научная статья по теме МЕТОДИКА РАСЧЕТА УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ НА ОСНОВЕ S-АППРОКСИМАЦИЙ Геофизика

Текст научной статьи на тему «МЕТОДИКА РАСЧЕТА УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ НА ОСНОВЕ S-АППРОКСИМАЦИЙ»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 6, с. 19-25

УДК 550.831+838

МЕТОДИКА РАСЧЕТА УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ НА ОСНОВЕ S-АППРОКСИМАЦИЙ

© 2007 г. В. Н. Конешов, И. В. Осика, И. Э. Степанова

Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 05.06.2006 г.

Созданные в последние десятилетия высокоточные средства аэронавигации позволяют сделать аэрогравиметрические измерения пригодными для решения ряда задач геофизической разведки. В России экспериментальные работы начаты на новом уровне в 1997-1998 гг. Удалось получить профили и площадные съемки достаточно сложного гравитационного поля с погрешностью около 1 мГал. В различных областях геофизики и геодезии необходимо знание уклонения отвесной линии (УОЛ). Аэрогравиметрические наблюдения позволяют применить гравиметрический метод для расчета УОЛ в условиях как равнинной, так и горной местности. В последнем случае в расчетные формулы вносится поправка, обусловленная влиянием топографических масс.

С помощью метода S-аппроксимаций, основанного на представлении гармонических функций в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев на некотором носителе - в частности, на горизонтальной плоскости - гравитационное поле было восстановлено по данным измерений в любой точке пространства (на любой высоте измерения), в частности, на поверхности геоида. Было разработано программное обеспечение для расчета УОЛ с использованием формул Веннинг-Мейнеса (расчет УОЛ в нулевом приближении) и методики восстановления аномальных полей на основе S-аппроксимаций. Приводятся результаты практического расчета для одного из районов Российской Федерации.

РАС8: 91.10.Fc

Уклонение отвесной линии (отклонение направления действительной силы тяжести от направления вектора нормальной силы тяжести) возникает, как известно, вследствие отличия действительного гравитационного поля Земли от нормального, обусловленного сложностью ее внутреннего строения и фигуры. Для вычисления уклонения отвеса (УОЛ) в различных точках земного шара необходимо знать пространственное распределение аномального гравитационного поля, т.е. располагать гравиметрическими данными.

Во многих районах Земли выполнение гравиметрических съемок непосредственно на поверхности сильно затруднено или вообще невозможно. Детальная геофизическая съемка акваторий традиционно выполняется на судах, но эти работы требуют больших финансовых затрат. Менее дорогостоящие аэрогеофизические съемки позволяют дать оценки перспективности конкретных труднодоступных районов. В последние 1020 лет появились навигационные комплексы, сочетающие непрерывные определения положения точки по GPS совместно с инерциальной системой навигации. Применяются также высокоточная трехмерная система относительных измерений воздушных скоростей СВС и прецизионный радиовысотомер. Все это позволяет с высокой точностью определять положение точки наблюдения в трехмерном пространстве, и в том числе, что особенно важно для гравиметрических измерений, изме-

нение высоты. В итоге стало реально определять инерциальные поправки с погрешностью менее 1 мГал и осуществлять построение гравиметрических карт масштаба 1:200000. Для вычисления УОЛ необходимы гравиметрические карты, построенные не на высоте измерений (полета), а на геоиде.

Конечная цель любой аэрогеофизической съемки - числовое описание изучаемого поля на уровне поверхности Земли (выбранного геоида). Для получения такого числового описания применяются те или иные аппроксимации физических полей Земли. По гравиметрическим данным можно затем определять высоту квазигеоида и составляющие уклонения отвеса (УОЛ).

Цель данной статьи - уточнить методику расчета УОЛ с учетом полученных результатов аэрогравиметрических измерений над труднодоступными районами.

Создание уточненной (универсальной) методики обусловлено двумя факторами. Первое - карта аномалий гравитационного поля по результатам аэрогравиметрической съемки первоначально строится на высоте полета, так как она строится по координатам GPS наблюдений относительно эллипсоида. Во-вторых, при расчете УОЛ в труднодоступных районах с пересеченным рельефом необходимо учесть влияние этого рельэфа с помощью

19

2*

алгоритмов, наиболее адекватных требованиям универсальности расчетов.

АППРОКСИМАЦИЯ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

В целом ряде методов, использующихся в настоящее время при интерпретации данных грави-магниоразведки, предлагаются те или иные аппроксимации аномальных физических полей.

Широкое распространение в середине и конце XX века получила аппроксимация гравитационного поля Земли отрезками ряда по шаровым функциям. В этой области проведено большое количество исследований как отечественными учеными, так и зарубежными, например, Ж. Бальмино [Ва1т-шо, 1990] и П. Найду [Naidu, 1968]. С середины 50-х годов прошлого века при интерпретации данных гравитационых и магнитных аномалий активно стал применяться спектральный анализ (работы К.В. Гладкого [Гладкий, 1967], С.А. Серкерова [Серкеров, 1991] и др.). Недостаток современных теорий интерпретации геофизических данных заключается в том, что используются те или иные идеализации, которые не отвечают либо природным соотношениям, либо экспериментальным исследованиям изучаемых полей (идеализация двумерного поля, идеализация плоской границы Земля - воздух, идеализация задания некоторого элемента поля в узлах регулярной сети и др.).

