ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 531.539
© 2004 г. Э. В. Теодорович
МЕТОД РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ
"Ренормгруппа? Это очень просто".
H.H. Боголюбов, Д. В. Ширков, "Природа", 1984, № 8
В обзоре излагаются основополагающие идеи метода ренормализаци-онной группы (РГ). В частности, объясняется понятие ренормализацион-ной инвариантности, следствием которой является функциональное и дифференциальное уравнение РГ. Излагаются способы решения дифференциального уравнения РГ, а также некоторые технические аспекты метода РГ, такие, как метод е-разложения. Приведенные примеры, относящиеся к рассмотрению различных проблем механики, служат для иллюстрации метода РГ и должны способствовать лучшему его пониманию.
При построении решений сложных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных большую помощь могут оказать соображения симметрии. Если уравнения, а также начальные и граничные условия задачи инвариантны относительно некоторой группы преобразований, то решение должно строиться в терминах инвариантов этой группы - автомодельных переменных. Использование автомодельных переменных позволяет понизить порядок уравнения, а в ряде случаев перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Заложенный работами Софуса Ли метод нахождения групп симметрии дифференциальных уравнений и построения инвариантных решений путем перехода к автомодельным переменным в настоящее время достаточно хорошо разработан [1, 2].
Однако существует некоторая дополнительная группа преобразований симметрии, не связанная непосредственно с формой дифференциальных уравнений, а вытекающая из произвола в способе задания начальных и граничных условий задачи. Совокупность оставляющих инвариантным решение задачи преобразований, описывающих переход от одного способа задания начальных или граничных условий к другому, образует группу симметрии, называемую ренормализационной группой (РГ) или сокращенно - ренормгруппой, а применение РГ для построения решений дифференциальных уравнений называется методом РГ. Во многих случаях применение метода РГ дает тривиальные результаты. Однако в случае нелинейных мно-гомодовых систем, когда моды всех масштабов одинаково существенны для понимания происходящих явлений, методы классической механики и математической физики, в которых обычно рассматривается конечное число взаимодействующих мод, оказываются бессильными. В этом случае метод РГ представляет собой мощный математический инструмент описания подобных систем. В ряде случаев описывающее тот ли иной физический процесс уравнение может оказаться неизвестным, и требование ренормализационной инвариантности способно заменить это недостающее уравнение.
Первоначально метод РГ возник в квантовой теории поля, и свойство ренормгрупповой инвариантности оказалось связанным с неоднозначностью процедуры перенормировок, используемой для устранения расходимостей в рамках теории возмущений [3]. Затем этот метод получил новое развитие в работах Вилсона и был успешно применен для описания критических явлений при фазовых переходах второго рода [4, 5].
Автор поставил перед собой цель в максимально простой форме изложить для широкого круга исследователей, работающих в области прикладной математики и механики, сущность и характерные черты метода на основе простых и наглядных примеров, не обращаясь к квантовой теории поля и теории критических явлений. В силу указанного характера данного обзо-
0 г0 гх
-----1
г 0 г0 г1
Фиг. 1
ра ссылки даются в основном не на оригинальные работы, а на обзоры и учебники. Приведенные примеры описания различных механических процессов носят иллюстративный характер и в значительной степени основаны на работах автора.
1. Ренормгрупповая инвариантность. Для первоначального ознакомления с понятием ренормгрупповой инвариантности (РГ-инвариантности) рассмотрим несколько простых примеров, которые назовем тривиальными. Смысл термина "тривиальный" будет пояснен несколько позднее.
1°. Пусть задано некоторое дифференциальное уравнение
йх/йг = У( х) (1.1)
которое может быть интерпретировано как уравнение траекторий материальной точки, движущейся в заданном стационарном поле скоростей.
Однозначное решение этого уравнения определяется двумя числовыми параметрами - заданием начального момента времени г0 и начального значения координаты х0 (фиг. 1,а). В силу инвариантности уравнения относительно сдвига времени решение будет зависеть только от разности времен
х(г) = X(г - г0; х0)
(1.2)
и функция Х(г - г0; х0) удовлетворяет вытекающему из начального условия соотношению
X (0; х0) = х.
(1.3)
Если в качестве начального момента времени выбрать некоторый момент г1 и в качестве начального значения выбрать соответствующую этому значению точку на траектории движения (см. фиг. 1,6), т.е.
х1 = Х (г1 — г0 ; х0 )
(1.4)
то форма траектории при г > гх не изменится, и решение может быть представлено в виде
х(г) = X(г - г 1; х1) = Х(г - г0; х0)
(1.5)
Таким образом, решение уравнения (1.1) обязано удовлетворять некоторому функциональному соотношению, вытекающему из свойства независимости траектории движения от выбора начальной точки на этой траектории, т.е. от способа задания начальных условий. В соответствии с равенствами (1.4), (1.5) это соотношение при г0 = 0 и гх = т имеет вид
X(г; х0) = X(г - т; X(т; х0))
(1.6)
X
X
X
X
0
0
г
Л I(x)
Л 1(х)
а
I
о
Фиг. 2
Если рассматривается уравнение движения второго порядка
й2 х / йг2 = ^ (X) (1.7)
то решение этого уравнения зависит от трех числовых параметров х0, и0 = = йх(г)/йг\, = , г0, определяющих начальные условия задачи, т.е.
