ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2015
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА, ДИАГНОСТИКА, ИСПЫТАНИЯ
УДК 621.036:681.20
© 2015 г. Шульженко А.А., Модестов М.Б.
МЕТОД РАСЧЕТА ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ УГЛЕРОДНЫХ (ГРАФИТОВЫХ) НИТЕЙ
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва aa_shulzhenko.01@mail.ru
Существующие методы расчета тепловых характеристик тепловыделяющих элементов на основе углеродных нитей, имеющих структуру графита, базируются на методах расчета, используемых для тепловыделяющих элементов, изготовленных из металлической проволоки, которые по своей структуре существенно отличаются от углеродных нитей. Такой подход вносит значительные искажения при отображении реальных тепловых полей, создаваемых углеродными нитями. Для устранения этого недостатка предлагается метод, основанный на раздельном рассмотрении физических процессов, происходящих в углеродной нити при воздействии на нее внешнего электрического поля.
В последнее время все чаще в качестве тепловыделяющих элементов для прецизионной тепловой техники используются углеродные нити, однако информации о расчетах тепловых процессов, в том числе и с учетом эффекта Томсона, в подобных тепловыделяющих элементах нет. Несколько иначе обстоит дело с рассмотрением тепловыделяющих элементов из металлической проволоки. Строение углеродной нити внешне похоже на проволоку. Для упрощенного расчета теплового поля углеродной нити часто используют методику, применяемую для металлической проволоки, по которой пропускают постоянный ток. Описание этой методики приведено в источниках [1—4]. С позиции электронной теории металлов в ней подробно рассмотрены физические процессы, происходящие в металлической проволоке при прохождении по ней электрического тока [5]. В данной методике учитывают и процессы, связанные с эффектом Томсона. Обобщенное выражение имеет вид
käjT + 2ц dT = -2М1, (1)
dk
где k — коэффициент теплопроводности; T — текущее значение температуры металлической проволоки; £ = х /1; x — текущее значение ординаты, l — длина проволоки;
т, град 3000 -
2000
2500
1000
1500
500
°С /м 11 йРх/йх', Вт/м 1
5 ч
-5
0
^^^^ 0,5 1,
1,0 х'
0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
Х/1
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 1. Распределение температуры вдоль металлической проволоки
Рис. 3. График зависимости скорости изменения температуры и энергии вдоль углеродной нити в установившемся режиме
ст — электрическая проводимость; т — коэффициент Томсона; и — электрическое на-
Ключевым моментом в этой методике является использование для решения уравнения (1) граничных условий, при которых температуры, создаваемые на концах проволоки итоговым тепловым полем, считаются равными. В результате получается решение (рис. 1)
В реальных условиях, когда имеем дело с металлическими проволоками, разница температур на концах проволоки, при интересующем уровне температур нагрева ~50°С, обычно составляет ~0,001°С. Поэтому принимаемые при решении уравнения (1) вышеуказанные граничные условия соблюдаются с высокой степенью точности.
Рассмотрим, что происходит в случае использования углеродной нити в качестве тепловыделяющего элемента.
При прохождении электрического тока и при передаче тепла путем теплопроводности очень важными физическими параметрами являются проводимость, теплопроводность, коэффициент Томсона. Данные параметры зависят от структуры используемых материалов. Поэтому проведем сравнение структур металла и графита.
Согласно теории Зоммерфельда [5], металл имеет структуру, в которой степень обобществления свободных электронов распространяется на весь образец. Плотность концентрации электронного газа в металле составляет ~ 1022-23 эл/см3.
Структура углеродной нити аналогична структуре графита. Одной из основных ее особенностей является то, что графит имеет отличную от металлов структуру, структуру с ковалентной связью. Для ковалентной связи характерно образование локализованных сгущений электронной плотности при обобществлении внешних электронов соседних атомов, орбиты которых пересекаются. Плотность концентрации электронного газа в графите составляет ~1018-19 эл/см3. Таким образом, наблюдается существенное отличие в микроструктурах металлов и графита.
пряжение, приложенное к концам проволоки; ц = тсти/2к = 2,65 • 103.
Согласно источникам [3, 4, 6], в материалах, например, графите с микроструктурой с меньшей плотностью электронного газа по сравнению с металлами наблюдается значительное увеличение эффекта Томсона на температурные распределения и увеличение коэффициента Томсона. Одновременно электропроводность и теплопроводность в графите ниже, чем в металлах.
Все это приводит к тому, что разность температур на концах углеродной нити, например, при температуре нагрева ~40°С, обычно составляет несколько градусов [7], что существенно превышает разницу температур, наблюдаемую в металлах даже при нагреве до гораздо больших температур. При создании нагревательных приборов, особенно приборов, служащих для обогрева биологических объектов, такое отклонение температурного поля на несколько градусов может привести к локальному перегреву и даже к ожогу. Пренебрегать этой разницей температур уже нельзя. Поэтому и методы для расчета тепловыделяющих элементов из металлической проволоки, построенные на соблюдении граничных условий, при которых температуры на концах проволоки в итоговых математических выражениях принимаются одинаковыми, здесь использовать нельзя.
