировать данные гравимагниторазведки. Приводимый ниже метод И-аппроксимаций основан на интегральном преобразовании Радона. Данный метод может применяться как в сочетании с первыми двумя методами, так и отдельно, особенно в тех случаях, когда заданы профили гравитационного и магнитного полей. В статье приводятся результаты применения метода И-аппроксимаций при обработке данных детальной гравиразведки и сравнительная характеристика метода §- и И-аппроксимаций.
МЕТОД
Как известно [Хелгасон, 1983; Гельфанд, 2000], для функции Дх) е £(Лп), где £(Лп) - пространство быстро убывающих на бесконечности непрерывно дифференцируемых функций - пространство Шварца - (точнее говоря, для непрерывно дифференцируемых функций, имеющих порядок убыва-
ния O (1 + = 1 x2) 1) существует преобразование Радона:
f (ш, p) = J f (x)dm (x), (1)
(ш, x) = p
где ш - единичный вектор, dm(x) - мера на прямой (ш, x) = p.
В двумерном случае формула (1) принимает вид:
f (ш, p) = J f (-tsin5 + x1cosф, tcos5 + x2sinф), i (2) ш = (cos ф, sinф), x = (x x2).
Запишем формулу обращения преобразования Радона
Д(х) = У-1)/21 | Д(ш, (х, ш))dш
Ч"-1 -
где постоянная у = (2га)1 - "/2 Заметим, что функция
ДШ(х) = Д (ш, (х, есть плоская волна в направлении ш, другими словами, она постоянна на каждой гиперплоскости, перпендикулярной ш. Здесь
Ь<„"-1)/2 - оператор Лапласа порядка (п - 1)/2.
В случае нечетных п она принимает вид:
Д (х) = 2(2 п) -"(-)" 1 х
,n -1
х
„-11 dpn
-J(ш, p)
dш.
p = (x, ш)
S
Установим связь между преобразованием Радона и ограниченного плоскостью х3 = 0 (далее упоминаемой как плоскость "П") [Кошляков, 1962]:
"-мерным преобразованием Фурье:
/(и) = | /(х)е' и)йх, и е Я".
(3)
II
р1 (%1^2 ) й% 1 й%2
Действительно, если 5 е Я и ю - единичный вектор, то
/ (5ю) = | йт | / (х) е-"(х'ю) йш (х), (4)
У( М) =
(х, ю) = т
следовательно,
7(Х1- %1 )2 + (Х2- %2)2 + X 3
Р 2 ( % 1 > %2 ) й% 1 ¿2 .[л/(XI- %1 )2 + (Х2-%2)2 + х3]
М = (х1у x2' х3)• х = (X1' х2)• % = (%1,%2,%3) • % = (%1-%2).
+ 1 1
:• (10)
7(5ю) = |7(ю, т)е '5тйт.
(5)
Мы выбрали систему координат так, чтобы плоскость простого и двойного слоев задавалась ~ уравнением х3 = О.Тогда производная по х3 потенци-
Это означает, что "-мерное преобразование Фурье ала У, взятая с обратным знаком, будет иметь вид: есть композиция одномерного преобразования Фурье и преобразования Радона.
Введем среднее функции / по сферам с центром в фиксированной точке х
ЭУ
Эх3
1 г
р(X' т) = 4П 1 /(х + тю)йю.
(6)
ю = 1
(м) = Ц
+ ^ + «
11
Р1 (%)хз
[7(х1- %1 )2 + (х2- %2)2 + х 2]3
Р2 (% )(2х2-(х1-%1 )2-(х2-%2 )2 )) (11)
1
Пусть / (х, р) = —|ю| =1 Ш/(ю, р + <ю, х»йю
[7(х1- %1 )2 + (х2- %2)2 + х 2]5
М = (х1, х2, хз), %= (%1,%2).
среднее Ш/ по плоскостям, равноотстоящим от т°ч- Функции р1, р2 неизвестны. Пусть компоненты
ки X, т. е. по плоскостям, касающимся сферы радиу- поля заданы в конечном множестве точек М, ' = 1, са р с центром в точке 1. Тогда '
/(х) = К(х, 0) = -2ПК(ю, 0).
Аналогично определяется среднее функции Ш/ по прямым, касающимся окружности с центром в точ- 02'. Тогда получим: ке х = (х1, х2) радиуса р на плоскости:
2, ..., N М1 = (х(;), х{2>, х3!) ). Обозначим подынте-(7) гральную функцию в первом слагаемом в (11) в точке М I через 01 '), а во втором слагаемом - через
(0
2п
К(х, р) = 2П | Ш/(ф, р + х 1ео8ф + х2 8шф)йф. (8)
0
Тогда функция / определяется из следующего выражения:
ЭУ( М,- ) дх3
= / ' =
(12)
/ (х) = 1
1 К (х, р)
р
йр,
(9)
= 11 (Р1 (%) 01 >(%) + Р2(% )е2°(% ))%• ' = 1, 2, ..., N. Применим к обеим частям равенства преобразова-
где последний интеграл понимается в смысле глав- ние Радона. Получим ного значения.
Интегральное представление (9) мы будем использовать для нахождения пространственного распределения элементов гравитационного поля и для локализации источников гравитационного поля.
А именно, запишем основную формулу теории гармонических функций для полупространства,
Ух3(ю, р) = |[р1 (ю, д)01')(ю, р - д) +
(13)
+ р2(ю, д)02 (ю, р - д)]йд,
Я
+
0
так как преобразование Радона свертки функций Величины (точнее говоря, функции) <2, <2 2) равно свертке от произведения преобразований Ра- мы можем найти : дона соответствующих функций.