х(г) = X(г - гхо, и) (1.8)
и соответственно для скорости будем иметь
и(г) = йх/йг = У(г - г0; х0, и0) (1.9)
При этом
X(0; хо, ио) = хо, V(0; хо, ио) = ио (1.10)
Независимость вида траектории от способа задания начальных условий (наличие произвола при выборе начала траектории) приводит в случае уравнения второго порядка к двум функциональным уравнениям
х(г) = X(г; хо, ио) = Х(г - т; X(т; хо, ц,), V(т; хо, ц,))
и(г) = V(г; хо, ио) = V(г - т; X(т; хо, Ц)), V(т; хо, Ц)))
удовлетворяющих условиям (1.10)
Обратим внимание на то обстоятельство, что функциональные уравнения (1.6), (1.11) не зависят от вида функций ^х) в (1.1) и Г(х) в (1.7), т.е. представляют свойства решений уравнений, принадлежащих к некоторому определенному классу.
2°. В качестве второго тривиального примера рассмотрим плоскую задачу переноса излучения в однородной поглощающей среде [6]. Пусть на границу, имеющую координату х0, падает излучение с интенсивностью 10 (см. фиг. 2,а). При распространении излучения в среде его интенсивность изменяется по некоторому закону
I(х) = /(х - хо; 1о) (1.12)
и в точке хг интенсивность будет иметь значение
1Х= / (хх- хо; 1о) (1.13)
6 Прикладная математика и механика, № 2
х
х
х
х
х
х
0
0
В соответствии с принципом В.А. Амбарцумяна при х > хг можно принять, что на расположенную в точке хг границу падает излучение интенсивности (фиг. 2,6), при этом интенсивность в точке х > хг будет определяться соотношением
/(х-х0; Iо) = /(х-х!; ^) (1.14)
Использование соотношений (1.13), (1.14) приводит к тому, что функция / должна удовлетворять функциональному уравнению
/(х - хо; 1о) = /(х - х!; /(х: - хо; 1о)) (1.15)
совпадающему с полученным выше уравнением (1.6).
3°. Еще одним примером, иллюстрирующим свойство РГ инвариантности, является решение начальной задачи Коши для уравнения диффузии
[Э( - кД] С(г, г) = о, С(г, 1{)) = Фо(г) (1.16)
Решение этого уравнения может быть представлено в форме интеграла Дюамеля
С( г, г) = | Б( г - го, г - г о )Фо( Го) ^о (1.17)
где функция Б(г, г) - решение уравнения диффузии (1.16), удовлетворяющее начальному условию Э(г, 0) = 5(г). Она связана с функцией Грина уравнения диффузии соотношением 0(г, г) = И(г)Б(г, г), (Н(г) - функция Хевисайда). В момент времени гх имеем
С(г, гх) = |В(г - го, гх - го)ф(го)^ = Ф!(г) (1.18)
При г > г1 можно рассматривать задачу Коши для начального момента времени гх при начальном условии (1.18).
Снова записывая решение в форме интеграла Дюамеля, получим с учетом соотношения (1.18)
С(г, г) = |Б(г - г!, г - гг)ф:(г!)йгх =
= |^(г - г!, г - г! )£(г1-го, г!-го )Фо (го) ^ г > г! > го ЦЛ9)
Сопоставляя выражения (1.16) и (1.19), найдем
Э(г - го, г - го) = ]Ъ(г - г!, г - г! )^(г!-го, г!-го)^г!, г > г! > го (1.20)
Решение уравнения (1.16) в ¿-мерном случае дает
! (г - го)2 I п2.
Б( г - го, г - го) = —-¿ехР \ ---^тто- к я (г) = 4к( г - г о) (1.21)
п 2я (г - г о т I Я (г) 1
Прямым расчетом (см., например, [7]) можно убедиться, что функция (1.21) удовлетворяет соотношению (1.20), называемому полугрупповым свойством.
Функция Б(г - г0, г - г0) может быть интерпретирована как вероятность обнаружения броуновской частицы в точке г в момент времени г при условии, что в начальный момент времени г0 она находилась в точке г0 (так называемая условная или переходная вероятность). При такой интерпретации соотношение (1.20) представляет собой не что иное, как уравнение Эйнштейна-Смолуховского-Колмогорова-Чепме-на [8]. Это уравнение отражает марковский характер процесса случайного блуждания броуновской частицы, заключающийся в том, что поведение случайного мар-
ковского процесса после момента г при заданном распределении в момент г не зависит от его поведения в прошлом (до момента г). Отметим, что при выводе соотношения (1.20) фактически уравнение диффузии в явном виде не использовалось, а была только использована возможность записи решения в форме интеграла Дюамеля. Пользуясь стандартными методами [8], из уравнения (1.20) можно получить два дифференциальных уравнения для функции Б(г - г0, г - г0), называемых прямым и обратным уравнениями Колмогорова, частный случай которых - уравнение диффузии.
Во всех рассмотренных выше примерах мы имели дело со свойством независимости функциональной формы решения от способа задания начальных или граничных условий. Это свойство получило название функциональной автомодельности [9], оно является обоб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.