КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 6, с. 484-496
УДК 629.78
МЕТОД ВИРТУАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ МИССИЙ С ГРАВИТАЦИОННЫМИ МАНЕВРАМИ
© 2013 г. М. Ю. Овчинников1, С. П. Трофимов1, 2, М. Г. Широбоков1 2
1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва 2Московский физико-технический институт (государственный университет)
ovchinni@keldysh.ru Поступила в редакцию 10.07.2012 г.
Предлагается оригинальный подход к решению задачи проектирования межпланетных перелетов, включающих несколько гравитационных маневров. В основе этого подхода лежит разработанный авторами метод виртуальных траекторий. Наиболее ресурсоемкий этап расчетов — построение базы виртуальных траекторий — может быть выполнен для каждого планетного маршрута один раз, после чего полученная база табулируется и используется в дальнейших вычислениях. Наложение требований по продолжительности миссии и дате старта осуществляется в процессе просеивания и итерационного уточнения базы виртуальных траекторий. Приводятся результаты применения метода виртуальных траекторий к задаче проектирования миссии к Урану.
Б01: 10.7868/80023420613060046
1. ВВЕДЕНИЕ
Идея использовать гравитационные поля планет для изменения скорости пролетающего мимо них космического аппарата была впервые высказана еще в 20-х годах прошлого века основоположниками современной космонавтики Ю.В. Кондратюком и Ф.А. Цандером [1], [2]. Само понятие гравитационного маневра было введено спустя несколько десятилетий М. Миновичем (США) [3]. Идею быстро подхватили и реализовали уже на раннем этапе освоения дальнего космоса в таких широко известных миссиях, как Луна-3 (1959), Маринер-10 (1973), Пионер-11 (1973), Во-яджер-1, 2 (1977).
До создания современных высокопроизводительных вычислительных средств проектирование траекторий, содержащих гравитационные маневры, опиралось в значительной степени на интуицию баллистиков и использование некоторых простых аналитических и графических средств типа диаграммы Тиссерана. Точный расчет полученных таким путем приближенных траекторий осуществлялся с помощью методов локальной оптимизации и теории оптимального управления и представлял собой, как правило, ньютоновский или квазиньютоновский итерационный процесс. Однако даже для простых межпланетных перелетов оптимизируемый функционал — характеристическая скорость — имеет множество локальных минимумов и может быть в некоторых точках недифференцируемым или даже разрывным [4]. Как следствие, выбор прибли-
женной траектории в качестве начальной точки для итерационного процесса оказывает сильное влияние на его сходимость и близость найденного оптимума к глобальному.
Классический метод полного перебора, использовавшийся с самого начала космической эры для проектирования межпланетных полетов, заключается в случае прямого перелета в переборе дат старта и времени полета и численном решении получающихся при этом задач Ламберта [5, 6]. Траектории же с промежуточными гравитационными маневрами разбиваются на участки планета-планета, к которым применяется та же самая процедура. Метод полного перебора оказывается весьма ресурсозатратным при решении задачи оптимизации траекторий с большим числом гравитационных маневров.
Современный подход в технологии проектирования межпланетных траекторий заключается в автоматической генерации множества локально-оптимальных приближенных траекторий методами глобальной оптимизации. Здесь можно отметить попытки использования генетических алгоритмов [7], [8], нейронных сетей [9] и методов параллельных вычислений [10]. Также в последнее десятилетие активно разрабатывалась идея применения стохастического поиска для задачи оптимизации сложных траекторий [11, 12].
Среди отечественных работ по тематике проектирования сложных межпланетных траекторий можно выделить создание метода сквозной оптимизации траекторий аппаратов с малой тягой
Рис. 1. Дискретизация орбит планет.
[13]. В качестве средства преодоления затруднений с выбором начального приближения хорошо зарекомендовал себя метод продолжения по параметру, применимый в задачах и с большой, и с малой тягой [14], [15].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В настоящей работе решается задача проектирования оптимальных межпланетных траекторий с большим числом гравитационных маневров в следующей постановке: КА оснащен двигателем большой тяги (химическим двигателем большой мощности); траектория формируется из участков пассивного полета, соединяющихся между собой в точках приложения управляющих импульсов при выполнении активных гравитационных маневров.
Орбиты планет считаются некомпланарными кеплеровыми эллипсами, элементы которых берутся на некоторую эпоху. К примеру, авторами использовались орбитальные элементы планет по отношению к средней эклиптике и среднему равноденствию на эпоху J2000.0. (htth://www.sai.msu.ru/ пеЬ/^/па18а1;/р1аогЬтеЫ;т от 24.III.2011)
Как это делается в большинстве методов проектирования межпланетных траекторий, будем пользоваться моделью сопряженных конических сечений: внутри сфер действия планет учитывается только притяжение соответствующей планеты, вне сфер действия планет — только притяжение Солнца.
На практике активные гравитационные маневры используются довольно редко из-за большой точности, предъявляемой к траекторным из-
мерениям на припланетном участке полета, и заменяются, если необходимо, управляющими импульсами в глубоком космосе. Однако задача в приведенной выше постановке упрощается и может быть легко алгоритмизирована, а параметры полученных траекторий служат хорошей оценкой для параметров практически реализуемых траекторий с пассивными гравитационными маневрами и импульсами в глубоком космосе.
3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕЖПЛАНЕТНЫХ МИССИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ВИРТУАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Являясь, по сути, разновидностью классического метода полного перебора, предлагаемый в настоящей работе метод виртуальных траекторий отличается от него пространственной, а не временной привязкой к движению планет. Тот факт, что орбиты планет могут считаться с хорошей точностью неизменными в течение достаточно длительного срока времени (для целей проектирования траекторий — десятки лет), позволяет для каждого планетного маршрута табулировать наиболее ресурсоемкую часть расчетов и тем самым существенно сократить время работы алгоритма оптимизации. Этой цели также способствует возможность провести все вычисления по конечным формулам.
Чтобы пояснить все вышесказанное, рассмотрим подробно каждый из этапов метода, начиная с введения формального определения виртуальной траектории и описания алгоритма последовательного расчета параметров гелиоцентрических и планетоцентрических участков полета.
3.1. Понятие виртуальной траектории. Расчет параметров гелиоцентрических и планетоцентрических участков траектории.
Метод виртуальных траекторий состоит из двух этапов. На первом этапе для построения базы виртуальных траекторий необходимо провести дискретизацию: на орбите каждой из планет, входящих в выбранный планетный маршрут, отметим, идя с небольшим по истинной аномалии шагом (постоянным или переменным), набор узловых точек (рис. 1). Виртуальной траекторией будем называть траекторию, состоящую из пассивных гелиоцентрических участков полета, которые соединяются между собой в узлах. Угловая дальность полета на каждом из таких участков по-
1
лагается не превосходящей 2 п.
1 Допускаются так называемые резонансные траектории, когда КА совершает несколько последовательных гравитационных маневров у одной и той же планеты. Гелиоцентрические участки таких траекторий могут иметь угловую дальность вплоть до 2 п включительно.
Рассмотрим один из гелиоцентрических участков. Пусть г1 — радиус-вектор начальной точки участка — узла планеты 1, а г2 — радиус-вектор конечной точки участка — узла планеты 2, ^ — вектор скорости планеты 1 в точке г1 (далее, ссылаясь на точки/узлы, будем просто указывать их радиус-вектор). Местная параболическая скорость в
точке г1 равна V гаг - ^2ц0/гъ г1 = Здесь ц0 — гравитационный параметр Солнца. Орбитальный угловой момент планеты 1 задается вектором с1 = г1 х и1.
Так как в модели учитывается некомпланарность орбит планет, то будем считать, что узлы г1 и г2 не лежат одновременно на прямой, по которой пересекаются плоскости орбит планет 1 и 2. Тогда можно корректно определить вектор q = г1 х г2, который задает направление кратчайшего поворота от точки г1 к точке г2. Если c1 • q > 0 (т.е. движение планеты 1 вдоль своей орбиты сонаправле-но с кратчайшим поворотом от точки г1 к точке г2), то угловая дальность выражается формулой
Ф = arceos-
ri ■ r2
R Г2
[0; п]
1 г1 ■ Г2
Ф = 2п - arccos 1 2.
Г Г2
[п, 2п].
v1
v,
1
1 - cos ф
par
2 cos 0 r1
cos0 - cos(0 + ф)
Из интервала
'2
П; П 2;2 _
выбираются с некото-
' par>
Пусть v1 — скорость КА в точке г1, которая гарантирует попадание КА в точку г2, и 9 — угол наклона траектории. Используя эти данные, можно вычислить следующие элементы орбиты перелета: c = г1 х v1 — орбитальный угловой момент,
Г |1|
1 = -|Л0 — + у1 х с — вектор Лапласа, е = —--экс-
\г\ И©
и 2
центриситет, р = _ фокальный параметр, Ио
— большая полуось. Для истинной ано-
1 - е2
малии начальной и конечной точки участка имеем
г | |г I
cosQ¡ = j , sinQi = р-^лsign(c ■ [I x r1]), i = 1,2.
После этого вычисляются трансверсальная составляющая
Ио,
Тогда говорят, что точка г2 достигается на первом полувитке. В обратном случае (^ • q < 0) угловая дальность равна
V2„ = JP (1 + е cos ^ ) и радиальная составляющая
v2r = J^0 е sin&2
скорости КА в точке г2. Таким образом, вектор скорости в точке r2 можно выразить следующим образом:
Тогда говорят, что точка г2 достигается на втором полувитке.
Движение КА будет происходить в плоскости, содержащей векторы г1 и г2. Величина v1 = скорости КА в точке г1, необходимая для попадания в точку г2, связана с углом наклона траектории 9 по формуле [17]
c X г
2
V2 = v2r ¡-1 + v2n i i-
N |c X Г2|
Для эксцентрической аномалии в точках r;, i = 1, 2: Ei = 2 arctg M1—е tg yj, если sin > 0;
рым шагом значения 9k до тех пор, пока v1 < то ест
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.