Теоретически при расчете можно применить в качестве граничных условий привязку к температурам не на концах проволоки, а в центре «горба» результирующего распределения температуры вдоль углеродной нити (рис. 1). Однако и в этом случае ни точное место расположения максимального значения в этом температурном распределении, ни само максимальное значение температуры неизвестны, что делает крайне затруднительным использование такого подхода.
Для решения задачи по определению математического описания, более точно отражающего реальное распределение температуры вдоль углеродной нити, учитывающую разницу температур, возникающую на концах углеродной нити, предлагается: подробно рассмотреть, какие физические процессы происходят при прохождении постоянного электрического тока в графите; провести математическое описание этих процессов по отдельности; получить математическое описание тепловых полей при одновременном действии этих процессов; проверить соблюдение теплового баланса.
В работах, посвященных физике твердого тела [3, 4], дается описание физических явлений, связанных с тепловыми процессами в графите при воздействии внешнего электрического поля. Образованный внешним электрическим полем электронный поток взаимодействует с атомами, находящимися в узлах кристаллической решетки, и вызывает их колебания. В этом случае, по методу академика И.Е.Тамма, узлы кристаллической решетки, в том числе и углеродной (графитовой) нити, можно представить в виде независимых осцилляторов-фононов.
Согласно тем же источникам [3, 4], основной вклад в теплопроводность графита в рассматриваемом диапазоне температур, в пределах до 50°С, обеспечивает взаимодействие фононов между собой. Предположим, что на это взаимодействие, согласно закону Джоуля—Ленца, затрачена вся энергия от внешнего электрического источника, приложенного к углеродной нити. Будем считать, что для этого случая описание распределения температуры вдоль углеродной нити можно сделать с помощью уравнения Фурье. Будем рассматривать стационарный тепловой процесс. Уравнение Фурье для стационарных процессов теплопроводности с внутренними источниками тепла имеет вид [8]
(д2 А Тх д 2 А Ту д 2А Т: ^ дх2 ду2 дг2
+ ?у = 0, (2)
где АТх, АТу, АТг — температура нагрева собственно нагревателя по осям X, У, ^ АТх = Тнх - Т1; Тнх — текущее значение температуры нагрева углеродной нити вдоль оси X; Тк — температура на концах углеродной нити; qv — объемное тепловыделение углеродной нити; X — коэффициент теплопроводности.
т , °с
2 0 -2
0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
00,1 0,3 0,5 0,7 0,9 х
Рис. 2. Распределение теплового поля вдоль углеродной нити: а — при электрон-фононном и фонон-фонон-ном взаимодействии (решение уравнения Фурье); б — при фонон-электронном взаимодействии (эффекте Томсона); в — суммарная неравномерная часть с учетом эффекта Томсона
в
Пусть имеем углеродную нить, вытянутую по прямой линии вдоль оси X, и пусть она имеет постоянную проводимость, теплопроводность и одинаковые сечения и формы боковой поверхности по всей своей длине, причем, сечение — Бн ^ 0. При этих условиях будем рассматривать одномерные тепловые процессы, происходящие в углеродной нити, вдоль ее длины. Пусть положительный потенциал внешнего электрического поля приложен в углеродной нити в точке х = 0, а отрицательный потенциал — в точке х = 1. Так как диаметр поперечного сечения углеродной нити существенно меньше длины и, следовательно, площадь поперечного сечения нити существенно меньше площади боковой поверхности, то будем учитывать конвективный теплообмен с внешней средой, осуществляемый только через боковую поверхность углеродной нити 5бок.
Граничные условия в этом случае определяются условиями третьего рода, конвективного теплообмена.
Будем полагать, что внешняя среда изотропна и температура внешней среды неизменна и равна Тср. Тогда уравнение (2) можно представить в виде одномерного уравнения с внутренним источником
X + ^ = 0. (3)
йх
Будем считать, что при протекании процесса теплопроводности, обусловленного взаимодействием между собой фононов, в углеродной нити температура на ее концах одинакова и равна Тк.
Используя решение для уравнения (3), полученное в [8], распределение температуры вдоль углеродной нити в результате взаимодействия фононов между собой будет определяться выражением
7т гр и и х х
нх -*- ср "г ^ "г "1 ^
ср 2апго1 нрн н
(4)
/
где Тср — температура окружающей среды; х = х/1н — текущее относительное значение координаты; х — текущее абсолютное значение координаты; 1н — длина нити; и — напряжение источника электропитания; рн — погонное сопротивление углеродной нити; а — к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.