Предлагаемая методика S-аппроксимаций соответствует реальной геофизической практике и не включает в себя перечисленные выше идеализации. Метод S-аппроксимаций является одним из вариантов метода линейных интегральных представлений [Страхов, 1999].

На основе метода линейных интегральных представлений [Страхов, Степанова, 2002а; Страхов, Степанова, 20026] можно строить линейные аналитические аппроксимации аномальных потенциальных полей и функции, описывающей рельеф местности, строить линейные трансформации полей, решать другие задачи интерпретационного характера.

Следует отметить, что большинство процедур трансформаций (аналитическое продолжение в сторону возмущающих масс, пересчет в высшие производные потенциала), обладающих наибольшей разрешающей способностью, являются неустойчивыми.

В настоящее время существует большое количество методов трансформации потенциальных полей, достаточно широко опубликованных в геофизической литературе. Недостатком большинства существующих методов является их неадекватность реальной геофизической практике (неучет нерегулярности и разновысотности гравиметрических сетей и другие идеализации).

Мы применяли компьютерные технологии построения аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей, а также рельефа местности в локальном варианте в системе прямоугольных декартовых координат на основе представления аномальных полей с помощью потенциалов простого и двойного слоев, распределенных на некоторых поверхностях. Нами рассматривались задачи с относительно небольшим количеством точек (не более 10000). Поэтому возникающие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решались тремя методами: методом М.М. Лаврентьева, методом регуляризации разложения Холецкого и итерационным методом, разработанным В.Н. Страховым. В примерах с большим числом точек (15-30 тысяч) СЛАУ решались с помощью двух модификаций метода блочного координатного спуска [Страхов, Страхов, 1999а].

S-АППРОКСИМАЦИИ В ЛОКАЛЬНОМ ВАРИАНТЕ

Если нам известны компоненты магнитного или гравитационного поля (например, первая производная потенциала по г на некотором рельефе над физической поверхностью Земли, то мы можем представить потенциал поля в виде суммы простого и двойного слоев, создаваемых горизонтальной плоскостью, расположенной ниже заданного рельефа [Кошляков и др., 1962]:

к(м) = Ц-

—^ — ^ л/

Р 1 ( %2 )^2

(х - % )2 + (у - %)2 + г2

Р2 ) ^

+

[(х - %) 2 + (у - %2 )2+ г2 ]3

(6)

М = (х, у, г), X = (х, у),

% = (^ЛЛ), % = (^Л).

Мы выбрали систему координат так, чтобы плоскость простого и двойного слоев задавалась уравнением г = 0. Тогда производная по г потенциала V, взятая с обратным знаком, будет иметь вид:

!'< м) = 11

Р1 (%) г4

[7(X - %)2 + (у - п)2 + г2]3

■ +

+

Л

Р2 (%)(2 г2-(х - )2-(у - %2 )2 )2 4

[7(х - )2 + (у - %2)2+ г2] М = (х, у, г),

5/2

+ ^ + ^

+ ^

Функции р1, р2 неизвестны. Пусть компоненты поля заданы в конечном множестве точек М7, 7 = = 1, 2, ..., Ы; М7 = (х7, у7, 27). Обозначим подынтегральную функцию в первом слагаемом в (7) в

точке Mi через Q<{), а во втором слагаемом - че-)лучим:

д¥ (м)

рез Q2). Тогда получим:

Э 2

- /7 =

| |(Р1(! )+р2 (I) Q2г)(l)) 4,

(8)

7 = 1, 2.....N.

На практике компоненты поля бывают заданы с некоторой погрешностью, поэтому входной информацией являются значения8. С помощью решения вариационной задачи :

+ го + го

ад = Ц(р2 (I) + р2 (I)) 4 = шт, (9)

+го+го

Д8- | |(р!(1 ) + р2(I)Q2г)(I))4 = о,

(10)

Р1(|, А) = ), Р2(1, А) = ).

7 = 1, 2,..., Ы, получим, что искомые функции должны иметь вид:

р1а)(!) = Р1 (I ,А), р2а)(|) = р2(| ,А),

(11)

^ I = (I

7 =1 7 =1

Таким образом, мы приходим к следующей системе линейных уравнений, элементы матрицы которой в нашем случае имеют вид:

+ го + го

а, = Ц(Qli)(|^) + Q2г)(I)Q2j)(I))4, (12)

1 < 7 < Ы, 1 < у < N.

В нашем случае коэффициенты ауу могут быть вычислены явно с помощью интеграла Пуассона:

ау = 2п

( 2,. + 2,-) ( 99 [ ( х,. - х-) 2 + (у- - у, ) 2 ] - 6 ( 27 + 2;- ) 2 ) 1(13)

1 < 7 < Ы, 1 < 7 < N.

По найденным из решения системы (11)—(13) множителям 7 = 1, 2, ..., Ы, можно, далее, определить

величины функционаловр„ s = 1, 2, ..., (см. [Страхов, 1999]). Мы находили пространственное распределение аномалий гравитационного поля.

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ НАХОЖДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ АППРОКСИМАЦИЙ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (ЭЛЕМЕНТОВ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ) В ЛОКАЛЬНОМ ВАРИАНТЕ

Выше были рассмотрены алгоритмы построения аппроксимационных конструкций аномального гравитационного и аномального магнитного полей, основанные на представлении полем суммы простого и двойного слоев ^-аппроксимация). Предлагаемые компьютерные технологии подразделяются на три этапа.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком