ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 1, с. 156-167
= СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.78
МЕТОДИКА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ГРАВИМАНЕВРЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ
© 2007 г. П. В. Казмерчук, В. В. Малышев, В. Е. Усачов
Москва, МАИ (технический ун-т) Поступила в редакцию 14.04.06 г.
Рассматривается методика моделирования и оптимизации траекторий перелета, включеющих в себя множественные гравиаманевры космических аппаратов, оснащенных солнечным парусом. Предлагаемая методика позволяет сформулировать общий подход к решению задач оптимизации межпланетных миссий с использованием солнечного паруса. С помощью предложенной методики решаются задачи оптимизации траекторий перелета к Меркурию и в окрестность Солнца на базе дешевого конверсионного ракеты-носителя "Днепр".
Введение. В настоящее время ведущие мировые космические державы проводят активные разработки в области проектирования миссий к планетам солнечной системы. Специфика решения таких задач состоит в выборе оптимальных, в смысле предъявляемых требований к экспедиции, ракетно-космического комплекса (РКК) и траектории перелета. В силу высокой энергоемкости реализация таких проектов требует применения тяжелых и дорогих РКК, оснащенных двигателями на химической тяге.
Перспективным направлением на пути снижения стоимости миссий к планетам видится применение новых физических принципов движения в космосе, одним из которых является создание космических аппаратов (КА) с солнечным парусом (СП). При достаточно больших поверхностях паруса давление солнечной радиации способно влиять на траекторию движения такого КА. В сочетании с гравитационными маневрами у планет применение СП может дать существенную экономию энергетических затрат и тем самым повысить научную эффективность миссии или позволить заменить РКК на менее мощный, но более дешевый.
Еще одним перспективным направлением применения СП служит его использование в качестве двигательной установки для так называемых малых аппаратов, масса которых составляет единицы и десятки килограмм. Появление таких аппаратов связано с миниатюризацией элементной базы оборудования и научных приборов. В этом случае использование движителей на химической или электрической тяге ограничено их минимально возможной массой, которая в зависимости от задач экспедиции может в разы, а то и на порядки превосходить массу самого аппарата. В результате резко снижается научная эффективность мис-
сии. Фактически осуществляется доставка двигательной установки к месту проведения исследований, а не полезной нагрузки (ПН). Масса же СП определяется его площадью и зависит от выбора потребного уровня тяги (который является оптимизационным параметром) и ограничений, накладываемых на массу всего КА РКК.
Применение в качестве движителя малой тяги СП и многократных гравитационных маневров вызывает значительные трудности при оптимизации траекторий традиционными методами. В частности, наличие множественных гравитационных маневров и ограничения, по ориентации СП относительно потока солнечного излучения создают проблемы при решении "сквозной" краевой задачи, учитывающей все участки перелета. Таким образом, возникает задача построения методики для оптимизации широкого класса миссий, в которых в качестве двигательной установки используется СП.
1. Математическая формализация задачи.
Анализируя специфику КА с СП (КАСП) можно видеть, что одним из ключевых факторов при его использовании в виде транспортного средства является время перелета, которое из-за малости тяги может быть довольно велико. Выбор в качестве критерия предпочтения максимальной массы полезной нагрузки нецелесообразен, он не отражает эффективность КАСП как транспортного средства, так как в процессе полета масса не изменяется и ее конечная величина зависит только от выбора ракетного комплекса. Поэтому представляется возможным в качестве критерия предпочтения использовать минимальное время перелета к месту назначения, а массу полезной нагрузки зафиксировать выбором ракеты-носителя и типа разгонного блока. Ограничение на время перелета не накладывается, так как при достаточно
жестких требованиях задача может не иметь решений.
Таким образом, задача оптимизации перелета КАСП, траектория которого включает участки проведения гравиманевров, может быть сформулирована следующим образом: определить такие программу ориентации СП относительно потока солнечного излучения, параметры и даты проведения гравиманевров, которые обеспечивают минимальное время перелета к месту назначения.
Основным инструментом для математического решения сформулированной технической задачи является расширенная модель движения КАСП, которая представляет собой последовательность межпланетных участков, стыкуемых между собой. При моделировании межпланетных участков траекторий КАСП для проектных расчетов достаточной точностью обладает модель, использующая следующие допущения:
учитываются только силы центрального притягивающего тела и тяга, создаваемая СП;
все силы считаются детерминированными (система управления КА работает идеально);
маневры, производимые с помощью СП, моделируются как непрерывное воздействие на траекторию;
размеры сфер действия планет считаются нулевыми (метод точечных сфер действия), их пролет происходит мгновенно, а вектор скорости КА во время гравиманевра меняется скачкообразно.
Для моделирования движения КАСП на межпланетных участках применяется гелиоцентрическая инерциальная система координат. Модель движения центра масс КАСП в проекции на оси гелиоцентрической не вращающейся системы координат записываются в виде
— = X V;
у = *в г+рт}е (а'Р)); (!.!)
'= х;
где г = (х, у, г)Т - радиус-вектор; г = л/х2 + у2 + -его длина; V = (Ух, Уу, V) - вектор скорости; ^ -
2
г
время перелета; т - масса КА; % = -——V - производная по времени угловой дальности; ц - гравитационный параметр Солнца; р(г, у) - величина тяги, создаваемой СП, зависящая от расстояния до Солнца и от ориентации СП относительно потока солнечного излучения, у - угол между векторами 1 (вектор направления солнечного излучения) и е (вектор тяги СП); е(а, в) - единичный вектор направления тяги, зависящий от углов а,
Рис. 1. Определение направления тяги, создаваемой СП.
в. Последние определяют его пространственную ориентацию относительно вектора скорости КА (рис. 1), который может быть найден из следующих соотношений:
e' = cos ax'- sin ay', e = cos вe'- sin вz'.
Величина тяги, создаваемой СП, в общем случае зависит от его площади, свойств материала, ориентации относительно потока солнечного излучения, расстояния до Солнца. Эту зависимость можно представить как
p (r,y) = Ра(т)2 S cos2 у (1.2)
или
p (r,Y) = Ра(т)2 S (ie)2, (1.3)
где Pa « 0.464 x 106 (R j (1 + e) кГ/м2; e - коэффициент отражения паруса; Re = 1.496 x 1011 м - средний радиус орбиты Земли; S - площадь поверхности паруса; r - текущее расстояние до Солнца; i = |г|я -единичный вектор направления солнечного излучения; e - единичный вектор нормали к теневой стороне паруса. Моделирование гравитационных маневров (ГМ) КАСП ничем не отличается от моделирования ГМ для классических аппаратов. Согласно гипотезе о точечных сферах действия планет, считается, что ГМ КА происходят мгновенно. В результате в точке проведения ГМ, совпадающей с центром планеты проведения маневра, скачкообразно меняются параметры гелиоцентрических участков межпланетной траектории полета КА.
Пусть траектория межпланетного полета КАСП в самом общем случае состоит из N участков и на каждом 7-м участке полета его траектор-ное движение описывается 7-й динамической системой (ДС) вида
где j0 - ^-мерная дифференцируемая вектор-
d x ni, i i i —- = f (x , u , p , q, t ),
dt'
i = 1,..., N,
J rJ J i
t e [to, tk],
(1.4)
где хг(7г) е Ещ - вектор фазовых переменных, характеризующий текущее состояние КА на 7-м участке полета; Г7 - «¿-мерная функция правых частей дифференциальных уравнений, которая считается дифференцируемой по своим аргументам столько раз, сколько потребуется; и7(^) е Щт7) -гг-мерная кусочно-непрерывная функция управления; иг(7г) с Ег. - ограниченная замкнутая область допустимых вариаций управления; р7 е Р7 -варьируемые параметры, влияющие на 7-й участок полета КА; Р7 с Е8, - ограниченная замкнутая область допустимых вариаций параметров; Я е О - варьируемые параметры, влияющие на все участки траектории; О с Е3 - ограниченная замкнутая область допустимых вариаций общих параметров; С - независимая переменная.
Моменты времени 4 окончания полета КА на каждом 7-м участке траектории определяются из условий
|'[ x' ( t'k ), p', q, 4 ] = 0, i = 1, N,
(1.5)
в которых | - скалярные функции, обладающие необходимой степенью гладкости.
В самом общем случае в моменты времени t'k, i = 1, ..., N, происходят преобразования векторов фазового состояния КА при переходе от одной ДС к другой, моделирующих движение КА на соответствующих этапах
i + 1 / J + К 'г i / J \ i J Т
X (to ) = j [x (tk), p , q, tk],
i = 1,., N, (1.6)
1,1ч 0,,1 0 ч
x ( to ) = j ( to, p , q ),
функция; р0 е Р0 - варьируемые параметры; Р0 с с Е3 - ограниченная замкнутая область допусти-
1 г - + т
мых вариаций параметров; t0 е [ t0, t0\ - варьируемый момент начала полета КА.
В дальнейшем для рассматриваемых факторов влияния: функций управления и проектно-балли-стических параметров траектории КА, варьируемых на каждом 7-м участке траектории, используются следующие обозначения:
и (■) = { и( ■); 7 = 1.....N},
Р = {р\ Я, 4 7 = 0, ..., N}, (! 9)
р е Р р7 е Р, 7 = 0, ..., N; я е О; ^ е [Г+ ]},
и( ) е и ^ {и'(¿) е и'(^), е [4 4], 7 = 1, ..., Щ.
С учетом разбиения траектории межпланетного перелета на участки критерий качества управления динамической системой и ограничения могут быть записаны как
N. tk
Jj[u(■ ), p] = £joj(x', u', p', q, t)dt
i =11' to
N N N N
+ Fj [x j(tN), p j, q, tN],
(1.10)
j = 0, ..., m ;
где Фу и ¥у - гладкие скалярные функции; N < N -номер участка полета, на конце которого вычисляется терминальная часть у-го функционала.
Таким образом, в рамках этапа межпланетного п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.