х3 ,,
dt =
2х
3 , ш = (С08 ф, 8Шф).
х3 + р2 - 2рх1С0%ф - 2рх2$лпф + (х1 С08ф + х28Шф)2
I
(2х2 - ((х1 + 18Шф - р С08 ф)2 + (х2 - tС08 ф - р 8Шф)2) , [д/(х1 + 18Шф - р С08 ф)2 + (х2 - tС08 ф - р 8Шф)2 + х3]
д (—-2-—-Д ш = (ф, втф).
дхДх3 + р -2рх1 С08ф-2рх2^\пф + (х1 С08ф + х28тф) ->
dt =
(14)
+ ^
I
Здесь ш^ + ш2п = р - прямая, по которой производится интегрирование.
ЭУ
Если теперь записать для -<т— (Ы1) его выраже-
дх3
ние с помощью формулы обращения преобразования Радона, мы получим:
-дУ3(м) =
2п
0 0
1 Г Г 1 Г Л (¡) '
= -пI dpI dфр I [Р1(ш, д)(01 )р(ш, р - д) +
ч(¡)
+ р2 (ш, д)(02 )р(ш, р - д)]dд
2п
= I Ч] I ^
ч(¡)
(<2У)р(ш, р - д)
р
2 (ш, р ) = I
( 62)р (ш, р - д) dp р
= 8
х3(д - гС08ф)
2 2 2' (х3 + (д - гС08ф) )
На практике компоненты поля бывают заданы с некоторой погрешностью, поэтому входной информацией являются значения /¡, 8. С помощью решения вариационной задачи (в общем виде вариационная постановка описывается в [Страхов, Степанова, 1997]:
+ 2п
р1 (ш, р) + П(Р) = II dд!(р?(ш, д) + р2(ш, g))dpdф =
0 0
(16)
I ^
ч( О
(<22 ) р ( ш, р - д ) р
Р2(ш, д) \dд.
= шт, р
Здесь интеграл по переменной р понимается в смысле главного значения. Его можно вычислить явно:
/1 (ш, р) = I
( 61) р (ш, р - д) dp р
/¡,8 =
2п
= -2ЛЧ] I^
ч( ¡)
( <2 1 ) р ( ш , р - д ) р
р1(ш, д) +
(17)
= 2
х2 - (д - гС08 ф)2
2 2 2' (х3 + (д - гС08ф) )
+
I ^
( <22° ) р(ш, р - д)' р
Р2(ш, д) ^д
0
+
0
получим, что искомые функции должны иметь вид [Страхов, Степанова, 1997]:
р(а)(ш, q) = р((ш, qД),
р2Я)(Ю, q,X) = р2(Ш, q,X),
N -(1) '
р"((ш, *Х) = £Х,.|( 6 ( ) ^ ( Ш р - ^^ )dp, (18)
i = ( -тс
N ~
N Л( 1') '
р~2 (Ш, ^Х) = -2П£Х1. dp.
1 = (
Таким образом, мы приходим к следующей си стеме линейных уравнений
АX = /§, X = ..., XN),
/ 8 = (/(,8, .••> /N,8),
(19)
элементы матрицы которой в нашем случае имеют вид:
2п -
= -Ц I" 1 (, 1 (Ш, q)I(,q)■
4 п
(20)
+12 .(Ш, q) 12 у(Ш, q)}dфdq, ( < 1 < N, ( < у < N.
В нашем случае коэффициенты а.у не могут быть вычислены явно, однако интеграл по ф можно посчитать точно. Действительно, знаменатель функ-ций,которые нужно интегрировать по углу ф, является произведением некоторых степеней квадратных трехчленов от ео8(ф - ф.) и ео8(ф - фу). Если переменную интегрирования обозначить через ф' = = ф - ф., а затем перейти к интегрированию функции комплексной переменной г по окружности единичного радиуса, то мы получим в знаменателе произведение степеней квадратных трехчленов вида:
х| а +Й 2 + 'у кг+Й
+ С;
у - ф у)
где £ = е у.
Мы вычисляли коэффициенты в формуле (20) с помощью кубатурных формул наивысшей степени точности [Крылов, 1966].
По найденным из решения системы (19)-(20) множителям X., . = 1, 2, ..., N, можно, далее, определить величины функционалов р, 5 = 1, 2, ..., 5 от элементов гравитационного поля.
В методе И-аппроксимаций носителем простого и двойного слоев могут быть поверхности (или их куски), кривые (и их части), трехмерные тела. Вы-
ше приведена основная аппроксимационная конструкция метода в случае, когда носитель как простого, так и двойного слоев представляет собой горизонтальную плоскость. При обработке данных интерпретации использовались носители, расположенные на одной и двух горизонтальных плоскостях.
Предложенный подход был апробирован на материалах детальных гравиметрических съемок для двух регионов, один - в Пермской области (полигон "Пермь"), второй - в Крыму (полигон "Крым"), а также на материалах детальной магнитной съемки в районе БАМа (полигон "БАМ"). Ранее (см. [Степанова, 2004] для данных полигонов применялся метод 8-аппроксимаций. Он хорошо зарекомендовал себя при обработке не слишком больших массивов данных в тех случаях, когда не требуется особенно высокая точность аппроксимации. Метод И-ап-проксимаций позволяет получить более высокое качество аппроксимации элементов аномальных полей за несколько большее (приблизительно на 20%) время. Расчеты проводились на компьютере Рейшш-ГУ (3.0 ГГц).
Полигон "Пермь"
Участок детальной гравиметрической съемки характеризуется сложным и расчлененным рельефом поверхности Земли с перепадом высот, достигающим 100 м. Размещение 2721 гравиметрических пунктов по полигону неравномерно,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.