РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 3, с. 247-253
УДК 621.371.333;537.874.6
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
МЕТОД Т-МАТРИЦ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ МЕТОДОВ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОКОВ И НУЛЕВОГО ПОЛЯ © 2015 г. А. Г. Кюркчан1, 2, Н. И. Смирнова1, А. П. Чиркова1
Московский технический университет связи и информатики, Российская Федерация, 111024, Москва, ул. Авиамоторная, 8а 2Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190, Фрязино, Московской обл., пл. Введенского, 1 E-mail: agkmtuci@yandex.ru Поступила в редакцию 16.05.2014 г.
Выполнено сравнение двух вариантов реализации метода Т-матриц: на основе модифицированных методов вспомогательных токов и нулевого поля. В обоих случаях численная реализация методов основана на использовании техники дискретных источников. При расчете диаграмм рассеяния различных тел обоими методами получена высокая и примерно одинаковая точность, что подтверждено, в частности, с помощью проверки выполнения оптической теоремы. Однако асимптотика (по порядковому номеру) коэффициентов рассеяния диаграммы оказалась принципиально различной.
DOI: 10.7868/S0033849415020096
ВВЕДЕНИЕ
Модифицированные методы вспомогательных токов (ММВТ) и нулевого поля (ММНП) относятся к числу наиболее эффективных современных инструментов решения задач дифракции и рассеяния волн [1]. Упомянутая модификация существенным образом опирается на априорную информацию об аналитических свойствах волнового поля [1]. Под методом Т-матриц принято понимать процедуру нахождения матрицы, связывающей коэффициенты разложения по некоторому (обычно угловому или сферическому) базису поля, рассеянного каким-либо объектом при падении на него плоской волны [2], называемые коэффициентами рассеяния (см. ниже). Элементы Т-матри-цы не зависят от угла падения первичной волны и определяются лишь геометрией рассеивателя и видом краевых условий на его границе. Это позволяет легко выполнять важные в ряде приложений [2] операции усреднения характеристик рассеяния по углам падения первичной волны (углам ориентации рассеивателя). Отметим, что ММВТ и ММНП в определенном смысле являются двойственными: одна и та же поверхность (кривая в двумерном случае) Ъ, получаемая путем аналитической деформации границы Б рассеивателя [3], в ММВТ является носителем вспомогательных токов, а в ММНП на Ъ ставится условие нулевого поля. В силу этого можно ожидать, что при решении конкретных задач дифракции, в частности при вычислении коэффициентов рассеяния, оба эти метода должны давать одинаковую точность.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Кратко остановимся на существе обоих методов. Пусть для простоты речь идет о решении двумерной задачи дифракции на компактном рассе-ивателе, занимающем область Б с границей Б. Пусть на границе Б рассеивателя выполняется импедансное краевое условие
Z ди
u-■
ikZ dn
= 0,
(1)
где Z — величина импеданса на границе (направляющей) Б, к = б0 и ^ — волновое число и волновое сопротивление (импеданс) соответственно во внешней среде.
В этом соотношении и = и0 + и1, причем и0 — первичное (падающее) поле, и1 — вторичное (рассеянное) поле.
А. Модифицированный метод вспомогательных токов
В основе метода вспомогательных токов (МВТ), одной из реализаций которого является метод дискретных источников (МДИ), лежит представление
волнового поля и\г) следующим интегралом:
2п
|ц(0)#О2)(к|г - гъ|ме = и\г), Г е К2\О, (2)
О
в котором — я02)(к|г - I) — фундаментальное ре-4/
шение уравнения Гельмгольца (функция Грина
свободного пространства), ^ — область внутри D, ограниченная простой замкнутой кривой 2, описываемой в полярных координатах уравнением г = г2(0), ц(0) — вспомогательный "ток", распределенный на носителе 2.
С использованием представления (2) краевая задача (1) сводится к решению следующего интегрального уравнения:
2п
11X0)
н^г - ) - Удн- ^) Iй0 =
041 ^ к дп I (3)
= -и (г), Г е Б, где 2 = У, = {г2(0), 0}.
В соответствии с теоремой существования носитель 2 должен охватывать множество А особенностей аналитического продолжения волнового
поля и\г) в область D [1]. Кроме того, в соответствии с модифицированным вариантом МВТ (ММВТ) [3] носитель 2 строится при помощи аналитической деформации границы рассеивате-ля S вплоть до множества А.
Одним из наиболее распространенных способов решения уравнения (3) является метод дискретных источников. В соответствии с этим методом интеграл в левой части уравнения (3) заменяется суммой точечных источников, локализованных на 2
| ц(в)
Н 02>(к|, - Щ) - к 1„ в.
к дп I
N
~ v мвт ~ -ч
. I апК (г, ГпX
п=1
(4)
причем Гп = {г2(0п), 0п}.
Далее, левая и правая части в уравнении (3) приравниваются друг к другу в так называемых точках коллокации. В результате для нахождения амплитуд дискретных источников ап получается следующая система алгебраических уравнений:
N
I
п=1
апКМВТ(4,г„) = -и\гт), гт е Б, т = 1,...,N. (5)
В приведенных соотношениях
„МВТ.^ -»ч „МВТ.^
К (гт, гп) = К (г, Ц
причем
КМВТ(Г, Гп) = |н02)(к|г - гп|) -
1=гт'
-У—-.
кк(ф)
дн02)(к|г - гп|) р'(ф)дн02)(к|г - гп|)
(2)/
Р(ф)
дг
Р(ф)
дф
где к(ф) = ^р2(ф) + р '2(ф), г = р(ф) — уравнение границы S в полярной системе координат.
В приложениях, как уже отмечалось, большой интерес представляет задача нахождения усредненных по углам падения первичной волны характеристик рассеяния различных объектов (см. [2, 4]). Такого рода характеристики удобно вычислять, если имеется выражение коэффициентов разложения рассеянного поля по некоторому базису через коэффициенты разложения падающего (первичного) поля с помощью матрицы, не зависящей от углов падения первичной волны. Такого рода матрицу в литературе по традиции, восходящей к пионерским работам Уотермена [5, 6], называют Т-матрицей. В нашем случае Т-матрицу можно получить следующим образом.
Как известно, в области г > г21 = тах г2(0)
е
да
Н02)(к|г - 1) = I //кг^Н^кг) ехр (р(ф-0)). (6)
Теперь с использованием (6) из (2) по аналогии с (4) будем иметь
N ю
"(г) - I апН02)(г, г,) = I СрНр2)(кг)ехр(грФ), (7)
п=1 р=-ю
где
]Гап(/МВТ)рп, (8)
ср =
п=1
причем мы ввели обозначение (JMBT)pn = = Jp(krn)exp(-ipQn).
В матричных обозначениях система (5) примет вид:
„МВТ— Т" — / рМВТ-1т-
К а = Ь, а = (К ) Ь,
— г Г (> ■IN „МВТ (Т^МВТ N .Пч
а = {ап}п=Ъ Ь = {Ьm}m=1, К = {Кпт }n,m=1, (9)
где
Ьт = -и (гт),
К МВТ _ К МВТ(-^ - ) К пт К (гт, гп).
Итак, с использованием принятых обозначений имеем:
_ ГМВТ— /гМВТ/т^МВТч-Кг Т-.Т /1(Лч
с = / а = (/ (К ) )Ь = ТЬ, (10)
гт гМВТ^МВТч -1 гул
где Т = / (К ) и есть искомая Т-матрица, связывающая коэффициенты Ьт падающего поля с коэффициентами ср рассеянного.
Б. Модифицированный метод нулевого поля
Аналогично, при использовании ММНП краевая задача может быть сведена к интегральному уравнению
2п ¡-
I/(ф) \н02)(кIг - г\) -
у дн02)(к|г - г) |
дп'
й ф'
(11)
= -и (г), г е!,
о
о
о
где принято обозначение
4W
где
и(Г)'=к^)/(ф,)
К,
МНП
= {я02)(к| 4 - Г\) -I '
W
2, как и выше, — некоторая простая замкнутая кривая внутри Б. В соответствии с техникой ММНП кривая 2 строится при помощи аналитической деформации границы Б вплоть до множества А [1, 4].
р(фп)
кк(ф„)
дн02)(к|Гт - г|) р'(фв)дн02)(к|Гт - Г|)'
дГ р(ф„) дф'
С использованием соотношения (6), в котором г2 следует заменить на гп, а 9 на фп, из (14) и (12) по-Для решения уравнения (11) снова применим лучим
метод дискретных источников, в соответствии с которым интеграл в левой части уравнения (11) заменяется суммой точечных источников, локализованных на Б
ш Г N
11(Г) = X X а" \1Р(кГп) -
р=-ш V п=1
W
IУ(Ф-)\н02)(к|г - ) -вн0 (кГ -г 1)[„
кг,/;(кг,) + /р /г(кг.)
Г
к к(ф,)
ехр(-грф„)|х (16)
дп
(12)
= X апК (г, Гп)
п=1
Затем левая и правая части (11) приравниваются друг к другу в точках коллокации на 2. В результате, как и в ММДИ, получим алгебраическую систему
х НР2)(кг)ехр(;рф) = X срН^2)(кг)ехр(грф),
р=-ш
причем
N
ЕтМ
ап/р
гмнп
' рп ,
п=1
где
N
X а,К
МНП« -»ч 0~ Ч
(Гт, Гп) = -и (Гт),
(13)
п=1
/ рп — "1 Ур(кгп)
W
в которой
Гп = {р(фп), фп} = Гп, фп}, Гт = Г(фт), фт} = Гт, фт},
где г2(ф) — уравнение кривой 2 в полярных координатах.
Всюду вне Б дифракционное поле в рассматриваемом случае в соответствии с (12) представимо суммой точечных источников:
кк(фп)
ехр(-грфп).
кГп/ 'р(кГп) + ¿р ^ /р(кГп)
В матричных обозначениях:
_ ГМНП_ ,ГМН^МНП-1ЧТ" г^г /пч
с = / а = (/ (К ) )Ь = ТЬ, (17)
гт ГМН^МНП -1 г-т
где Т = / (К ) — I -матрица.
Из (16) для диаграммы рассеяния ^(ф) имеем
да
#(ф) = X Ср/р ехр(грф). (18)
N
1/V тгМНП,^ ^Ч
и (г) = X апК (г, Гп).
(14)
п=1
Полученные соотношения, как и в традиционном методе Т-матриц, позволяют легко осуществлять усреднение характеристик рассеяния частиц
Таким образом, в системе (13) и в соотношении (14) по углам ориентации. Так, например, для усред-
фигурирует одно и то же представление, которое ненной по углам ориентации диаграммы рассея-
.. - ния из (18) получим (см., например, [1])
корректно лишь в области вне множества А особенностей волнового поля.
В матричных обозначениях система (13) примет вид
(#(ф)) = X (Ср)'Р ехр(грф),
(19)
р=-
причем (см. (17))
тт^МНП— Т" — /рМНП-1Т-
К а = Ь, а = (К ) Ь,
а = {ак}^=1, Ь = {Ьт}1=1,
К МНП _ {К МНП}N Ь - _ °(~) К = {Кпт }п,т=1, Ьт ~ и (Гт),
(15)
<с> = Т(Ц.
(20)
Если, например, и0 = ехр(-/кГео8(ф - ф0)) — плоская волна, а ориентация частицы по отношению к
5
ш
0
= —СО
8
7
6
д. 5
о
В
н о 4
3
2
1 _ | "___I_I_I_|_
0 50 100 150 200 250 300 350 Ф,град
Рис. 1.
углам облучения ф0 — равновероятна, т.е. ^(ф0) = = 1/2я, то при использовании ММТМ, как следует из (15),
2п
Ю = [ехр(-/кг2(ат)со8(ат -Ф0)) = /01Ч 2п J (21)
0
= -/0 (кг2(а т)).
При использовании же ММДИ, действуя по аналогии, как видно из (9), получим
(Ьт) = -/0 (кр(фт)) . (22)
В. Оценка точности методов
Оценка правильности и точности решения является достаточно сложной проблемой. Имеется сравнительно немного критериев такого рода оценки. К наиболее распространенн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.